李凌燕，劉景鋒

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用物理系，廣東廣州510642)

一直以來(lái)，輻射子自發(fā)輻射的操控是量子光學(xué)中一個(gè)重要研究方向，自發(fā)輻射的有效控制決定了一系列光電子器件的性能，例如太陽(yáng)能電池、光輻射二極管以及量子信息科學(xué)中的微型激光器和單光子源．

光子晶體對(duì)光子的作用與半導(dǎo)體對(duì)電子的作用類(lèi)似，可通過(guò)調(diào)整光子晶體的結(jié)構(gòu)、填充率以及折射率比來(lái)調(diào)整光場(chǎng)的分布，從而調(diào)整輻射子周?chē)沫h(huán)境．YABLOMOVITCH［1］和 JOHN［2］首次提出利用光子晶體來(lái)控制輻射子的光輻射，并受到了實(shí)驗(yàn)研究［3-5］和理論研究［6-9］領(lǐng)域的高度重視．

輻射子的自發(fā)輻射速率與光子局域態(tài)密度成正比［6，10-12］．局域態(tài)密度對(duì)自發(fā)輻射具有決定作用，在光子晶體中，如果輻射子(原子和分子)的躍遷偶極矩隨機(jī)分布，則局域態(tài)密度可表示為

其中ωnk和En(k，r)分別為電磁場(chǎng)的本征頻率和本征模．在光子晶體內(nèi)，數(shù)值模擬局域態(tài)密度較難，因?yàn)榫钟驊B(tài)密度的計(jì)算需在整個(gè)第一布里淵區(qū)完成．WANG［10］提出點(diǎn)群變換的方法極大簡(jiǎn)化了局域態(tài)密度的計(jì)算．但在大多情況下，量子輻射子(量子點(diǎn))處于極化狀態(tài)時(shí)輻射子的躍遷偶極矩并非隨機(jī)分布，而是沿確定方向．輻射子的自發(fā)輻射特性是由方向性局域態(tài)密度決定，在光子晶體內(nèi)方向性局域態(tài)密度的定義［13］如下其中對(duì)k矢量的積分是在整個(gè)第一布里淵區(qū)(FBZ)內(nèi)進(jìn)行，μd為躍遷偶極矩，ωnk和 En(k，r)分別為相應(yīng)k點(diǎn)的本征值和本征矢量，n為帶指標(biāo)．

由于式(2)中局域態(tài)密度對(duì)方向的依賴性，欲計(jì)算方向性局域態(tài)密度并且避免在整個(gè)第一布里淵區(qū)積分，唯一可利用的對(duì)稱性是反演對(duì)稱性［11-12］．但是反演對(duì)稱性僅僅使式(2)的積分縮減到第一布里淵區(qū)的一半．由式(1)和式(2)可知，欲計(jì)算局域態(tài)密度或方向性局域態(tài)密度，需計(jì)算出相應(yīng)k點(diǎn)的本征頻率和本征值，由于本征方程的計(jì)算耗費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，在半個(gè)布里淵區(qū)計(jì)算仍比較困難．本文提出一種點(diǎn)群操作法使式(2)的計(jì)算可以在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)進(jìn)行，因而極大簡(jiǎn)化了方向性局域態(tài)密度的計(jì)算．

1 理論推導(dǎo)

計(jì)算方向性局域態(tài)密度，需求出相應(yīng)k點(diǎn)的本征值和本征矢量［12］，然后根據(jù)磁場(chǎng)Hn(k，r)與電場(chǎng)En(k，r)的關(guān)系

求出對(duì)應(yīng)的本征電場(chǎng)．考慮截?cái)嗾`差，采用NIKOLAEV等［12］的方法計(jì)算本征電場(chǎng)．為節(jié)省計(jì)算時(shí)間，需布里淵區(qū)內(nèi)建立在k星中不同k之間的變換關(guān)系，由文獻(xiàn)［12］，有

其中 α［Fn(k表示對(duì)矢量Fn(kt)-1r)旋轉(zhuǎn)，上式可利用 KAZUAKI［15］方法證明．此處討論面心立方結(jié)構(gòu)光子晶體，平移矢量t=0．

第一布里淵區(qū)在點(diǎn)群操作下不變［10］，式(2)在第一布里淵區(qū)的積分滿足如下變換關(guān)系

其中αi(i=1，2，3，…nG)屬于相應(yīng)的晶體點(diǎn)群操作．定義平均可積函數(shù):

其中nG是相應(yīng)點(diǎn)群的群?jiǎn)T個(gè)數(shù)(即簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的個(gè)數(shù))，利用關(guān)系 ωnk=ωna［k］(k 星中各 k 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的本征頻率相同)對(duì)式(7)在整個(gè)第一布里淵區(qū)積分，可得

利用群的封閉性和平均可積函數(shù)得出方向性局域態(tài)密度:

容易證明平均可積函數(shù)Fn(k，r)對(duì)應(yīng)k星中不同 k 點(diǎn)的值不變，即 Fn(αj［k］，r)=Fn(k，r)．因而式(9)的積分可在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)完成．注意到，對(duì)2個(gè)矢量同時(shí)進(jìn)行操作時(shí)，其標(biāo)量積保持不變，可得到對(duì)k點(diǎn)的操作與對(duì)實(shí)空間點(diǎn)操作的關(guān)系:

