文仕軍

(貴州大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550025)

0 引言

以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析為主要目的學(xué)習(xí)問(wèn)題被分為三個(gè)基本問(wèn)題：模式識(shí)別、回歸估計(jì)和概率密度估計(jì)。在解決學(xué)習(xí)問(wèn)題的傳統(tǒng)理論中，模式識(shí)別和回歸估計(jì)都是建立在概率密度估計(jì)的基礎(chǔ)上的。概率密度估計(jì)通常采用參數(shù)估計(jì)和非參數(shù)估計(jì)的方法[1]。參數(shù)方法是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，假定總體的分布為某種特定的形式，如高斯分布、瑞利分布等，而未知總體分布的某些具體參數(shù)值，然后再用樣本計(jì)算出這些未知的參數(shù)值。但在實(shí)際應(yīng)用中，樣本數(shù)據(jù)總是有限的，有時(shí)并不能確定總體的具體分布。當(dāng)對(duì)總體的分布形式無(wú)法做出大致正確的判斷時(shí)，需要采用一種非參數(shù)方法更為合理，直接從樣本入手進(jìn)行估計(jì)，即非參數(shù)估計(jì)方法。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法幾乎不對(duì)總體設(shè)立限制條件，非參數(shù)估計(jì)可以處理所有類型的數(shù)據(jù)[2]。

概率密度估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)核心問(wèn)題，得到概率密度，就可以解決概率有關(guān)的問(wèn)題。因此，求解概率密度問(wèn)題在理論研究和實(shí)際問(wèn)題中都有重要的意義。在非參數(shù)密度估計(jì)中，常用的方法有Parzen窗法和SVM 等。Parzen 窗估計(jì)需要盡可能多的估計(jì)樣本，窗寬的取值也影響估計(jì)的精度；SVM 估計(jì)需要采用非線性規(guī)劃的手段實(shí)現(xiàn)，雖然在樣本有限的情況下也能達(dá)到一定的精度，但是算法復(fù)雜，樣本規(guī)模較大時(shí)訓(xùn)練速度較慢。本文介紹一種簡(jiǎn)單有效的估計(jì)方法，稱為核非線性回歸（KNR，Kernel-based Nonlinear Regression）法。

1 密度估計(jì)的經(jīng)典方法

1.1 概率分布及概率密度

對(duì)于隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x 有：

則稱X 為連續(xù)型隨即變量，其中函數(shù)f(x)稱為X 的概率密度函數(shù)。

1.2 概率密度估計(jì)的經(jīng)典方法

1.2.1 極大似然估計(jì)

對(duì)于獨(dú)立同分布的樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xN，定義似然函數(shù)為：

其中，密度是θ 的函數(shù)。

將似然函數(shù)（2）表示成對(duì)數(shù)形式：

則最大似然函數(shù)的估計(jì)量即為式(3)表示的微分方程的解[2]。

1.2.2 經(jīng)驗(yàn)方法：統(tǒng)計(jì)直方圖[3]

設(shè)X1，X2，…，Xn是取自總體X 的樣本，x1，x2，…，xn表示樣本觀測(cè)值，令：

其中i=1，2，…，n，j=1，2，…，k，則得到：

式（7）為采用經(jīng)驗(yàn)方法估計(jì)得到的密度函數(shù)。

2 密度估計(jì)的核非法

2.1 Parzen 窗法

定義以原點(diǎn)為中心，半徑為1/2 的鄰域函數(shù)為：

式（9）為Parzen 窗密度估計(jì)，其中h 為窗寬[3]。

2.2 基于SVM 的密度估計(jì)

用SVM 方法來(lái)估計(jì)概率密度，就是從概率密度的定義出發(fā)，直接求解該線性算子方程。它結(jié)合了不適定問(wèn)題的理論、傳統(tǒng)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論等方面的思想。支持向量機(jī)是通過(guò)事先選擇好的某一個(gè)非線性變換，將輸入向量x 映射到高維空間Z，在這一特征空間中，構(gòu)造一個(gè)最優(yōu)超平面[4,5]。

利用SVM 求解概率密度估計(jì)問(wèn)題，主要是首先在像空間中定義相應(yīng)的回歸問(wèn)題，然后利用支持向量機(jī)法構(gòu)造求解回歸問(wèn)題的核函數(shù)K(xi，xj)和交叉函數(shù)κ(xi，t)，最后根據(jù)核函數(shù)，利用支持向量機(jī)方法求解回歸問(wèn)題，找出支持向量和對(duì)應(yīng)的系數(shù)，具體過(guò)程為：

