呂美英

呂美英/重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院講師，博士（重慶401331）。

泛函分析是從變分法、積分方程、微分方程、逼近論和理論物理的研究中發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它綜合地運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的方法，研究無(wú)限維線性拓?fù)淇臻g和這類空間之間各種映射的一般性質(zhì)。改革開放以來(lái)，全國(guó)眾多高等院校為數(shù)學(xué)專業(yè)的本科生和理工科研究生都開設(shè)了泛函分析課程，并且泛函分析已經(jīng)成為數(shù)學(xué)專業(yè)本科生學(xué)習(xí)分析學(xué)的一門重要的基礎(chǔ)課程，國(guó)內(nèi)外許多著名的數(shù)學(xué)家也編著了泛函分析教材。泛函分析課程綜合了代數(shù)、分析、幾何的觀點(diǎn)和方法，所涉及的內(nèi)容和技巧對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)各研究方向都極其重要。但由于該課程的高度抽象性，國(guó)內(nèi)外普遍存在難教難學(xué)的問(wèn)題。筆者承擔(dān)了重慶師范大學(xué)研究生一年級(jí)的泛函分析的教學(xué)任務(wù)，現(xiàn)從優(yōu)選教材、優(yōu)化內(nèi)容；做好與數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)等基礎(chǔ)課程的銜接；充分利用直觀形象的教學(xué)手段；注重習(xí)題的訓(xùn)練；以及以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神為目標(biāo)，積極開展科研活動(dòng)等五個(gè)方面，就如何教好泛函分析課程進(jìn)行闡述如下。

一、選擇適合教學(xué)對(duì)象的教材，合理安排教學(xué)內(nèi)容

最近幾年，隨著各個(gè)高校本科生、研究生的擴(kuò)招，以及學(xué)生地域性、受教育程度的不同，致使學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊；同時(shí)，有的高校不斷擴(kuò)充公選課的數(shù)量與課時(shí)，增加學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐的時(shí)間，致使泛函分析的課時(shí)大大減少。在這樣的雙重矛盾下，教師必須選擇適合自己教學(xué)對(duì)象的教材才能達(dá)到良好的教學(xué)效果。教材過(guò)于簡(jiǎn)單、容易，學(xué)生學(xué)之甚少，不利于人才的培養(yǎng)；教材內(nèi)容過(guò)多、過(guò)深，學(xué)生則很難消化，不利于泛函分析理論體系的掌握。目前，在全國(guó)高校中使用最多的有以下四本教材：復(fù)旦大學(xué)夏道行等編的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》下冊(cè)泛函分析部分，這本書出版時(shí)間較長(zhǎng)，內(nèi)容較為豐富，包含了泛函分析的許多研究專題；華東師范大學(xué)程其襄等編著的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》泛函分析部分，該書以精簡(jiǎn)的方式介紹了泛函分析的核心內(nèi)容，直觀易懂與嚴(yán)密處理相結(jié)合，本教材注重師范性與泛函分析科學(xué)體系的統(tǒng)一性，是目前師范院校廣泛采用的泛函分析教材；武漢大學(xué)劉培德編著的《泛函分析基礎(chǔ)》，該書是國(guó)家理科基地教材之一，本教材著意較強(qiáng)基礎(chǔ)理論的講解，在突出基本理論框架的同時(shí)有重點(diǎn)地介紹了對(duì)于其他學(xué)科的應(yīng)用，以簡(jiǎn)短的篇幅敘述泛函分析的基本理論，并以適當(dāng)?shù)纳疃韧诰蚱渲械乃枷牒头椒ǎ且槐具m合學(xué)生基礎(chǔ)較好且課時(shí)數(shù)較多的情況下使用的教材；北京大學(xué)張恭慶等編著的《泛函分析講義》，該書系統(tǒng)介紹了線性泛函分析的基礎(chǔ)知識(shí)，他側(cè)重于分析若干基本概念和重要理論的來(lái)源與背景，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用泛函分析方法解決問(wèn)題的能力，并注意介紹泛函分析理論與數(shù)學(xué)其他分支的聯(lián)系，是適合理工科本科生與研究生使用的一本教材。

在選好教材的同時(shí)，也要注重教學(xué)內(nèi)容的安排，要明確哪些內(nèi)容要講或者不講，哪些內(nèi)容精講或者略講。就以程其襄等編著的《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》為例，如果課時(shí)數(shù)量較少，可只介紹度量空間、Banach空間和Hilbert空間；而在課時(shí)數(shù)量稍多的情況下，可講解線性泛函和線性算子的重要定理；如果能達(dá)到50學(xué)時(shí)以上，可介紹全部?jī)?nèi)容。

