王曉雷 張印強，3 楊 成 李宏生

(1東南大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)(2東南大學(xué)微慣性儀表與先進導(dǎo)航技術(shù)教育部重點實驗室，南京 210096)(3南京工業(yè)大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院，南京 210009)

硅微陀螺儀具有體積小、成本低、功耗低、易于集成化等特點，被廣泛應(yīng)用于慣性技術(shù)測量和慣性導(dǎo)航等測控領(lǐng)域［1-2］.根據(jù)哥氏效應(yīng)原理，硅微陀螺儀的測量系統(tǒng)可分為驅(qū)動和檢測2個模態(tài)，其中驅(qū)動振動是實現(xiàn)檢測模態(tài)測量輸入旋轉(zhuǎn)角速度的前提，同時決定著測量的精準度.

由于受到溫度等外界環(huán)境的影響，驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率會發(fā)生漂移.為了保證驅(qū)動信號的頻率總是與驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率保持一致，通常采用閉環(huán)控制的方式對驅(qū)動信號頻率進行控制.常用的控制方法有自激振蕩［3］和鎖相環(huán)控制［4］2 種.自激振蕩需要準確的360°移相形成自激環(huán)路，實現(xiàn)起來較為困難；同時，用于實現(xiàn)解調(diào)的正交信號一般由驅(qū)動檢測振動信號移相90°得到，精度較低.而鎖相環(huán)是基于相位控制的閉環(huán)控制系統(tǒng)，可以同時產(chǎn)生正交的2路信號，使用方便.但是，目前鎖相環(huán)多采用模擬電路實現(xiàn)，容易出現(xiàn)失調(diào)誤差和器件老化等問題，且靈活性差.數(shù)字鎖相環(huán)由于采用軟件編程實現(xiàn)，操作方便，易于修改和合成，更有利于實現(xiàn)高精度控制.

本文采用基于數(shù)字鎖相環(huán)的相位控制方案，對硅微陀螺儀的驅(qū)動模態(tài)頻率進行跟蹤和控制，并通過仿真和實驗驗證了方案的可行性.

1 硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)分析

線振動式硅微陀螺儀由2個正交的二階機械振動［5-6］構(gòu)成，可分別實現(xiàn)驅(qū)動模態(tài)和檢測模態(tài)的功能，理想情況下可表示為

式中，m為振動質(zhì)量塊質(zhì)量；cx，cy分別為x方向和y方向上的阻尼系數(shù)；kx，ky分別為x方向和y方向上的剛度；Fd為驅(qū)動信號的幅度；ωd為驅(qū)動信號的頻率；Ωz為z軸旋轉(zhuǎn)角速度；t為時間.

對驅(qū)動模態(tài)方程(1)求解，可得到驅(qū)動模態(tài)的振動幅值和相位分別為

式中，ωnx=為驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率；Qx=mωnx/cx為驅(qū)動模態(tài)的品質(zhì)因數(shù).

由式(3)可知，當(dāng)驅(qū)動信號的頻率與驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率相等(即ωd=ωnx)時，驅(qū)動模態(tài)獲得最大的能量轉(zhuǎn)換.由式(2)可知，當(dāng)輸入角速度Ωz不為0時，增大驅(qū)動振動位移，可以提高檢測模態(tài)振動的幅度，增加角速度的測量靈敏度.為了提高硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的能量轉(zhuǎn)換效率和檢測靈敏度，必須設(shè)計專門的控制電路，在頻率上實現(xiàn)驅(qū)動信號頻率與驅(qū)動模態(tài)諧振頻率相等，在相位上滿足φx=－90°.

由于溫度變化等外界因素的影響，硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率會發(fā)生偏移.以本實驗室制造的硅微陀螺儀為例，當(dāng)溫度在－40～60℃內(nèi)變化時，驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率變化量約為7 Hz.假設(shè)常溫時驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率為3139.4 Hz，當(dāng)以固定的驅(qū)動頻率進行驅(qū)動時，溫度變化而導(dǎo)致的最大頻率誤差為2.23×10－3，故不能使驅(qū)動信號工作在驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率點上.因此，為了保證驅(qū)動信號以驅(qū)動模態(tài)諧振頻率驅(qū)動硅微陀螺儀振動，必須采用閉環(huán)控制方式以保持驅(qū)動頻率和驅(qū)動模態(tài)諧振頻率一致.由式(4)可知，當(dāng)驅(qū)動頻率與驅(qū)動模態(tài)諧振頻率不等時，驅(qū)動振動的相位也將發(fā)生偏移.通過正交解調(diào)的方法，能夠方便地解出相位.由此可知，利用相位判斷驅(qū)動模態(tài)是否處于諧振狀態(tài)較容易實現(xiàn).

