李信棟 茍興宇

北京控制工程研究所，北京 100190

?

多體衛(wèi)星MIMO控制及穩(wěn)定裕度研究

李信棟 茍興宇

北京控制工程研究所，北京 100190

針對兩輸入兩輸出的多體衛(wèi)星系統(tǒng)模型，采用并矢展開設(shè)計法這一多變量頻域設(shè)計技術(shù)，實現(xiàn)衛(wèi)星本體俯仰姿態(tài)和附件指向的多輸入多輸出(MIMO)控制，利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性；在此基礎(chǔ)上討論衛(wèi)星本體姿態(tài)控制與附件指向控制帶寬的關(guān)系，然后利用回差陣奇異值法計算MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，并分析穩(wěn)定裕度計算結(jié)果的保守性，數(shù)值仿真驗證了算法的有效性以及穩(wěn)定裕度分析結(jié)果的正確性。 關(guān)鍵詞 多體衛(wèi)星；并矢展開設(shè)計法；回差陣奇異值；穩(wěn)定裕度； 衛(wèi)星控制

一般的多體衛(wèi)星既要對星本體進行姿態(tài)控制，又要對各附件進行指向控制，2種控制回路之間存在運動學和動力學耦合，這是一類典型的MIMO系統(tǒng)控制問題。此外，線性定常SISO系統(tǒng)有明確的穩(wěn)定裕度計算方法，對某些特定的MIMO系統(tǒng)控制方法也有明確的穩(wěn)定裕度結(jié)果，基于LQG的多變量控制系統(tǒng)具有至少60°的相角裕度和無窮大的增益裕度[1-2]；許多學者將奇異值分解方法應(yīng)用到求解MIMO線性系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的理論研究中，并提出一種回差陣奇異值法[3]來計算系統(tǒng)的增益和相位裕度；然而對于一般MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度仍沒有公認統(tǒng)一的定義[4]。在實際工程中，獲得控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度可有助于航天器的安全在軌運行，尋求有效的計算方法得到明確的穩(wěn)定裕度結(jié)果具有顯著的工程意義，文獻[5]僅完成了衛(wèi)星天線指向復(fù)合控制的實物仿真驗證，取得了有用仿真成果。然而國內(nèi)目前還沒有對多體衛(wèi)星穩(wěn)定裕度的系統(tǒng)研究。

為此本文對多體衛(wèi)星MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度進行了探討。文中研究兩輸入兩輸出多體衛(wèi)星控制系統(tǒng)，系統(tǒng)模型簡化地只考慮俯仰平面；并假設(shè)附件指向角做小角度機動。針對此系統(tǒng)的控制問題，結(jié)合系統(tǒng)模型本身的特性，采用多變量頻域理論中的并矢展開設(shè)計方法，設(shè)計衛(wèi)星本體姿態(tài)和附件指向控制的MIMO控制系統(tǒng)；并對衛(wèi)星姿態(tài)及附件指向的控制帶寬問題進行了討論。用古典控制理論的Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在此基礎(chǔ)上，為滿足實際工程要求，利用回差陣奇異值法計算出整個系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，并討論所得穩(wěn)定裕度結(jié)果的保守性。

1 系統(tǒng)動力學建模

圖1 平臺+天線的兩剛體構(gòu)型

定義天線繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)動角分別為α和β，運用Newton-Eular法，以1x-2y轉(zhuǎn)序為例，利用各坐標系之間的關(guān)系導出標量動力學方程。在平臺姿態(tài)可以線性化、平臺與附件機動角速度均不大的前提下，進一步將控制對象簡化為俯仰平面問題，相應(yīng)標量格式的動力學方程為[6-7]

(1)

式中，Ia,yy和Ib,yy分別為航天器平臺與天線繞各自俯仰軸的轉(zhuǎn)動慣量，xra,cc,cs為系統(tǒng)幾何參數(shù)所決定的常系數(shù)，ma為天線質(zhì)量，θ為平臺姿態(tài)轉(zhuǎn)角，β為天線轉(zhuǎn)角，Mcy為繞航天器y軸的俯仰姿態(tài)控制力矩，Mβ為β轉(zhuǎn)角控制力矩。

2 并矢展開設(shè)計方法及穩(wěn)定性分析

英國學者Owens首先提出了并矢展開設(shè)計法，該方法可對控制對象由并矢傳遞函數(shù)矩陣描述的多變量系統(tǒng)進行有效的設(shè)計[8]。主要特點是系統(tǒng)傳遞函數(shù)滿足一定的特性，即要求控制對象G(s)可分解為

