薛海國(guó)

(四川理工學(xué)院 理學(xué)院，四川 自貢 643000)

1 matlab 和點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)

點(diǎn)電荷是電磁學(xué)中最簡(jiǎn)單的一種理想化模型。單個(gè)點(diǎn)電荷在空間某點(diǎn)所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和電勢(shì)U =用電場(chǎng)線和等勢(shì)面直觀形象地來(lái)表示這兩個(gè)物理量。電場(chǎng)線從正電荷(無(wú)窮遠(yuǎn))出發(fā)終止于負(fù)電荷(無(wú)窮遠(yuǎn))，電場(chǎng)線的切線方向代表該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向，電場(chǎng)線的疏密來(lái)表示電場(chǎng)的強(qiáng)弱。電場(chǎng)線和等勢(shì)面處處垂直。

然而在真空中某點(diǎn)所激發(fā)的電場(chǎng)通常是由點(diǎn)電荷組或者連續(xù)帶電體所激發(fā)。對(duì)于點(diǎn)電荷組在空間某點(diǎn)所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)，我們可以根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量疊加和電勢(shì)標(biāo)量疊加進(jìn)行數(shù)值求解。比較有代表性的就是要求電偶極子在延長(zhǎng)線上和中垂線上的E 和U。簡(jiǎn)單的點(diǎn)電荷系的模型還有兩個(gè)等量同號(hào)點(diǎn)電荷系，兩個(gè)不等量同號(hào)點(diǎn)電荷系等。但是如果空間帶電體的數(shù)量多于兩個(gè)，并且在空間有一定規(guī)律分布，我們雖然能求出E 和U 的數(shù)值，但由于電場(chǎng)線和等勢(shì)面的抽象性和復(fù)雜性，此時(shí)就很難想象出空間的分布。

matlab 有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和繪圖功能，能直接利用軟件提供的函數(shù)，編寫較簡(jiǎn)單的程序即可解決相應(yīng)的物理問(wèn)題。已有文獻(xiàn)［1］［2］［3］對(duì)電偶極子、電四極子，多個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的電勢(shì)分布和矢量場(chǎng)圖進(jìn)行計(jì)算仿真。

2 等量同號(hào)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的E 和U

如圖所示，等量同號(hào)點(diǎn)電荷在場(chǎng)點(diǎn)P(x，y)產(chǎn)生的電勢(shì)為

其中

E=－▽U，

其中，劈形算符為

在xy 平面上，場(chǎng)強(qiáng)只有兩個(gè)分量

3 利用matlab 計(jì)算和模擬電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)

3.1 計(jì)算距離兩個(gè)等量同號(hào)點(diǎn)電荷遠(yuǎn)處任一點(diǎn)的電位和場(chǎng)強(qiáng)

clear

＞＞syms q C0 r1 r2 x y U1 U2 a;

＞＞r1 =sqrt((x－a).^2 ＋y.^2);

＞＞r2 =sqrt((x ＋a).^2 ＋y.^2);

＞＞U1 =C0.* q./r1;U2 =C0.* q./r2;

＞＞U=U1 ＋U2;

＞＞Ex=－diff(U，x)，Ey=－diff(U，y)，AE=sqrt(Ex.^2＋Ey.^2)

運(yùn)行結(jié)果

Ex =

1/2* C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* (2* x－2* a)＋1/2* C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* (2*x ＋2* a)

Ey =

C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y ＋C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y

AE =

((1/2* C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* (2*x－2* a)＋1/2* C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)*(2* x ＋2* a))^2 ＋(C0* q/(x^2－2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y ＋C0* q/(x^2 ＋2* x* a ＋a^2 ＋y^2)^(3/2)* y)^2)^(1/2)

在中垂線上時(shí)，x=0.鍵入:

x=0，

Ex=subs(Ex)，Ey=subs(Ey)，

返回:

Ex =0

Ey =2* C0* q/(a^2 ＋y^2)^(3/2)* y

在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，x=0，y=0，鍵入:

x=0，y=0，

Ex=subs(Ex)，Ey=subs(Ey)

返回:

Ex =0

Ey =0

3.2 繪制距離兩等量同號(hào)點(diǎn)電荷遠(yuǎn)處任一點(diǎn)的電位和場(chǎng)強(qiáng)分布圖

clear

＞＞q=1.6e－19;C0 =9e9;l=3.0;

＞＞x=－5:0.5:5;y=x;

＞＞［X，Y］=meshgrid(x，y);

＞＞r1 =sqrt((X－l/2).^2 ＋Y.^2);

＞＞r2 =sqrt((X ＋l/2).^2 ＋Y.^2);

＞＞U=q.* C0.* (1./r1 ＋1./r2);

＞＞［Ex，Ey］=gradient(－U);

＞＞AE=sqrt(Ex.^2 ＋Ey.^2);

＞＞Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;

＞＞subplot(1，3，1);

＞＞contour(X，Y，U，＇k－＇)

＞＞axis(＇square＇)，xlabel(＇x＇);ylabel(＇y＇);

＞＞title(＇等量同號(hào)點(diǎn)電荷的等位線和電場(chǎng)分布＇);hold on

＞＞quiver(X，Y，Ex，Ey，0.7)

＞＞plot(－l/2，0，＇ro＇，－l/2，0，＇r ＋＇)，plot(l/2，0，＇ro＇，l/2，0，＇r ＋

＇)

＞＞hold off，

＞＞subplot(1，3，2);meshc(X，Y，U);

＞＞subplot(1，3，3);meshc(X，Y，AE)

通過(guò)上面的圖示，我們可以看出電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)，終止在無(wú)窮遠(yuǎn)處。電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直，任何兩條電場(chǎng)線都不相交。當(dāng)兩個(gè)電荷的電量相等時(shí)，電場(chǎng)線和等勢(shì)線對(duì)中垂線是對(duì)稱的。

4 結(jié)束語(yǔ)

以點(diǎn)電荷的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度模型，用matlab 指令直觀形象地畫出了兩個(gè)等量同號(hào)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線和等勢(shì)線的平面分布，電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的空間分布。對(duì)于上述程序，稍加修改我們也可得到不等量，不同號(hào)的點(diǎn)電荷對(duì)的電場(chǎng)空間分布。

［1］王明美.一對(duì)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的matlab 模擬實(shí)驗(yàn)［J］.合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，30(3).

［2］湯朝紅.利用matla 模擬點(diǎn)電荷對(duì)的電場(chǎng)線分布［J］.廣西物理，2012，33(4)

［3］孔祥鯤.基于matlab 構(gòu)建點(diǎn)電荷系的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分布圖［J］.實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2007，24(10)

［4］錢曦旭等著.MATLAB 及其在大學(xué)物理課程中的應(yīng)用［M］.西安:陜西師范大學(xué)出版社，2006.