曹深西，陳子燊

（中山大學 水資源與環(huán)境系，廣東 廣州 510275）

風災是廣東最為嚴重的自然災害之一，主要發(fā)生于夏季，沿海地區(qū)發(fā)生頻率較高。風災不僅自身具有巨大的破壞性，還會帶來嚴重的次生災害，威脅人民的生命財產安全，引起系列社會問題。在土木工程設計中，特別是高大土木工程結構中，風荷載成為最主要的荷載之一。由于在風工程中，結構不僅要承受過去一個時段內的風速，還要保證某一規(guī)定期限內的結構能安全可靠的承受可能經受的風速，在設計風速時，不僅要考慮一定時期內結構的安全性，還要考慮設計的合理性，以保證不過高的設計指標而導致資源的浪費，因此極值風速的計算就顯得非常重要（Palutikof，1999）。

隨著極值理論的發(fā)展，學者把極值理論引入到極值風速的計算，在計算極值風速過程中，誤差主要來自3個方面：樣本的選取、模型的選取和模型擬合中的參數(shù)估計（段忠東，2002）。在過去的幾十年中，大量學者和工程人員通過理論推導和統(tǒng)計計算對極值理論在風速領域方面的應用做了大量研究，以期減小計算中的各個環(huán)節(jié)的誤差，提高極值風速的計算精度。

本文主要根據(jù)極值理論的3個模型對廣東9個沿海氣象站的極值風速統(tǒng)計計算，以探討這些模型在廣東沿海的應用效果。

1 抽樣方法與模型介紹

1.1 抽樣方法方法

AM（Annual Maximum，年最大值方法）抽樣方法是每年取一個最大值組成一個新的序列。Gumbel（1958）提出每年的洪水序列中的最大值組成的極值序列，可以用極值分布去擬合，奠定了經典極值分布的基礎。

由于AM方法每年只抽取一個數(shù)據(jù)，造成了數(shù)據(jù)的浪費，而在許多領域，觀測時間不夠長，只能得到較小的樣本，樣本太小又會產生較大的樣本誤差，因此為了增加被分析的有效數(shù)據(jù)量，以減小樣本量太小造成的誤差，3種主要的抽樣方法被提出：r-LOS（r-largest order statistics）、POT（Peak over threshold）和 MIS（Method of Independent Storm）。r-LOS（Ying，2007）是每年選取前 r個最大的次序統(tǒng)計量組成極值序列；MIS抽樣方法的解釋見文獻（Harris，1999）；POT方法是選取給定的閾值（充分大）以上的觀測值組成極值序列，在洪水頻率的計算中也被稱為PDS（Partial duration series）（Palutikof，1999）。學者和工程人員（Pickands， 1975；De， 1994；Hosking， 1985；Hosking，1987；Davison，1990；Simiu，1996）對此方法做了大量研究并廣泛應用于工程實際。

1.2 Gumbel和GEV分布

Fisher和Tippett（1928）在對獨立同分布的極大值漸進分布進行研究時提出了3種極值分布，分別稱為極值Ⅰ型（Gumbel分布）、極值Ⅱ型（Fréchet分布）和極值Ⅲ型（Weibull分布）。

極值Ⅰ型：

極值Ⅱ型：

極值Ⅲ型：

上面的式中為位置參數(shù)，σ為尺度參數(shù)，ξ為形狀參數(shù)。

Von（1936）把3個極值分布統(tǒng)一到一個形式，稱為GEV分布（Jenkinson，1955）：

當時ξ→0，為極值Ⅰ型分布（Gumbel分布）；當ξ＜0時，為極值Ⅱ型分（Fréchet分布）；當ξ＞0時，為極值Ⅲ型（We分布）。

1.3 廣義pareto分布（GPD)

Pickand（1975）給出 閾值的超出量的漸近分布，即GPD分布。

如果隨機變量X的分布函數(shù)為：

則稱X服從GPD分布。式中u為位置參數(shù)，σ為尺度參數(shù)，ξ為形狀參數(shù)。

設X的分布函數(shù)為F（x），如果Xup為其支撐上端點，X超過閾值u的超出量分布為Fu（x），如果存在廣義pareto分布G（x），使得

則稱X屬于廣義pareto分布的POT吸引場。

其中GEV分布屬于GPD的POT吸引場，GPD本身屬于GPD的POT吸引場，且形狀參數(shù)不變，后者又稱為GPD的POT穩(wěn)定性（史道濟，2006）。