2 基于PLL原理的頻率控制

2.1 鎖相環(huán)的基本原理

鎖相環(huán)是根據(jù)輸入信號與輸出信號的相位差來控制振動信號頻率的一種閉環(huán)控制系統(tǒng)，主要由鑒相器(PD)、環(huán)路濾波器(LPF)和壓控振蕩器(VCO)組成(見圖1).其中，鑒相器用于比較輸入信號ui(t)和輸出信號uo(t)的相位關(guān)系，并生成含有相位差的信號ue(t)；環(huán)路濾波器采用低通濾波器，濾掉鑒相器輸出中的高頻成分，得到穩(wěn)定的相位偏差信號uc(t)；壓控振蕩器是電壓控制器件，根據(jù)輸入電壓的大小調(diào)整輸出信號的頻率.在鎖相環(huán)回路中，當(dāng)輸入信號和輸出信號的相位不一致時，由鑒相器和環(huán)路濾波器處理得到兩者的相位差信號.以相位差信號作為壓控振蕩器的控制信號，及時調(diào)整壓控振蕩器輸出信號的頻率，使輸出信號uo(t)與輸入信號ui(t)的頻率保持一致.

圖1 鎖相環(huán)原理圖

2.2 硅微陀螺儀鎖相環(huán)的控制原理

根據(jù)鎖相環(huán)的基本原理，結(jié)合硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的特性方程，構(gòu)建了控制驅(qū)動信號頻率的鎖相環(huán)相位控制方案，其原理圖見圖2.圖中，Kvf為驅(qū)動電壓到驅(qū)動力的轉(zhuǎn)換系數(shù)；Kxv為驅(qū)動振動位移到驅(qū)動振動電壓的轉(zhuǎn)換系數(shù).

圖2 基于鎖相環(huán)控制的硅微陀螺儀原理圖

由硅微陀螺儀的原理可知，當(dāng)驅(qū)動信號的頻率與驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率相等時，驅(qū)動檢測信號的相位滯后于驅(qū)動信號90°.通過采用正交乘法解調(diào)的方法［7-8］可以求出兩者的相位差.假設(shè)鎖相環(huán)輸入信號 ui=cos(ωdt+ θd)，輸出信號 uo=sinωdt，其中，θd為驅(qū)動檢測信號的相位，即偏離驅(qū)動模態(tài)諧振頻率的相位.兩信號相乘可得解調(diào)信號up，即

式(5)中包含了2倍頻信號和含有相位信息的直流偏置信號，若通過低通濾波器濾除掉高頻，則可得到含有相位信息的信號.當(dāng)θd很小時，存在近似關(guān)系sinθd≈θd，故帶有增益的相位信號(即相位誤差ue)為

PI控制算法是一種有效控制誤差變量的方法，由比例控制和積分控制構(gòu)成.比例控制可以提高變化響應(yīng)的快速性，積分控制則起到平均的作用，以減小穩(wěn)態(tài)誤差.當(dāng)輸入的相位誤差信號發(fā)生變化時，PI控制器能夠快速響應(yīng)，這時，輸出的控制電壓為uc，且

式中，Kp和Ki分別為PI控制器的比例參數(shù)和積分參數(shù).

壓控振蕩器是一種信號發(fā)生裝置，通過控制輸入電壓可以改變輸出信號的頻率，并能同時生成正弦和余弦信號.壓控振蕩器的輸出頻率ωd'由中心頻率ω0、驅(qū)動信號頻率ωd與中心頻率的偏差以及相位控制電壓uc與壓控振蕩器增益Ko的乘積共同組成，即

振蕩信號的產(chǎn)生可分為以下2步:①對壓控振蕩器的輸出頻率積分，得到不同時刻的相位；②根據(jù)不同時刻的相位，計算正弦或余弦值，即可產(chǎn)生時域正弦或余弦信號.在實際電路中，可由直接數(shù)字頻率合成(DDS)算法實現(xiàn)，輸出信號為

信號uo作為驅(qū)動電壓信號，經(jīng)Kvf轉(zhuǎn)換為靜電力，在諧振頻率下驅(qū)動硅微陀螺儀振動.提取硅微陀螺儀振動位移，并經(jīng)Kxv轉(zhuǎn)換為驅(qū)動振動電壓信號，此時，鎖相環(huán)的輸入與輸出相位差為90°.因此，通過判斷陀螺儀驅(qū)動電壓和驅(qū)動振動電壓的相位關(guān)系，可以實現(xiàn)硅微陀螺儀的鎖相環(huán)閉環(huán)驅(qū)動控制.