(2)

式中L,R是m×m常數(shù)可逆矩陣，g1(s),g2(s),…，gm(s)是一組標量傳遞函數(shù)?？稍O(shè)計如下控制器

K(s)=R-1diag{k1(s),k2(s),…,km(s)}L-1

(3)

通過調(diào)整ki(s)使系統(tǒng)具有良好的整體性，計算系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，來檢驗系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)、關(guān)聯(lián)性及穩(wěn)態(tài)誤差是否符合設(shè)計要求。

2.1 控制器設(shè)計

假設(shè)天線指向角在俯仰平面內(nèi)做小角度機動，即在β=0°附近線性化處理，則動力學方程為

(4)

(5)

其中

將控制對象G(s)由并矢傳遞函數(shù)矩陣分解得

(6)

其中LR=M-1。根據(jù)性能要求，設(shè)計控制器

K(s)=R-1diag{k1(s),k2(s)}L-1=

(7)

則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

(8)

閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

(9)

作2個標量系統(tǒng)g1(s)k1(s)和g2(s)k2(s)的對數(shù)幅頻特性曲線，如圖2所示。顯然，2個標量系統(tǒng)在整個頻帶上具有比較一致的對數(shù)幅頻特性，故系統(tǒng)一定是弱關(guān)聯(lián)的。

圖2 g1(s)k1(s)和g2(s)k2(s)的對數(shù)幅頻特性

基于本文中的設(shè)計方法，通過圖2的比較可看出星本體控制帶寬與天線控制帶寬大小相當；而對一般帶有天線等附件的多體衛(wèi)星，由于其附件跟蹤目標的軌跡通常是在平臺軌道坐標系中描述的，如果附件跟蹤指向的精度要求與姿態(tài)控制精度接近、甚至更高，則附件機動的最終指令一般需要引入星本體姿態(tài)的修正，因此，一般來說星本體-附件同時機動控制器的設(shè)計原則為：附件指向控制的帶寬必須大于星本體姿態(tài)機動控制的帶寬[5]。通過分析認為本文之所以出現(xiàn)二者帶寬相當，這是因為采用并矢展開法設(shè)計的結(jié)果，此結(jié)果一般適用于天線跟蹤指向精度遠低于衛(wèi)星姿態(tài)控制精度，從而不需要引入從衛(wèi)星姿態(tài)到天線指向的運動學前饋的情形。

2.2 穩(wěn)定性分析

對于采用并矢展開法進行設(shè)計的控制系統(tǒng)，可通過Nyquist理論來判別整個閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，并且有穩(wěn)定性判據(jù)如下：

定理1 由方程

H(s)=[Im+G(s)K(s)]-1G(s)K(s)

(10)

描述的多變量反饋系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是[9]

(11)

對于多變量系統(tǒng)其回差陣滿足關(guān)系式

(12)

其中φc(s)為閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式,φ0(s)為開環(huán)系統(tǒng)特征多項式。由方程(8)和(12)，可得開環(huán)系統(tǒng)特征多項式φ0(s)為

φ0(s)=s4(s+3.7)(s+5)

(13)

可看出φ0(s)沒有位于s右半平面零點，故n0=0。作gi(s)ki(s)(1≤i≤2)的Nyquist圖,如圖3所示。

圖3 g1(s)k1(s)和g2(s)k2(s)的Nyquist曲線

3 穩(wěn)定裕度分析

對于MIMO線性系統(tǒng)，穩(wěn)定裕度的計算不像SISO系統(tǒng)那樣簡單，這里要考慮到各回路間的耦合問題。許多學者研究表明可采用回差陣奇異值法計算MIMO系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，即利用系統(tǒng)回差陣的最小奇異值來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性[3]。對一般如圖4所示系統(tǒng)模型，其中G(s)∈Cn×n為系統(tǒng)標稱模型，在輸入端引入不確定性量測陣，令s=jω，則有

P(jω)=diag{kie(jφi)},i=1,2,…,n

(14)

我們希望得到所有回路中ki和φi同時變化且變化多大時系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，也即ki和φi是系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性的度量值。

圖4 系統(tǒng)模型

I+GP=[(P-1-I)(I+G)-1+I](I+G)P

(15)

(16)

若考慮增益和相位在每個通道同時變化的情況，采用方程(14)，受攝動系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件變?yōu)?/p>

(17)

GM=-20lg(1-m),PM=2arcsin(m/2)

(18)

