王靖岳 郭立新 王浩天

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819;2.沈陽航空航天大學(xué)，遼寧 沈陽 110136)

長(zhǎng)期以來，人們對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)研究取得了豐富的成果［1-8］.但是，制造、安裝過程中的隨機(jī)因素，材料特性的隨機(jī)性，外界隨機(jī)因素和物理、幾何參數(shù)的隨機(jī)性等等，都會(huì)造成齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性具有隨機(jī)性.因此，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者開始注意到隨機(jī)因素對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的影響，對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨機(jī)非線性特性進(jìn)行了深入的研究，文獻(xiàn)［9］建立一個(gè)齒輪非線性隨機(jī)動(dòng)力狀態(tài)空間模型，利用它來預(yù)測(cè)系統(tǒng)的剩余使用年限.文獻(xiàn)［10］建立考慮速度相關(guān)的隨機(jī)誤差的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)模型，借助開發(fā)的仿真系統(tǒng)，研究隨機(jī)誤差對(duì)振動(dòng)加速度的影響.文獻(xiàn)［11］建立含間隙和時(shí)變嚙合剛度的齒輪系統(tǒng)，并分析了系統(tǒng)在隨機(jī)外激勵(lì)因素作用下的全局動(dòng)力學(xué)特性.文獻(xiàn)［12］考慮非白噪聲誤差，建立了齒輪隨機(jī)振動(dòng)建模，通過此模型來驗(yàn)證隨機(jī)誤差對(duì)振動(dòng)加速度的影響.文獻(xiàn)［13］建立二自由度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，利用蒙特卡洛法對(duì)其在參數(shù)隨機(jī)激勵(lì)下參數(shù)的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響.

文中在文獻(xiàn)［14］的研究基礎(chǔ)上，考慮齒輪阻尼比、齒側(cè)間隙、嚙合頻率、嚙合剛度和輸入力矩的隨機(jī)擾動(dòng)，建立一個(gè)單對(duì)三自由度的直齒輪副的隨機(jī)振動(dòng)模型，分析系統(tǒng)隨齒輪嚙合頻率變化的分岔特性、穩(wěn)定性及其隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響.

1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

采用集中質(zhì)量法建立了一個(gè)單對(duì)三自由度的直齒輪副的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，如圖1 所示.

忽略傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)和彎曲變形，僅考慮齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng).圖中，F(xiàn)b1和Fb2為主、從動(dòng)軸上軸承對(duì)齒輪的作用力;θg1和θg2為主、從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)角位移;yg1和yg2為兩齒輪中心的位移;e()為齒輪嚙合綜合誤差，為時(shí)間;fb1和fb2為主、從動(dòng)軸上軸承的位移函數(shù);rg1和rg2為主、從動(dòng)齒輪的基圓半徑;ch為齒輪副的嚙合阻尼系數(shù);cb1和cb2為主、從動(dòng)軸上軸承的阻尼系數(shù);Tg1和Tg2為作用在主、被動(dòng)齒輪上的轉(zhuǎn)矩;fh為輪齒嚙合的位移函數(shù);mg1和mg2分別為主、從動(dòng)齒輪的質(zhì)量;kb1和kb2為主、從動(dòng)軸上軸承的平均支撐剛度;Ig1和Ig2為主、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

圖1 齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of the gear system

忽略輸出扭矩的波動(dòng)，考慮因輸入扭矩波動(dòng)引起的低頻外激勵(lì)和靜態(tài)傳遞誤差e()引起的高頻內(nèi)部激勵(lì)，則有

式中:Tg2()為輸出扭矩;Tg2m為輸出扭矩的平均值;Tg1()為輸入扭矩;Tg1m為輸入扭矩的平均值;Tg1a()為輸入扭矩的變化部分.

齒輪副的基本參數(shù)見表1.

表1 齒輪基本參數(shù)Table 1 Parameters of the gear pair

對(duì)齒輪系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓定律可以得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程:

式中:“·”表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù);x 為齒輪副的相對(duì)位移;chΔ為齒輪副的嚙合阻尼的隨機(jī)擾動(dòng)量;cb1Δ和cb2Δ為主、從動(dòng)軸上軸承的阻尼隨機(jī)擾動(dòng)量;mc1=Ig1Ig2/(Ig1rg22+Ig2rg12)，F(xiàn)m=Tg1m/rg1=Tg2m/rg2，x =rg1θg1-rg2θg2，kh()=kh+2/(ωh+ωΔ))=khm+FaT()=mc1Tg1a()·rg1/2Ig1.其中:ωh為嚙合頻率;ωΔ為嚙合頻率的隨機(jī)擾動(dòng)量;kh()為齒輪嚙合剛度，隨時(shí)間周期變化;khm為平均嚙合剛度系數(shù);FΔ為輸入力矩的隨機(jī)擾動(dòng)量;khar為各諧波分量系數(shù)，φhr為相位角(r =1，2，3，…，∞).假定齒輪嚙合綜合誤差和輸入扭矩的變化部分均為單頻的簡(jiǎn)諧函數(shù)，即e()=easin((ωh+ωΔ)+φh)，F(xiàn)aT)=Fasin((ωt+ωtΔ) +φh)，ea為齒輪嚙合綜合誤差系數(shù);ωt為輸入轉(zhuǎn)矩的頻率;ωtΔ為輸入轉(zhuǎn)矩頻率的隨機(jī)擾動(dòng)量;φh和φt為其對(duì)應(yīng)的初相位.齒輪傳動(dòng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)位移為

如圖2 所示，齒輪副的間隙為2b，則無量綱間隙ˉb=b/be，其中，be為給定的標(biāo)稱尺寸.

