李致富 胡躍明

(1．華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣東廣州510640;

2．華南理工大學(xué)精密電子制造裝備教育部工程研究中心，廣東廣州510640)

迭代學(xué)習(xí)控制［1-2］(ILC)利用系統(tǒng)以前的控制信息不斷地修正控制輸入，使得被控系統(tǒng)產(chǎn)生期望的運(yùn)動(dòng)軌跡．迭代學(xué)習(xí)控制因不需要精確的系統(tǒng)模型信息而受到了眾多學(xué)者的關(guān)注，已經(jīng)發(fā)展成為最主要的智能控制方法之一［3-5］．然而，目前絕大部分的迭代學(xué)習(xí)收斂算法都是針對(duì)標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的［6-9］．從工程應(yīng)用角度來(lái)看，在迭代學(xué)習(xí)控制中，不確定系統(tǒng)的魯棒性和輸出誤差的單調(diào)收斂性尤為重要，因此，近年來(lái)，迭代學(xué)習(xí)控制的魯棒單調(diào)收斂性問(wèn)題逐漸成為迭代學(xué)習(xí)控制研究中的熱點(diǎn)［10］．文獻(xiàn)［11］中基于μ分析方法對(duì)不確定性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒單調(diào)收斂的有限時(shí)間區(qū)間迭代學(xué)習(xí)控制算法．文獻(xiàn)［12］中采用超級(jí)向量法對(duì)帶有馬爾可夫參數(shù)區(qū)間不確定性的系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒單調(diào)收斂的迭代學(xué)習(xí)控制算法．而采用線性矩陣不等式(LMI)方法來(lái)研究魯棒單調(diào)收斂問(wèn)題的文獻(xiàn)較少．盡管文獻(xiàn)［13］中基于二維(2D)方法對(duì)帶有參數(shù)不確定性的時(shí)延線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒單調(diào)迭代學(xué)習(xí)控制算法，并得出了基于LMI的充分條件，但該算法需滿(mǎn)足初始狀態(tài)值等于期望初始狀態(tài)值的ILC復(fù)位條件．

文中基于LMI研究一類(lèi)帶有初始狀態(tài)誤差的不確定離散線性系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)單調(diào)收斂問(wèn)題，提出了一種采用簡(jiǎn)單P-型學(xué)習(xí)律的魯棒單調(diào)收斂的迭代學(xué)習(xí)控制策略．首先把魯棒單調(diào)迭代控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維系統(tǒng)的H∞干擾抑制問(wèn)題，然后給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和用LMI表示的魯棒單調(diào)收斂的充分條件，該LMI條件還可用于確定學(xué)習(xí)律的增益．最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該魯棒單調(diào)迭代學(xué)習(xí)控制策略的有效性．

1 問(wèn)題的提出

考慮如下帶有參數(shù)擾動(dòng)的不確定離散線性系統(tǒng):

式中:時(shí)間變量 t=0，1，…，N;xk(t)∈Rn、uk(t)∈Rm和yk(t)∈Rp分別為系統(tǒng)在第k次迭代運(yùn)動(dòng)中的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量;A、B、C為合適維數(shù)的標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)的實(shí)矩陣，不失一般性，假設(shè)B和C為滿(mǎn)秩矩陣;ΔA(t)和ΔB(t)為t時(shí)刻與矩陣A、B對(duì)應(yīng)的不確定擾動(dòng)，滿(mǎn)足

W、F1、F2為合適維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，Σ(t)為未知的時(shí)變矩陣，且滿(mǎn)足ΣT(t)Σ(t)≤I，I為單位矩陣．

在系統(tǒng)(1)的迭代學(xué)習(xí)過(guò)程中，令其期望輸出為yd(t)，對(duì)應(yīng)的期望狀態(tài)為xd(t)，輸出誤差定義為ek(t)=yd(t)-yk(t)，且作如下假設(shè):

(1)矩陣A是穩(wěn)定的;

(2)對(duì)于預(yù)先給定的期望輸出yd(t)，存在唯一的輸入序列 ud(t)，t∈［1，N］，使得系統(tǒng)(1)成立;

(3)在迭代學(xué)習(xí)控制過(guò)程中，迭代初始狀態(tài)滿(mǎn)足xk(0)=x0，其中x0為有界的任意給定點(diǎn)．

考慮如下的P-型迭代學(xué)習(xí)律:

系統(tǒng)(1)在假設(shè)(1)-(3)成立的情況下，采用學(xué)習(xí)律(3)尋找合適的學(xué)習(xí)增益K，使得

(i)當(dāng) k ∞時(shí)，輸出誤差 ek(t)趨于0(t∈［1，N］);