本文中的系統(tǒng)模型是簡化后的兩輸入兩輸出線性模型，可計算其回差陣[I+G(s)K(s)]的表達式為：

I+G(s)K(s)=

(19)

分析上述結(jié)果可知，并矢展開法設(shè)計的控制器使系統(tǒng)具有比較滿意的穩(wěn)定裕度，可以看出回差陣奇異值計算方法簡單且計算量較??；并且有效地解決了MIMO控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度計算時各回路之間的耦合問題，重要的是該方法給出了閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定所容許的所有回路的幅值或相位同時變化程度。但是也應(yīng)該看到該方法具有一定的保守性，下面將作進一步的討論。

4 仿真結(jié)果

針對衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)運動和天線指向角運動同時跟蹤情況下的MIMO控制系統(tǒng)進行仿真分析，繪制仿真圖像，以驗證上文所設(shè)計的控制器的有效性。

在本文中，對象模型參數(shù)取Ia,yy=0.438kg·m2,Ib,yy=3453kg·m2,ma=8kg,cc=-1.94m，cs=-0.22m，xra=-0.0056m，則動力學方程為：

可設(shè)計控制器為：

(20)

仿真中采用式(20)所示的控制器，令初始時刻各狀態(tài)量的初始值θ0=0°,β0=0.1°。設(shè)計衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)期望跟蹤曲線和衛(wèi)星天線指向角期望跟蹤曲線分別為

在考慮有外部干擾力矩作用在星本體的情況下，研究衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)運動和天線指向角運動同時跟蹤期望軌跡時的系統(tǒng)控制能力。在式(1)所示的系統(tǒng)模型中，在第一個表達式中加入擾動項Tv=0.1πsin(πt/10)/180+0.0001 (N·m)，得到仿真結(jié)果如圖5～8所示。

圖5 星本體俯仰姿態(tài)期望軌跡及實際響應(yīng)曲線

圖6 衛(wèi)星天線指向角跟蹤軌跡及實際響應(yīng)曲線

圖7 星本體俯仰姿態(tài)和天線指向角的跟蹤誤差曲線

圖8 星本體姿態(tài)控制力矩Mcy和天線驅(qū)動力矩Mβ

通過仿真結(jié)果可以看出，在加入外部干擾力矩情況下，俯仰姿態(tài)和天線指向角能快速跟蹤期望軌跡，兩者跟蹤誤差最終都趨于較小值；這說明所采用的控制方法對平臺-附件控制對象模型具有良好的解耦控制能力，同時能保證較高的天線跟蹤指向精度和姿態(tài)控制精度，因此所設(shè)計控制方法使系統(tǒng)具有較好的跟蹤效果，且具有一定的魯棒性，仿真結(jié)果滿足設(shè)計要求。

進一步地，對采用回差陣奇異值法計算得到的穩(wěn)定裕度結(jié)果進行分析。根據(jù)上面回差陣奇異值法求得的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，當系統(tǒng)兩通道同時滯后41.52°的相位角時，可得系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線如圖9所示；從圖中可看出，響應(yīng)初始階段系統(tǒng)振蕩現(xiàn)象明顯，但是系統(tǒng)仍然穩(wěn)定并沒有達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。若進一步增大兩通道的滯后相角，滯后相角取到53.19°時，得到系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖10所示，從圖中可看出，系統(tǒng)出現(xiàn)發(fā)散趨勢，即將變得不穩(wěn)定。

圖9 系統(tǒng)滯后41.52°相角時跟蹤誤差曲線

圖10 系統(tǒng)滯后53.19°相角時輸出響應(yīng)曲線

分析上述情形可看出采用回差陣奇異值法求得的系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的結(jié)果是偏保守的，該方法沒有準確地給出系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時所容許的相角能變化的最大范圍。研究認為有以下原因：

1)回差陣奇異值法理論本身的不足，式(16)是受攝動系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件而不是充要條件，除了式(16)所示條件外，還有別的條件仍能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而這些條件的忽略可能造成對系統(tǒng)幅值和相位裕度的保守估計；

2)文中穩(wěn)定裕度的計算是基于式(20)所示線性控制系統(tǒng)，而仿真中是針對非線性系統(tǒng)模型，這也可能造成穩(wěn)定裕度大小的不一致。