使用SVM 方法解線性算子方程：

方程（10）的解可以表示成如下形式：

將式（11）表示成函數(shù)集的形式：

在式（12）最小化泛函，即尋找目標(biāo)函數(shù)。通過(guò)算子A，該函數(shù)集映射為：

定義像空間中的核函數(shù)為：

利用SVM 方法解線性算子方程就可以表達(dá)為利用核函數(shù)和數(shù)據(jù)對(duì)(x1，F(xiàn)l(x1))，…，(xl，F(xiàn)l(xl))在像空間中進(jìn)行回歸估計(jì)，獲得w，并通過(guò)交叉核函數(shù)得到線性算子方程的解：

其中，κ(xi，x)為核交叉函數(shù)，式（16）是對(duì)未知的概率密度f(wàn)(x)進(jìn)行回歸估計(jì)得到的結(jié)果[4-5]。

2.3 基于KNR 的密度估計(jì)[6-9]

KNR 是一種非線性核回歸算法，在圖像處理、模式識(shí)別中有廣泛的應(yīng)用。再生核k 定義為：設(shè)H 是Hilbert 函數(shù)空間，其元素是某個(gè)抽象集合B 上的實(shí)值或復(fù)值函數(shù)，設(shè)k(t，s)是B×B 上的二元函數(shù)，對(duì)于任何的s∈B，k 作為t 的函數(shù)是s 的元素，而且對(duì)于任何s∈B 及fk∈H有：

則稱設(shè)k(t,s)為Hilbert 函數(shù)空間的再生核。定義再生核函數(shù)為：

則密度函數(shù)f(x)為多個(gè)核函數(shù)疊加而成，表示如下：

其中N 表示樣本個(gè)數(shù)，x 表示樣本元素，a 為系數(shù)向量，由最小二乘準(zhǔn)則估計(jì)出向量a 如下式：

符號(hào)“+”表示矩陣的Moore-Penrose 廣義逆，并且K 中的第p 行q列的元素為：

其中，x 表示訓(xùn)練向量。

式（20）中，y 表示為：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

首先給定高斯分布中的參數(shù)值，用高斯分布密度產(chǎn)生100 個(gè)隨機(jī)數(shù)，由分布密度（23）產(chǎn)生100 個(gè)隨機(jī)樣本，采用正態(tài)分布，用極大似然函數(shù)法求參數(shù)μ 和σ。

其中σ=0.5，μ=3。

用參數(shù)法估計(jì)的μ=3.0615，σ=0.5812，但這是在已知數(shù)據(jù)分布的基礎(chǔ)上，對(duì)已知分布的部分未知參數(shù)采用極大似然法進(jìn)行估計(jì)。然后用Parzen 估計(jì)、SVM、及KNR 方法法得到估計(jì)曲線，與理論曲線進(jìn)行了對(duì)比。由圖1 可知，經(jīng)驗(yàn)密度估計(jì)過(guò)程中，不需要先驗(yàn)知識(shí)，將樣本數(shù)據(jù)的取值范圍分成若干個(gè)區(qū)間，然后把落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)數(shù)目用直方圖表示出來(lái)，但是估計(jì)概率密度精度不高。圖2 采用Parzen 核密度估計(jì)的方法，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到了概率密度曲線，在核密度估計(jì)過(guò)程中，窗寬h 的取值會(huì)影響估計(jì)曲線的光滑程度，h 較大，將有較多的樣本點(diǎn)對(duì)x 處的密度估計(jì)產(chǎn)生影響，Parzen 核密度估計(jì)為了提高估計(jì)精度，需要盡可能多的樣本。由圖3 支持向量機(jī)概率密度估計(jì)曲線可知，支持向量機(jī)估計(jì)時(shí)對(duì)樣本數(shù)據(jù)依賴較小，需要少數(shù)的支持向量即可，圖3 中* 號(hào)表示支持向量，估計(jì)精度較高時(shí)需要的支持向量也較多，支持向量較少的部分估計(jì)誤差很大，同時(shí)由于算法涉及大量矩陣運(yùn)算，樣本訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)。由圖4 可知，采用KNR 方法后，能夠提高估計(jì)精度，算法簡(jiǎn)單，提高了執(zhí)行速度。

圖1 經(jīng)驗(yàn)密度估計(jì)曲線（直方圖）

圖2 parzen 核估計(jì)概率密度曲線

圖3 支持向量機(jī)估計(jì)概率密度曲線

圖4 核非法概率密度曲線

4 結(jié)論

在對(duì)極大似然法、Parzen 等傳統(tǒng)的方法進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，采用了一種KNR 的密度估計(jì)方法。得到了相關(guān)方法估計(jì)結(jié)果和理論估計(jì)結(jié)果的對(duì)比曲線，由結(jié)果可看出，與參數(shù)法求解概率密度相比，非參數(shù)法可以處理任意形式的概率密度，不存在模型失配問(wèn)題，但是為了得到精確的概率密度，需要得到大量的訓(xùn)練樣本；KNR 方法能夠在有限樣本的情況下得到較為精確的密度估計(jì)。

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