圖2 齒側(cè)間隙與力的關(guān)系圖Fig.2 Relation between gear backlash and force diagram

［11］，對(duì)方程(2)進(jìn)行無量綱化，令z1=則系統(tǒng)的狀態(tài)方程組為

式中:無量綱阻尼比ξ11= cb1/(2mg1ωn)，ξ22= cb2/(2mg2ωn)，ξ13= ch/(2mg1ωn)，ξ23= ch/(2mg2ωn)，ξ33=ch/(2mc1ωn);F'b1和F'b2為主、從動(dòng)軸上軸承對(duì)齒輪的無量綱作用力，且F'b1=Fb1/(mg1be)，F(xiàn)'b2=Fb2/(mg2be);s11=/，s13= mc1/m1，s22=/，s13(t)=s23(t)=s33(t)/4，s23=mc1/m2，s33(t)=1-(ε+εΔ)cos(ωht)，ε 為無量綱齒輪嚙合剛度，ε =khar/khm，εΔ為無量綱齒輪嚙合剛度隨機(jī)擾動(dòng)量;ξ11Δ、ξ13Δ、ξ22Δ、ξ23Δ和ξ33Δ為無量綱阻尼比隨機(jī)擾動(dòng)量，ξ33Δ=chΔ/(2mc1ωn)，ξ23Δ=chΔ/(2mg2ωn)，ξ22Δ=cb2Δ/(2mg2ωn)，ξ13Δ= chΔ/(2mg1ωn)，ξ11Δ= cb1Δ/(2mg1ωn);Fah1為齒輪嚙合綜合誤差，F(xiàn)ah1=e/be;F'm為無量綱切向平均作用力，F(xiàn)'m=Fm/(mc1be);ω'h為無量綱嚙合頻率;F'Δ為無量綱輸入力矩的隨機(jī)擾動(dòng)量，F(xiàn)'Δ=FΔ/(mc1be);ω'Δ為無量綱嚙合頻率的隨機(jī)擾動(dòng)量.齒輪嚙合間隙非線性函數(shù)為

2 數(shù)值仿真分析

2.1 分岔與穩(wěn)定性

所取系統(tǒng)參數(shù)如下:Fah1=0.05，ξ11= 0.01，ξ22=0.01，ξ13=0.012，ξ23=0.012，ξ33=0.05，=1.0，F(xiàn)'m=0.01，F(xiàn)'b1=0.2，F(xiàn)'b2=0.2，k11=1.3，k22=1.3，F(xiàn)'Δ服從N(0，0.0012)的正態(tài)分布，在(-0.004，0.004)范圍內(nèi)取值;ξ11Δ、ξ22Δ、ξ13Δ、ξ23Δ、ξ33Δ、Δ和εΔ服從N(0，0.0012)的正態(tài)分布，在(-0.04，0.04)范圍內(nèi)取值;ω'Δ服從N(0，0.0000052)的正態(tài)分布，在(-0.00002，0.000 02)范圍內(nèi)取值，隨機(jī)量均滿足3σ 理論.取初始狀態(tài)x1(0)=0，x2(0)=-0.1，x3(0)=0，x4(0)=-0.1，x5(0)=0，x6(0)=-0.1，以嚙合頻率ω'h為分岔參數(shù)，令ω =，利用四階龍格-庫塔法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，可得到系統(tǒng)嚙合頻率在(0.1，6.0)上的全局圖，如圖3 所示.隨著嚙合頻率的減小，系統(tǒng)先是做周期1 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω=2.75 時(shí)，系統(tǒng)通過倍化分岔到周期2 運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω =2.55 時(shí)，系統(tǒng)通過倍化分岔到周期4 運(yùn)動(dòng)，隨著嚙合頻率的進(jìn)一步減小，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω =2.3 時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)到周期1 運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω =2.1 時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω =1.55 時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)到周期1 運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω =1.45 時(shí)，系統(tǒng)通過倍化分岔到周期2 運(yùn)動(dòng)，隨著嚙合頻率的進(jìn)一步減小，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω =1.15 時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)到周期1 運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω=1.05 時(shí)，系統(tǒng)再次由周期1 運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng);當(dāng)ω =0.37 時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)到周期1 運(yùn)動(dòng).