5 結(jié)論

本文針對兩輸入兩輸出多體衛(wèi)星模型，采用多變量頻域技術(shù)中的并矢展開法設(shè)計衛(wèi)星本體姿態(tài)和附件指向角的MIMO控制系統(tǒng)，仿真結(jié)果表明所設(shè)計的控制器有較強的魯棒性，而且控制器結(jié)構(gòu)較簡單，易于工程實現(xiàn)。此外，文中所設(shè)計的天線控制帶寬與星本體控制帶寬相當，這是由于本文設(shè)計過程中沒有考慮本體姿態(tài)對天線的前饋控制。最重要的一點，文中在保證穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，利用回差陣奇異值法得到了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，并討論該方法出現(xiàn)保守性的原因。下一步工作要在系統(tǒng)控制中考慮天線的工程執(zhí)行機構(gòu)模型，同時改善穩(wěn)定裕度計算方法的保守性，使系統(tǒng)的控制效果和穩(wěn)定裕度的計算結(jié)果更具有工程參考價值。

[1] Safonov M G, Athans M. Gain and Phase Margin for Multiloop LQG Regulators[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, April 1977, 22: 173-179.

[2] Lehtomaki N A, Sandell N R, JR, M Athans. Robustness Results in Linear-Quadratic Gaussian Based Multivariable Control Designs[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, February 1981, 26(1): 75-92.

[3] Mukhopadhyay V, Newsom J R. Application of Matrix Singular Value Properties for Evaluating Gain and Phase Margins of Multiloop Systems[C]. AIAA Guidance Navigation and Control Conference, San Digeo, California. 1982, AIAA-82～1574．

[4] 瞿福存, 史忠科, 戴冠中. MIMO系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的幾個定義[J]. 飛行力學, 2002, 20(2): 6-9. (Qu Fucun, Shi Zhongke, Dai Guanzhong. Stability Margin Definitions for MIMO Systems[J]. Flight Dynamics, 2002, 20(2): 6-9.)

[5] 李季蘇, 曾海波, 李鐵壽.多體衛(wèi)星復(fù)合控制物理仿真試驗系統(tǒng)[J]. 航天控制, 2003, 21(2) :27-32. (Li Jisu, Zeng Haibo, Li Tieshou. Physical Simulation Test System for Combined Control of Multi-body Satellite[J]. Aerospace Control , 2003, 21(2) :27-32.)

[6] 茍興宇, 陳義慶, 李鐵壽, 等.平臺附件同時機動及其復(fù)合控制初探[J].空間控制技術(shù)與應(yīng)用, 2009, 35(5): 1-5.(Gou Xingyu, Chen Yiqing, Li Tishou, etc. Introduction to Simultaneous Maneuvers and Composite Control of Spacecraft Platform and its Appendages[J]. Aerospace Control and Application, 2009, 35(5): 1-5.)

[7] 曾海波.撓性多體衛(wèi)星指向控制設(shè)計研究[D].北京控制工程研究所, 2003.

[8] Owens D H. Feedback and Multivariable System[M].London, Peter peregrines, 1978.

[9] 白方周, 龐國仲, 等.多變量頻域理論與設(shè)計技術(shù)[M].國防工業(yè)出版社, 1988.

On MIMO Control and Stability Margin of Multi-Body Satellite,China

LI Xindong GOU Xingyu

Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190， China

Thepitchattitudeandantennapointingcontrolofmulti-bodysatellitesarepresentedinthispaper,thestabilitymarginofthemulti-inputmulti-output(MIMO)linearcontrolsystemisgiven.Firstly,thedyadicexpansionmethodisutilizedtodesignthecontrollerbasedonthetwo-inputtwo-outputsystemmodel,andastabilityanalysisoftheresultingclosed-loopsystemisincludedthroughtheNyquiststabilitycriterion.Therelationshipbetweenthesatelliteattitudecontrolbandwidthandtheantennapointingcontrolbandwidthisstudied.Secondly,thestabilitymarginoftheMIMOcontrolsystemisobtainedbycomputingtheminimumsingularvalueofthesystemreturndifferencematrix.Finallytheconservativenessofthestabilitymarginisdiscussed,andsimulationresultsarepresentedtoshowthatthisdesigntechniqueiseffectiveandtheanalysisisreasonable.

Multi-bodysatellites;Dyadicexpansionmethod;Minimumsingularvalueofthereturndifferencematrix;Stabilitymargin;Satellitecontrol

2012-09-10

李信棟(1986-), 男,山東人 ,博士研究生, 研究方向為航天器姿態(tài)控制; 茍興宇(1970-), 男,四川人 , 研究員, 主要研究方向為航天器姿態(tài)、軌道動力學與控制。

V448.22

A

1006-3242(2013)05-0025-06