(ii)輸出誤差2-范數(shù)單調(diào)收斂，即滿(mǎn)足

式中，γe∈(0，1］，范數(shù)定義為

2 魯棒單調(diào)收斂控制

首先，考慮系統(tǒng)(1)不帶參數(shù)擾動(dòng)時(shí)的情況，即ΔA(t)=ΔB(t)=0．

定理1 系統(tǒng)(1)不帶參數(shù)擾動(dòng)時(shí)，在假設(shè)(1)-(3)成立的情況下采用學(xué)習(xí)律(3)，如果存在標(biāo)量0＜γ≤1、正定矩陣 P=PT＞0和矩陣X，使得如下LMI成立:

式中，*表示對(duì)稱(chēng)矩陣中的對(duì)稱(chēng)部分．那么，當(dāng)k ∞時(shí)，輸出誤差 ek(t)趨于 0(t∈［1，N］)，且式(4)單調(diào)收斂．此外，當(dāng)LMI(5)滿(mǎn)足時(shí)，增益K為

證明 定義 ηk(t)=xk+1(t-1)-xk(t-1)，當(dāng)ΔA(t)=ΔB(t)=0時(shí)，由式(1)和(3)可得

和

從傳統(tǒng)一維系統(tǒng)的輸入-輸出角度，將式(7)和(8)中的t視為離散時(shí)間，ηk(t)視為狀態(tài)向量，ek(t)視為擾動(dòng)輸入，ek+1(t)視為輸出向量．將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)記

為G(z)，由無(wú)窮范數(shù)定義可知由假設(shè)(3)可知，ηk(0)=0，再由假設(shè)(1)，根據(jù)文獻(xiàn)［14］的引理4．1可知，的充要條件是:存在正定矩陣P1=＞0，使得

成立．對(duì)式(10)分別左乘和右乘矩陣diag{■γP1，，可得

記P1=γP-1，X=K，并對(duì)式(11)分別左乘和右乘矩陣 diag{P/γ，1，P，1}，則式(11)可轉(zhuǎn)化為等價(jià)的LMI(5)．因此，由式(5)成立可得

由式(9)和(12)可知式(4)成立，而且

注意到系統(tǒng)在第一次迭代運(yùn)行(即k=0)時(shí)，其初始控制輸入u0(t)是有界的，而且系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因此也是有界的．由式(13)可得，當(dāng)成立．因此易知，當(dāng)k ∞時(shí)，輸出誤差 ek(t)趨于0(t∈［1，N］)．證畢．接下來(lái)討論系統(tǒng)(1)帶有參數(shù)不確定性的情況．引理1［15］給定合適維數(shù)矩陣 Q=QT、H、R，對(duì)任意滿(mǎn)足ΔTΔ≤I的Δ，使

成立的充分必要條件是:存在ε＞0，使得

定理2 系統(tǒng)(1)帶有參數(shù)擾動(dòng)(2)時(shí)，在假設(shè)(1)-(3)成立的情況下采用學(xué)習(xí)律(3)，如果存在標(biāo)量0＜γ≤1、ε＞0、正定矩陣 P=PT＞0和矩陣X，使得如下LMI成立:

則k ∞時(shí)，輸出誤差ek(t)趨于0(t∈［1，N］)，且式(4)單調(diào)收斂．此外，當(dāng)LMI(5)滿(mǎn)足時(shí)，增益K=X．

證明 首先由式(1)和(3)可得和

式中，AΔ=A+ΔA，BΔ=B+ΔB．同理，把式(17)和(18)視為一維離散不確定系統(tǒng)，由定理1和文獻(xiàn)［14］的定義4．1可知，系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的，而且對(duì)于擾動(dòng)輸入具有H∞干擾抑制度γ的充要條件是:存在正定矩陣P=PT＞0和矩陣X，使得

同理，在假設(shè)(1)-(3)成立的情況下采用學(xué)習(xí)律(3)，式(19)成立是系統(tǒng)(1)帶有參數(shù)擾動(dòng)(2)時(shí)式(4)單調(diào)收斂的充分條件．

引理1可知，ψ＜0成立的充要條件是:存在ε＞0，使得

成立．式(21)可改寫(xiě)為

式中，

應(yīng)用Schur補(bǔ)引理，由式(22)可得到式(16)．其余部分的證明省略，因?yàn)槠渥C明和定理1相似．

說(shuō)明1 文獻(xiàn)［16］中推導(dǎo)出系統(tǒng)(1)在沒(méi)有參數(shù)擾動(dòng)和采用學(xué)習(xí)律(3)時(shí)，輸出誤差一致收斂的充要條件:矩陣I-CBK是穩(wěn)定的．但文獻(xiàn)［16］中的ILC方法僅能保證系統(tǒng)的輸出誤差是漸近穩(wěn)定的，而不是單調(diào)收斂的．

