程 娜

遼寧廣播電視大學(xué) （沈陽 110034）

1 中值定理的內(nèi)容及聯(lián)系

1.1 基本內(nèi)容

1.1.1 Rolle定理

1.1.2 Lagrange定理

1.1.3 Cauchy定理

1.2 三個定理之間的聯(lián)系

對這三個定理進行觀察和類比，從中可以發(fā)現(xiàn)這三個定理條件和結(jié)論都很相似，通過改變條件還可能互相轉(zhuǎn)化。從而我們可以得出這樣的結(jié)論：拉格朗日（Lagrange）定理是羅爾（Rolle）定理的推廣，而羅爾（Rolle）定理是拉格朗日（Lagrange）定理的特例，拉格朗日（Lagrange）定理是柯西（Cauchy）定理收縮，而柯西定理則是拉格朗日定理的推廣。

2 定理的推廣

3 定理的應(yīng)用

3.1 利用微分中值定理來證明不等式

例 設(shè)函數(shù) f( x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f( 0)= 0 ,f( 1)= 1 。試證：對任意給定的正數(shù)a, b在(0,1)內(nèi)不同的ξ,η

又由于 f( x)在[0,1]上連續(xù)且 f ( 0)= 0 ,f ( 1)= 1 。由介值性定理,? τ ∈ ( 0,1)使得

f( x)在[0,τ],[τ,1]上分別用拉格朗日中值定理有

即

即

于是由上面兩式有

將兩式相加得

3.2 用微分中值定理求極限

解：根據(jù)題意，由Lagrangge定理，有

3.3 利用定理證明方程根（零點）的存在性

對微分中值定理的研究和應(yīng)用從微積分建立之初就開始了，本文從三個方面介紹了該定理的運用。通過以上的例題讓大家了解，運用中值定理的關(guān)鍵和解題的難點，是在于構(gòu)造輔助函數(shù)。對微分中值定理本課題主要是以羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，三個定理之間的聯(lián)系為主要的研究對象，希望通過本篇文章能夠使大家對微分中值定理的內(nèi)容更加深刻了解，同時在應(yīng)用中值定理時更加熟練。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析第三版[M].北京：高等教育出版社,2001.

[2]孫清華,孫昊編.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）[M].武漢：華中科技出版社,2003.

[3]北京郵電大學(xué)數(shù)學(xué)教研室，高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京郵電在學(xué)出版社,2003.

[4]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2002.