考慮平均可積函數(shù)與上式的操作關(guān)系，面心立方結(jié)構(gòu)光子晶體中方向性局域態(tài)密度表示如下

2 計(jì)算結(jié)果與討論

根據(jù)MONKHORST等［16］的方法在第一布里淵區(qū)產(chǎn)生16 384個(gè)粗格點(diǎn)及1 048 576個(gè)精細(xì)格點(diǎn);然后計(jì)算粗格點(diǎn)上的本征場(chǎng)En(k，r)和本征值ωnk的值;最后利用插值算法求出精細(xì)格點(diǎn)上的值．本文采用725個(gè)平面波解磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)的本征方程．

計(jì)算采用NIKOLAEV［12］提出的面心立方結(jié)構(gòu):由二氧化鈦(TiO2)球殼構(gòu)成的反結(jié)構(gòu)，球殼的內(nèi)半徑為r = 0．25(a 為晶格常數(shù))，外半徑為 1．09r，球殼的介電常數(shù)ε=6．5，球殼內(nèi)為空氣球，并且相鄰2個(gè)空氣球之間是由半徑為0．4r的空氣柱相連．

在由硅殼構(gòu)成的面心立方反結(jié)構(gòu)中，對(duì)于某些k點(diǎn)和實(shí)空間r 的值如表1所示，采用Schoenflies符號(hào)表示空間的點(diǎn)群操作，k點(diǎn)屬于k星．為證明實(shí)空間點(diǎn)與k 點(diǎn)之間操作關(guān)系μd·En(α［k］，的正確性，僅考慮k星中的幾個(gè)一般的k點(diǎn)．不失一般性，任意選擇偶極方向 μd=(1，2，3)/為簡(jiǎn)化描述，分別用代表和的值．通過(guò)表1可驗(yàn)證反演關(guān)系［12］和式(10)的正確性．

為了驗(yàn)證點(diǎn)群操作方法對(duì)處理方向性局域態(tài)密度的有效性，將計(jì)算的偶極矩方向沿［1，1，0］空間點(diǎn)位于(0．25，0．25，0)a(a是晶格常數(shù))的方向性局域態(tài)密度與NIKOLAEV［12］的計(jì)算結(jié)果比較(圖1)，本文的結(jié)構(gòu)因子以解析形式給出，而文獻(xiàn)［14］通過(guò)離散傅立葉變換方式得到，二者結(jié)果吻合，略微差別．計(jì)算中，在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)選取408-k個(gè)點(diǎn)，同時(shí)采用插值算法節(jié)省計(jì)算時(shí)間，而文獻(xiàn)［12］在半個(gè)布里淵區(qū)選取145708-k個(gè)點(diǎn)，同時(shí)采用插值法計(jì)算耗費(fèi)時(shí)間較短，計(jì)算速度(耗時(shí)15min)是文獻(xiàn)［12］(耗時(shí)4d)的360倍(145708/408=360)．

表1 面心立方結(jié)構(gòu)中Table 1 The results of

表1 面心立方結(jié)構(gòu)中Table 1 The results of

α α［k］α-1 r α-1［μd］/ 14 Eαk1Eαrμ1Eαk2Eαrμ2Eαk3Eαrμ3 E (0．8，0．4，0．2) (0．2，0．1，0．05) (1．0，2．0，3．0)0．000 9 0．000 9 0．109 4 0．109 4 0．014 3 0．014 3 I (-0．8，-0．4，-0．2)(-0．2，-0．1，-0．05)(-1．0，-2．0，-3．0)0．000 9 0．000 9 0．109 4 0．109 4 0．014 3 0．014 3 C4x (0．8，0．2，-0．4) (0．2，-0．05，0．1) (1．0，-3．0，2．0) 0．061 2 0．061 2 0．001 9 0．001 9 0．135 2 0．135 2 IC4x (-0．8，-0．2，0．4)(-0．2，0．05，-0．1)(-1．0，3．0，-2．0) 0．061 2 0．061 2 0．001 9 0．001 9 0．135 2 0．135 2 C-1 4x (0．8，-0．2，0．4) (0．2，0．05，-0．1) (1．0，3．0，-2．0) 0．045 3 0．045 3 0．003 2 0．003 2 0．163 4 0．163 4 IC-1 4x (-0．8，0．2，-0．4)(-0．2，-0．05，0．1)(-1．0，-3．0，2．0) 0．045 3 0．045 3 0．003 2 0．003 2 0．163 4 0．163 4 C3xyz (0．4，0．2，0．8) (0．05，0．2，0．1) (3．0，1．0，2．0) 0．001 6 0．001 6 0．036 8 0．036 8 0．003 6 0．003 6 C-1 3xyz (0．2，0．8，0．4) (0．1，0．05，0．2) (2．0，3．0，1．0)0．014 9 0．014 9 0．037 5 0．037 5 0．022 2 0．022 2

圖1 方向性局域態(tài)密度計(jì)算結(jié)果與Nikolaev計(jì)算法的對(duì)比Figure 1 Comparison to Nikolaev method on orientation-dependent local density of states

3 結(jié)論

通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬的方法研究了面心立方結(jié)構(gòu)光子晶體中電場(chǎng)在倒格空間k點(diǎn)和實(shí)空間r點(diǎn)的變換關(guān)系．推導(dǎo)出了方向性局域態(tài)密度的平均可積函數(shù)．計(jì)算的方向性局域態(tài)密度與Nikolaev的結(jié)果相吻合，且計(jì)算速度更快．說(shuō)明采用點(diǎn)群操作方法是正確有效的．在同樣精度下，本文的算法極大程度加快了方向性局域態(tài)密度的計(jì)算速度．

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