2.3 硅微陀螺儀鎖相環(huán)的相位控制

由于存在非線性環(huán)節(jié)，硅微陀螺儀鎖相環(huán)閉環(huán)控制電路為非線性控制系統(tǒng)［9］.由文獻［10］可知，鎖相環(huán)在鎖定狀態(tài)下具有線性特性.為了方便分析，構(gòu)建線性系統(tǒng)分析鎖相環(huán)的相位控制(見圖3).圖中，θi為輸入相位，θo為輸出相位，Ka為鑒相器的增益.

圖3 鎖相環(huán)相位控制線性模型

低通濾波器LPF采用一階低通實現(xiàn)，傳遞函數(shù)為

式中，ωc為轉(zhuǎn)折頻率；s為Laplace算子.壓控振蕩器VCO的傳遞函數(shù)為

式中，Ko為積分系數(shù).

因此，鎖相環(huán)的開環(huán)增益為

其鎖相環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程為

求解方程(14)得到如下2個根:

由于ωc為濾波器的截止頻率，ωc＞0，不論ωc2－4KaKoωc為何值，方程(14)的根都會具有負實部，閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點均位于s左平面上，因此，鎖相環(huán)閉環(huán)控制系統(tǒng)為漸進穩(wěn)定系統(tǒng).

隨著溫度等外界條件的變化，硅微陀螺儀的驅(qū)動模態(tài)諧振頻率產(chǎn)生相應(yīng)的階躍響應(yīng).輸入相位θi在t=0時刻發(fā)生階躍變化，假設(shè)相位階躍函數(shù)為

式中，u(t)為單位階躍函數(shù)；Δφ為相位變量.該相位階躍函數(shù)的拉氏變換為

根據(jù)拉氏變換終值定理可知，當(dāng)時間t趨向于無窮時有

因此，當(dāng)t趨向于無窮時，相位誤差趨向于0，即相位與輸入相位保持一致.此時，輸出頻率也鎖定在輸入頻率上，實現(xiàn)了對輸入頻率的自動跟蹤.

3 電路仿真與實驗

3.1 電路仿真

為了驗證鎖相環(huán)的跟蹤特性，對硅微陀螺儀鎖相環(huán)驅(qū)動控制技術(shù)進行仿真分析.圖4為Matlab/Simulink環(huán)境下的仿真示意圖.圖中，fd為觀測驅(qū)動頻率.硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的初始諧振頻率設(shè)為fnx=3139.4 Hz，其他仿真參數(shù)分別設(shè)置為ωnx=2πfnx=1.9725 × 104rad/s，Qx=2000，m=0.667 mg，Kvf=1.45 ×10－7N/V，Kxv=8.75 ×105V/m，Ko=100 Hz/V，ωc=628 rad/s，Kp=10，Ki=0.04.

為了檢驗鎖相環(huán)電路的閉環(huán)控制特性，設(shè)計了仿真實驗.開始時，設(shè)置壓控振蕩器的中心頻率較驅(qū)動模態(tài)諧振頻率高100 Hz，經(jīng)過1 s后，諧振頻率增加10 Hz，觀察鎖相環(huán)的動態(tài)跟蹤過程.

圖4 硅微陀螺儀鎖相環(huán)驅(qū)動模態(tài)仿真示意圖

開始運行后，驅(qū)動頻率與諧振頻率之間存在頻率差，導(dǎo)致鎖相環(huán)檢測到的硅微陀螺儀驅(qū)動信號與驅(qū)動檢測信號不完全正交，存在非正交相位差.在鎖相環(huán)的控制下，通過相位解調(diào)、低通濾波和PI控制，得到對應(yīng)的控制電壓uc(見圖5).由于頻率差的存在，控制電壓uc急劇下降.在uc的控制下，驅(qū)動信號頻率迅速減小，直到與驅(qū)動模態(tài)諧振頻率相等.此時，控制電壓uc穩(wěn)定下來，表明鎖相環(huán)的輸入信號和輸出信號正交，硅微陀螺儀在驅(qū)動方向上處于諧振狀態(tài).運行至1 s時，硅微陀螺儀的諧振頻率發(fā)生變化，根據(jù)驅(qū)動模態(tài)的相頻特性，硅微陀螺儀驅(qū)動信號與驅(qū)動檢測信號的相位差不等于90°，存在非正交的相位差.同樣，經(jīng)過鎖相環(huán)的一系列信號處理，得到控制電壓uc.在uc的作用下，VCO迅速調(diào)整驅(qū)動信號的頻率，使驅(qū)動信號頻率與驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率保持一致，從而實現(xiàn)對驅(qū)動模態(tài)諧振頻率的跟蹤和鎖定.仿真中，鎖相環(huán)的響應(yīng)時間小于0.1 s，鎖頻范圍大于100 Hz.