圖3 系統(tǒng)的全局分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of the system

設(shè)計(jì)合理的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)應(yīng)具有較高的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性包括運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定性［15］，即轉(zhuǎn)速的小擾動(dòng)不會(huì)引起系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變(分岔的發(fā)生);還有就是系統(tǒng)振動(dòng)強(qiáng)度的穩(wěn)定性［16］，即轉(zhuǎn)速的小擾動(dòng)不會(huì)引起振動(dòng)幅值的突變.根據(jù)以上穩(wěn)定性原則可以選取齒輪系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行區(qū)間，齒輪嚙合頻率應(yīng)該避開的區(qū)間如下:

(1)從全局分岔圖3 上可以看出:當(dāng)嚙合頻率分別為2.75 和1.45 時(shí)系統(tǒng)發(fā)生分岔，該分岔點(diǎn)附近極易發(fā)生轉(zhuǎn)速微擾而引起運(yùn)動(dòng)狀態(tài)失穩(wěn)，而運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變必然對(duì)應(yīng)著較差的可靠性，因而選擇轉(zhuǎn)速時(shí)應(yīng)該避開.

(2)從全局分岔圖3 上可以看出:嚙合頻率在區(qū)間(0.37，1.05)、(1.15，1.35)、(1.55，2.10)和(2.30，2.45)上為混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間.因?yàn)榛煦邕\(yùn)動(dòng)意味著不可預(yù)測(cè)性和永不重復(fù)性，它總是不停地從前一時(shí)刻的某周期軌道上突然到下一時(shí)刻的其他軌道上，而運(yùn)動(dòng)的不斷變化會(huì)加劇齒輪系統(tǒng)的疲勞，因而選擇轉(zhuǎn)速時(shí)應(yīng)該避開.

2.2 嚙合頻率的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)分岔的影響

為分析嚙合頻率的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)分岔的影響，取嚙合頻率在(2.2，3.0)上的局部分岔圖，見圖4.

從圖4(a)-(d)中可以看出，隨著嚙合頻率的減小，隨機(jī)擾動(dòng)的增大，系統(tǒng)發(fā)生分岔的時(shí)間點(diǎn)逐漸提前;有的已消失，直接進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)(見圖4(d)).可見，嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的大小變化對(duì)系統(tǒng)的分岔特性影響很大，嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的微小變化即可影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.

圖5 為不同嚙合頻率下的Poincaré 映射圖.從圖5(a)可以看出，系統(tǒng)作周期1 運(yùn)動(dòng);隨著嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的逐級(jí)增大，吸引子變得比以往更發(fā)散，但大部分被限制在原吸引子附近，仍作周期1 運(yùn)動(dòng).圖5(b)為不同形態(tài)的混沌吸引子，可以看出嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的逐級(jí)增大沒有改變系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

從圖5(c)中可以看出，系統(tǒng)先作周期8 運(yùn)動(dòng)，隨著嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的逐級(jí)增大，系統(tǒng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng).從圖5(d)和5(e)中可以看出，系統(tǒng)先作周期4 和周期2 運(yùn)動(dòng);隨著嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的增大，ω 服從N(0，0.0000052)的正態(tài)分布時(shí)，系統(tǒng)仍作周期4 和周期2 運(yùn)動(dòng);隨著嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的進(jìn)一步增大，ω 服從N(0，0.000 052)和N(0，0.000 52)的正態(tài)分布時(shí)，系統(tǒng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，但混沌吸引子形態(tài)各不相同.

圖4 系統(tǒng)的局部分岔圖Fig.4 Local bifurcation diagram of the system

圖5 系統(tǒng)的Poincaré 映射圖Fig.5 Poincaré map of the system

取ω=2.68 時(shí)，從系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線圖6 和相圖7 可以看出，隨著嚙合頻率隨機(jī)擾動(dòng)的增大，系統(tǒng)從周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向混沌運(yùn)動(dòng).

圖6 ω=2.68 時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程曲線Fig.6 Time course diagram of the system when ω=2.68

圖7 ω=2.68 時(shí)系統(tǒng)的相圖Fig.7 Phase diagram of the system when ω=2.68

3 結(jié)論

考慮輸入力矩引起的低頻外激勵(lì)、齒輪阻尼比、齒側(cè)間隙、嚙合頻率和嚙合剛度的隨機(jī)擾動(dòng)等因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響建立了單對(duì)三自由度非光滑直齒齒輪系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型和微分方程.利用四階龍格-庫塔法對(duì)齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，用系統(tǒng)的Poincaré 映射圖、相平面圖、時(shí)間歷程圖和分岔圖分析了系統(tǒng)在激振頻率變化的情況下混沌的形成過程.隨著嚙合頻率的減小，齒輪系統(tǒng)通過周期倍化分岔從周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向混沌運(yùn)動(dòng)，再從混沌運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)向周期運(yùn)動(dòng).通過剔除6 處不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)段，可獲得無量綱嚙合頻率在(0.1，6.0)上的穩(wěn)定速度區(qū)間.文中研究結(jié)果對(duì)工程中選擇合理的齒輪轉(zhuǎn)速有一定的參考價(jià)值.嚙合頻率的隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響較大，隨機(jī)擾動(dòng)的微小變化即可改變系統(tǒng)的分岔特性，在建模時(shí)要考慮其大小的影響再?zèng)Q定取舍.

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