GPD還有一個重要的性質，就是GPD超出量函數(shù)是域值u的線性函數(shù)，即

式中σ為尺度參數(shù)，ξ為形狀參數(shù)。

這個性質可以作為實際應用中選取閾值的標準。

樣本的超出量函數(shù)en（u）可以根據(jù)下面的公式進行估計：

式中n為樣本數(shù)。

超閾值峰量數(shù)符合泊松分布：

式中，λ為年平均發(fā)生的超量數(shù)，也稱為年率。

1.4 參數(shù)估計方法

模型參數(shù)的估計是計算極值風速很重要的一步，為了得到更好的參數(shù)，各種參數(shù)估計方法被提出和應用到極值分布模型。

Gumbel模型的參數(shù)估計方法中，最佳線性無偏估計（BULE）方法得到了廣泛的應用；Harris（1996）對Gumbel模型進行了改進，采用權重最小二乘法進行參數(shù)估計；學者首先求得Gumbel分布的矩估計公式，并在其基礎上提出概率權重矩（PWM）和線性矩（LM），并在Gumbel分布取得比較好的應用效果；對于大樣本，性能優(yōu)良的最大似然估計會得到更好的參數(shù)。

GPD模型的參數(shù)估計方法包括Pickand法和超出量函數(shù)法（CME）法，De（1994）提出的 De Hann法，Hosking等學者對概率權重矩、線性矩和最大似然估計在GPD模型中的應用進行了研究。

經驗分布是參數(shù)估計的一個重要方面，本文使用的經驗分布公式為數(shù)學期望公式：pei=m/N+1，其中pei表示經驗分布頻率，m為樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，樣本點的序列號，N表示樣本數(shù)。

1.5 擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度的檢驗有很多種方法，本文選取PPCC（probabilityplotcorrelationcoefficient）、RMSE（root mean square error）檢驗指標作為評估模型適用性的依據(jù)。PPCC和RMSE的計算公式為：

式中，xi表示實測樣本排序后的觀測值，xm為xi的平均值，xei表示經驗分布頻率的pei對應的分位數(shù)，xem為xei的平均值。

2 實例研究

2.1 地區(qū)情況和數(shù)據(jù)描述

廣東省位于亞洲大陸的東南部、太平洋西岸，瀕臨南海，受到3種季風氣團的影響，構成了特殊的季風氣候條件。大風天氣成因比較復雜，從大的方面來看，造成廣東各地出現(xiàn)最大風速的天氣系統(tǒng)，主要是臺風，其次是寒潮。

本文選取的這9個站點資料源于國家氣象信息中心。測站分布在廣東的沿海地帶，受臺風影響嚴重，而且由此帶來的暴雨和風暴增水往往都對這些地區(qū)的造成災害，因此精確推求最大風速，不僅為工程設計中的風荷載提供可靠的參考依據(jù)，而且對由此引起的次生災害的防御工作也有重要意義。

觀測氣象站的編號和觀測數(shù)據(jù)的有效時段見表1，本文選取的數(shù)據(jù)為日最大風速。

表1 數(shù)據(jù)來源和描述

2.2 GEV和Gumbel對AM抽樣數(shù)據(jù)的擬合

根據(jù)經典極值理論，使用AM抽樣方法分別對9個沿海站點的日最大風速進行抽樣，得到9個站點的極值序列，然后分別使用Gumbel和GEV模型對9個極值序列進行擬合。Gumbel模型的參數(shù)通過MOM、PWM、ML和LSM方法求取，四種方法得到的PPCC和RMSE指標很相近，本文最終選擇在大多數(shù)站點都表現(xiàn)得更好的PWM參數(shù)估計方法；GEV模型的參數(shù)估計方法利用PWM和ML兩種參數(shù)估計方法，由于PWM方法表現(xiàn)更好，因此GEV模型也選取PWM參數(shù)估計方法；廣州、汕頭、湛江和陽江站的擬合圖見圖1、2、3、4，其他站點的擬合圖略。