圖5 鎖相環(huán)控制的控制電壓和頻率變化曲線

3.2 實驗

為了進一步驗證鎖相環(huán)控制的有效性，根據(jù)鎖相環(huán)閉環(huán)控制原理，結(jié)合AGC幅度控制算法［11］，設(shè)計了基于FPGA的電路控制方案(見圖6).其中，F(xiàn)PGA選用Altera公司的 Cyclone系列芯片，AD轉(zhuǎn)換器和DA轉(zhuǎn)換器分別采用24位和16位精度的轉(zhuǎn)換芯片，硅微陀螺儀微結(jié)構(gòu)采用本實驗室研制的結(jié)構(gòu)解耦雙質(zhì)量線振動硅微陀螺儀［12］.圖6中，ug為幅值增益控制信號.

圖6 鎖相環(huán)控制硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)方案

將硅微陀螺儀放置在溫控箱內(nèi)，通過調(diào)節(jié)溫控箱的溫度來改變硅微陀螺儀的環(huán)境溫度，陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率也隨之發(fā)生變化.實際使用的硅微陀螺儀及實驗測試設(shè)備照片見圖7.

圖7 硅微陀螺儀及實驗設(shè)備照片

開環(huán)驅(qū)動時，測試硅微陀螺儀的驅(qū)動模態(tài)諧振頻率.首先，設(shè)置溫控箱為60℃，保持30 min，使陀螺整體均勻受熱.然后，以信號發(fā)生器產(chǎn)生的正弦波信號作為硅微陀螺儀的驅(qū)動信號，通過調(diào)整驅(qū)動信號頻率，使驅(qū)動檢測信號的有效值達到最大值，此時可認為驅(qū)動信號的頻率與陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率相同，記錄下驅(qū)動頻率值.然后，將溫控箱的溫度依次設(shè)置為40，20，0，－20，－40 ℃，重復(fù)上述實驗，得到各個溫度測試點的驅(qū)動模態(tài)諧振頻率.

閉環(huán)驅(qū)動時，測試硅微陀螺儀的驅(qū)動信號頻率.首先，將溫控箱升高到60℃，保持30 min.然后，使溫控箱的溫度以1℃/min的速度下降，降溫過程中的驅(qū)動信號頻率通過FPGA串口傳送到計算機中，得到60～－40℃的溫度曲線.在溫度曲線中分別找到60，40，20，0，－20，－40 ℃對應(yīng)的驅(qū)動信號頻率，即為驅(qū)動模態(tài)閉環(huán)控制下各溫度點對應(yīng)的諧振頻率.

硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的開環(huán)諧振頻率和閉環(huán)驅(qū)動頻率見表1.

表1 開環(huán)諧振頻率和閉環(huán)驅(qū)動頻率 Hz

由表1可知，隨著溫度的下降，硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率逐漸減小，并且在各個溫度測試點上，驅(qū)動信號的頻率與驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率的最大差值小于0.08 Hz，跟蹤相對誤差為2.5×10－5，說明鎖相環(huán)頻率跟蹤系統(tǒng)能夠較好地實現(xiàn)驅(qū)動信號頻率對驅(qū)動模態(tài)諧振頻率的跟蹤.

由此可知，硅微陀螺儀驅(qū)動模態(tài)諧振頻率變化跟蹤實驗結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，表明鎖相環(huán)閉環(huán)頻率控制是可行的，且具有較高的動態(tài)控制精度.

4 結(jié)語

通過分析硅微陀螺儀的驅(qū)動模態(tài)控制方程特性，提出了一種基于數(shù)字鎖相環(huán)技術(shù)控制驅(qū)動信號頻率的方法.結(jié)合硅微陀螺儀數(shù)字鎖相環(huán)閉環(huán)控制的原理，分析了鎖相環(huán)頻率控制的可行性和穩(wěn)定性.在Matlab/Simulink環(huán)境下進行了鎖相環(huán)閉環(huán)控制的仿真，并設(shè)計電路進行實驗驗證.結(jié)果表明，基于鎖相環(huán)控制的硅微陀螺儀驅(qū)動信號能夠時刻跟蹤驅(qū)動模態(tài)諧振頻率的變化，并鎖定在諧振頻率點上，其跟蹤相對誤差為2.5×10－5.因此，基于數(shù)字鎖相環(huán)閉環(huán)控制的硅微陀螺儀頻率控制是可行的.

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