二、注意與數(shù)學(xué)分析、事變函數(shù)等基礎(chǔ)課程的銜接

泛函分析的基礎(chǔ)建立在集合的兩種結(jié)構(gòu)之上，一種是代數(shù)結(jié)構(gòu)即線性結(jié)構(gòu)，另一種是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。泛函分析與經(jīng)典分析、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、微分方程等基礎(chǔ)課程有著密切的關(guān)系。例如，在實(shí)變函數(shù)中，我們接觸過(guò)的有界變差函數(shù)類、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)類、滿足Lipschitz條件的函數(shù)類以及有號(hào)測(cè)度類等，都可以賦以適當(dāng)?shù)姆稊?shù)使之納入賦范空間的框架。在經(jīng)典分析中，我們知道函數(shù)是數(shù)集與數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而泛函則是函數(shù)集與數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，算子是函數(shù)集與函數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在數(shù)學(xué)分析中，我們有Cauchy列必收斂。但這一論斷在抽象空間中并不成立，造成這一現(xiàn)象的原因在于這些抽象空間中的點(diǎn)“不夠多”，由此引出了Banach空間的概念。又如，在數(shù)學(xué)分析中，我們有Bolzano-Weierstrass定理即有界數(shù)列必存在收斂子列，而這一定理在無(wú)限維抽象空間中也不成立，由此導(dǎo)出了緊集的概念。

可見，泛函分析與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之間有著密切的聯(lián)系，所以要做好與數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)等基礎(chǔ)課程的銜接，使泛函分析中基本概念與基本理論的教學(xué)更透徹易懂。

三、充分利用直觀形象的教學(xué)手段

泛函分析的特點(diǎn)是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化，而且還把這些概念和方法幾何化。例如，不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點(diǎn)和向量，這樣最后得到了“抽象空間”這個(gè)一般的概念，它既包含了以前討論過(guò)的幾何對(duì)象，也包括了不同的函數(shù)空間。又如，泛函分析中的凸集隔離定理，又稱為Hahn-Banach定理的幾何形式，它在規(guī)劃論、控制論與Banach空間幾何理論等方面都有重要的作用。對(duì)于該定理，我們首先考慮平面的情況，若，是平面上的兩個(gè)不相交凸集，我們一定可以用一條直線將兩者隔離開來(lái)。同樣地，對(duì)于三維空間中的兩個(gè)不相交凸集可以用一個(gè)平面來(lái)隔離。推廣到一般的線性空間就是我們的凸集隔離定理，事實(shí)上對(duì)于一般線性空間的兩個(gè)凸集是用超平面隔離開來(lái)的。

由于泛函分析的許多結(jié)論都是來(lái)源于古典分析，因此，在許多情況下，我們以平面上的情形代替，這雖不準(zhǔn)確但也能很好地說(shuō)明問(wèn)題，并且這要比空間中的模型簡(jiǎn)單許多，提高了講授效率。

四、注重習(xí)題的訓(xùn)練

學(xué)數(shù)學(xué)從某種程度上說(shuō)就是做數(shù)學(xué)。對(duì)數(shù)學(xué)工作者而言，無(wú)論是學(xué)習(xí)還是研究，保持對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的濃厚興趣最重要，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要不斷嘗試解題，屢遭挫折是正常的，有時(shí)雖未獲得解決，但嘗試解題過(guò)程本身加深了對(duì)基本概念與基本理論的理解，是提高能力的正確途徑。所以，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充一些習(xí)題，供學(xué)生練習(xí)。讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)到的知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)化，從而達(dá)到保存知識(shí)的目的，否則學(xué)生不可能掌握這類問(wèn)題，更不可能利用這種理論去解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生將越學(xué)越怕這門學(xué)科。

五、積極開展科研活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神

在泛函分析的教學(xué)中，結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)理論應(yīng)用于其他課程中，這會(huì)使學(xué)生增強(qiáng)獨(dú)立思考的勇氣和信心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。例如，在學(xué)習(xí)了共鳴定理、開映射、閉圖像以及Hahn-Banach定理之后，可以試著引導(dǎo)學(xué)生將這些定理應(yīng)用到Fourier分析，微分方程適定問(wèn)題、逼近論以及近似計(jì)算等方面，寫成應(yīng)用型的小論文。又如，在學(xué)了Banach不動(dòng)點(diǎn)定理之后，可以指導(dǎo)學(xué)生，收集更多不動(dòng)點(diǎn)定理的理論，比如，Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理、Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理等，并找出實(shí)際的例子加以應(yīng)用，最后寫成綜述型的小論文。這樣不僅可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)泛函分析的興趣，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的論文寫作能力與技巧，為畢業(yè)論文的寫作以及進(jìn)一步的深造打下基礎(chǔ)。

總之，在規(guī)定課時(shí)的情況下，盡量?jī)?yōu)選教材、優(yōu)化內(nèi)容，做好與數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)等基礎(chǔ)課程的銜接，充分利用直觀形象的教學(xué)手段，并以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神為目標(biāo)，注重習(xí)題的訓(xùn)練，積極開展科研活動(dòng)，可以提高泛函分析教學(xué)的質(zhì)量與成果。

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