說(shuō)明2 由式(5)可知

成立，整理可得

因?yàn)?＜γ≤1且P為正定矩陣，由式(6)和(23)可知，矩陣I-CBK不僅是穩(wěn)定的，而且還要滿(mǎn)足式(23)．換句話說(shuō)，式(5)比“矩陣I-CBK是穩(wěn)定”的約束更強(qiáng)，這樣才能保證系統(tǒng)(1)在沒(méi)有參數(shù)擾動(dòng)和采用學(xué)習(xí)律(3)時(shí)的輸出誤差是單調(diào)收斂的．

說(shuō)明3 在定理1和2的證明過(guò)程中，定義ηk(t)=xk+1(t-1)-xk(t-1)，同時(shí)從傳統(tǒng)一維系統(tǒng)的角度來(lái)考慮二維系統(tǒng)，并將ηk(t)視為一維系統(tǒng)的狀態(tài)向量，這是文中基于LMI的迭代學(xué)習(xí)控制策略能滿(mǎn)足假設(shè)(3)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．

3 仿真研究

初始狀態(tài)值為，?k≥1．顯然，xk(0)不等于期望的初始狀態(tài)值，存在初始狀態(tài)誤差．此外，矩陣A是穩(wěn)定的，滿(mǎn)足假設(shè)(1)．采樣時(shí)間Ts=1ms．

使用Matlab的LMI工具箱對(duì)LMI(16)進(jìn)行求解，當(dāng) γ =0．9、ε =5 時(shí)，式(16)可解．因?yàn)?tmin=-0．026，滿(mǎn)足LMI有解的充要條件 tmin＜0．此外，可得到X=0．2962，因此學(xué)習(xí)增益 K=X=0．2962．不確定離散線性系統(tǒng)應(yīng)用ILC學(xué)習(xí)律(3)、期望軌跡為式(24)時(shí)的仿真結(jié)果如圖1所示．顯然，基于LMI(16)求解得到的學(xué)習(xí)增益，可以保證帶有初始狀態(tài)誤差和參數(shù)不確定離散系統(tǒng)的輸出誤差2-范數(shù)是魯棒單調(diào)收斂的，當(dāng)?shù)降?3次時(shí)，輸出誤差2-范數(shù)開(kāi)始趨近于0．

圖1 不確定離散線性系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制的仿真結(jié)果Fig．1 Simulation results of ILC for uncertain discrete linear system

將文獻(xiàn)［16］中的控制策略與文中的控制策略分別應(yīng)用到標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)．其中參數(shù)的擾動(dòng)設(shè)置為 0，即 Σ(t)=diag(0，0)．文獻(xiàn)［16］中只要求I-CBK穩(wěn)定即可，文中取K=0．5，滿(mǎn)足漸近穩(wěn)定的要求．由定理1，通過(guò)Matlab的LMI工具箱，取γ=0．9，解 LMI(5)可得 K=X=0．1487(tmin=-0．048)．這兩種策略的仿真結(jié)果如圖2所示．顯然，文中的迭代學(xué)習(xí)律可以保證系統(tǒng)的輸出誤差是單調(diào)收斂的;對(duì)于文獻(xiàn)［16］的學(xué)習(xí)增益，系統(tǒng)的迭代過(guò)程是漸近穩(wěn)定而不是單調(diào)收斂的，迭代到第398次時(shí)，系統(tǒng)的輸出誤差2-范數(shù)達(dá)到一個(gè)極大值．產(chǎn)生此種現(xiàn)象的原因是K=0．5時(shí)LMI(5)是不可解的．

圖2 兩種控制策略的仿真結(jié)果比較Fig．2 Comparison of simulation results between two control schemes

4 結(jié)語(yǔ)

文中采用簡(jiǎn)單的P-型迭代學(xué)習(xí)律研究帶有參數(shù)不確定性和初始狀態(tài)誤差的離散線性系統(tǒng)的魯棒單調(diào)收斂迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題，通過(guò)將魯棒單調(diào)迭代控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一維系統(tǒng)的H∞干擾抑制問(wèn)題，推導(dǎo)出一個(gè)基于LMI的魯棒單調(diào)收斂的充分條件，該LMI條件還可用于確定學(xué)習(xí)律的增益．文中最后通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證了該魯棒控制策略的有效性．文中研究的迭代控制算法雖然可以達(dá)到初始狀態(tài)與期望狀態(tài)不一致的要求，但在迭代過(guò)程中還需要滿(mǎn)足初始狀態(tài)一致的條件，因此，將此條件放寬到“迭代過(guò)程中初始狀態(tài)誤差可在一個(gè)小的有界鄰域內(nèi)任意變化”的條件是下一步研究的方向．

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