圖2 Gumbel和GEV模型擬合汕頭站最大風速

圖4 陽江最大風速GEV和Gumbel擬合

表2 3個模型的參數(shù)與擬合優(yōu)度指標

2.3 GPD模型對POT抽樣數(shù)據(jù)的擬合

根據(jù)POT方法對9個站點的日最大風速數(shù)據(jù)進行抽樣。根據(jù)極值分布理論，在增加有效數(shù)據(jù)量的同時必須保證數(shù)據(jù)的獨立同分布，因此本文采取改進的POT抽樣方法。第一，選取8天作為最小時間間隔，最小時間間隔內的最大值如果超過給定閾值，則被選取組成極值序列；第二，為了保證閾值足夠大，選取歷年最大值中的最小值作為備選閾值的最小值。

閾值的選取是GPD模型的重要內容，本文根據(jù)以下條件選取閾值。第一，為了滿足GPD模型對數(shù)據(jù)的要求，我們選取年率大于1小于4；第二，每年的超出量數(shù)序列服從Possion分布，并采用卡方檢驗方法進行檢驗。第三，用GPD模型擬合滿足條件的閾值下的極值序列，采用PWM、ML參數(shù)估計方法求取參數(shù)，計算模型的擬合優(yōu)度指標，選取擬合優(yōu)度指標最優(yōu)的閾值。圖5、6、7、8為汕頭、廣州、陽江和湛江氣象站的GPD擬合圖。

圖6 汕頭最大風速GPD擬合圖

圖7 湛江最大風速GPD擬合圖

圖8 陽江最大風速GPD擬合圖

2.4 結果分析

由表2可知9個站點的GEV模型和Gumbel模型的尺度參數(shù)和位置參數(shù)相近，GEV的形狀參數(shù)有4個站點大于0，5個站點小于0。如果形狀參數(shù)大于0，分布為極值Ⅲ型，曲線上凸，如圖1、3所示；如果形狀參數(shù)小于0，分布為極值Ⅱ型，曲線下凸，如圖2所示；凸凹程度取決于形狀參數(shù)絕對值的大小，當形狀參數(shù)的絕對值很小時，如陽江站，曲線幾乎與Gumbel重合，Gumbel模型為直線，如圖4所示。兩個模型計算的極值風速值見表3。

由于GEV模型具有形狀參數(shù)的調節(jié)，比Gumbel模型更靈活，在9個站點中的擬合效果也比Gumbel更好。而由于廣州和陽江的形狀參數(shù)的絕對值很小，GEV模型的的RMSE指標稍微差于Gumbel模型。

理論上GEV的形狀參數(shù)應該和GPD的相同，但在9個站點中，GPD模型中的形狀參數(shù)的差別較大，還有3個站點GEV和GPD的形狀參數(shù)符號不一，本文認為這是由于樣本太小造成的誤差。GPD模型的形狀參數(shù)與GEV一樣，形狀參數(shù)的符號和大小對其分布的形態(tài)有很大影響，尤其對極值風速的估計，重現(xiàn)期越大，所推算的極值風速對形狀參數(shù)越敏感。9個站點中8個站點的形狀參數(shù)為負，其中6個站點GPD模型估計的50年以上重現(xiàn)期的估計值比Gumbel模型大，湛江和上川島由于形狀參數(shù)絕對值很小，與Gumbel模型估計的結果相近（表3）。

GPD模型的9個站點的兩項擬合指標中，只有汕頭站的PPCC指標較GEV模型稍差，為此可以認為GPD模型可以更好地擬合歷史數(shù)據(jù)。由于GPD模型應用了更多的歷史數(shù)據(jù)，減小了抽樣誤差，因此本文認為GPD模型是3個模型中最合適的模型。

表3 3個模型的參數(shù)與擬合優(yōu)度指標

3 結論

（1）3個模型的擬合指標都較優(yōu)，推求的100年以下重遇期的極值風速相近，3個模型都是廣東沿海計算極值風速的合適模型。

（2）GEV和GPD模型計算的極值風速的大小與形狀參數(shù)密切相關，如果形狀參數(shù)小于0，則估算的較大重遇期極值風速比Gumbel模型的要大；否則，情況相反。

（3）GPD模型傾向于給出比Gumbel和GEV模型更大的極值風速。

（4）GPD模型增加了有效數(shù)據(jù)量，取得更好的擬合優(yōu)度指標，是估算極值風速的更合適的模型。

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