張 磊，李世群

（湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湘潭411201）

0 引言及定義

1965年，美國控制論專家L.Zadeh教授引入了模糊子集的概念，隨后Rosenfeld又引入了模糊子群和模糊子半群的概念，自此之后，其他學(xué)者在有關(guān)模糊代數(shù)方面的研究取得了相當(dāng)豐碩的成果.模糊數(shù)學(xué)理論一個較大的發(fā)展是在1980年之后，這主要得益于模糊數(shù)學(xué)在應(yīng)用領(lǐng)域的作為，特別是在日本的成功，日本學(xué)者Kuroki.N給出了半群的模糊理想、雙理想等的概念［2］，并進(jìn)行了研究，得到了關(guān)于半群模糊雙理想的一些重要性質(zhì)［1－4］.基于前人已有的成果，我們在本文中對這些結(jié)果進(jìn)行了一定的推廣，得到了關(guān)于半群的模糊雙理想的若干性質(zhì).文獻(xiàn)［2］給出了如下定義：

非空集合X到［0，1］的映射f稱為X 的Fuzzy子集，且記X的全部Fuzzy子集所作成的集合為F（X），設(shè)f為給定集合的Fuzzy子集，對λ∈［0，1］，稱fλ＝｛x｜f（x）≥λ｝為f的λ－截集.對于非空集合的X的任意子集A，定義集合A的特征函數(shù)為：fA：X→｛0，1｝，即

半群S的一個子半群B稱為S的一個雙理想，如果滿足BSB?B，我們用B（S）表示半群S的所有雙理想的集合，F(xiàn)B（S）表示半群S的所有Fuzzy雙理想的集合.

半群S的一個雙理想B稱為半素的如果B滿足條件

半群的所有半素雙理想構(gòu)成的集合記為SePB（S）；

LI－HE在文獻(xiàn)［3］中給出了素雙理想的定義：雙理想B稱為素的，如果B滿足下列條件

?C，D∈B（S） CD?B?（C?B）∨（D?B）.

文獻(xiàn)［3］給出了刻畫所有雙理想為素的半群的結(jié)構(gòu)的結(jié)論.

半群S的雙理想B稱為強(qiáng)素的，若B滿足以下條件

半群S的雙理想B稱為強(qiáng)不可約的，若B滿足以下條件

半群S稱為正則的，如果對于任意的a∈S，存在x∈S，使得a＝axa［1］.

半群S稱為內(nèi)稟正則的，如果對于任意的a∈S，存在x，y∈S，使得a＝xa2y［1］.

半群S稱為群半格若S是一族互不相交的子群Gi（i∈M，M 為腳標(biāo)集）的并，滿足對任意的i，j∈M，子群的乘積GiGj和GjGi包含于同一個Gk（k∈M）［1］.

Kuroki.N在文獻(xiàn)［1，4－6］中給出了以下定義：

半群S的一個Fuzzy子集f稱為S的一個Fuzzy子半群，若f滿足條件

?x，y∈S f（xy）≥min｛f（x），f（y）｝.

半群S的一個Fuzzy子半群f稱為S的一個Fuzzy雙理想，若f滿足條件

?x，y，z∈S f（xyz）≥min｛f（x），f（z）｝.下面的有關(guān)定義來自文獻(xiàn)［2、7、9］.

對于半群S的Fuzzy子集f，g，f?g表示對任意的x∈S有f（x）≤g（x）.

半群的Fuzzy子集的乘積定義為

半群S的Fuzzy雙理想P稱為弱素的，若對A，B∈B（S），λ∈（0，1］，由λfAoλfB?P 推出λfA?P或λfB?P.

半群S的Fuzzy雙理想f稱為強(qiáng)不可約的，如果對S的任意Fuzzy雙理想f1，f2若f1∩f2?f?f1?f或f2?f.

半群S的Fuzzy雙理想f稱為素的，如果對S的任意兩個Fuzzy理想f1，f2若f1of2?f?f1?f或f2?f.

半群S的Fuzzy雙理想f稱為半素的，如果對S的任意Fuzzy雙理想g，g2?f?g?f.

半群S的Fuzzy雙理想f稱為強(qiáng)素雙理想，如果對S的任意Fuzzy雙理想f1，f2.f1of2∩f2of1?f?f1?f或f2?f.

1 預(yù)備結(jié)論

Kuroki.N在文獻(xiàn)［1］中給出了下列基本結(jié)論：

引理1設(shè)λ∈（0，1］，A，B為S 的任意子集，則

（1）A?B?λfA?λfB；

（2）λfAoλfB?λfAB；

（3）fA∩B＝fA∩fB.

引理2設(shè)S是半群，則下列各款等價：

（1）S 是群半格；

（2）對S的任意Fuzzy雙理想g，h，goh＝g∩h.

引理3設(shè)f1，f2是S的任意兩個Fuzzy雙理想，則f1∩f2也是S的Fuzzy雙理想.

引理4半群S正則且內(nèi)稟正則當(dāng)且僅當(dāng)對于S的任意雙理想f，有f2＝f.

而下面的引理5－8來自于文獻(xiàn)［2］.

引理5設(shè)S為半群，P為S的Fuzzy雙理想，則Pt（t＞0）是S的雙理想，只要Pt≠Φ.

引理6設(shè)A為半群S的非空子集，fA為其特征函數(shù)，則A為S的雙理想（理想，子半群）當(dāng)且僅當(dāng)fA為S的Fuzzy雙理想（理想，子半群）.

引理7設(shè)f是S的任意Fuzzy雙理想，g為S的任意Fuzzy子集，則fog和gof都是S的Fuzzy雙理想.

引理8［3］設(shè)S 為任意半群，則SePB（S）＝B（S）當(dāng)且僅當(dāng)S為正則且內(nèi)稟正則的.

2 主要結(jié)論

定理1半群S的雙理想B是素的當(dāng)且僅當(dāng)其特征函數(shù)fB是Fuzzy弱素的.

證明：設(shè)B為S的素雙理想，fB為其特征函數(shù)，B1，B2為S 的任意雙理想，?λ∈（0，1］，由于λfB1oλfB2?fB，λfB1oλfB2＝λfB1B2?fB，所以，?x∈B1B2，

所以fB（x）＝1，推出x∈B，因此B1B2?B，由B為素雙理想知B1?B 或B2?B，所以λfB1?fB1?fB或λfB2?fB2?fB，這說明fB為Fuzzy弱素的.

反之，設(shè)B為S的任意雙理想，fB為其特征函數(shù)，且fB弱素，?B1，B2∈B（S），若B1B2?B，由引理2.1，得fB1B2?fB，即fB1ofB1＝fB1B2?fB，由fB弱素知fB1?fB或fB2?fB，從而B1?B或B2?B，所以B為素的.

定理2半群S的所有雙理想素當(dāng)且僅當(dāng)S的所有Fuzzy雙理想都弱素.

證明：設(shè)P為S的任意Fuzzy雙理想，?λ∈（0，1］，λfB1oλfB2＝λfB1B2?P，我們有B1B2?Pλ，而Pλ為S的雙理想，從而Pλ為S的素雙理想，推出B1?Pλ或B2?Pλ，即λfB1?P，或λfB2?P，因此P為S的Fuzzy弱素雙理想.

反之，設(shè)B為S 的任意雙理想，且B1，B2∈B（S），B1B2?B，則fB1B2＝fB1ofB2?fB，由假設(shè)知fB弱素，所以fB1?fB或fB2?fB，所以B1?B或B2?B，所以B為素的，定理得證.

定理3在群半格中，F(xiàn)uzzy雙理想f為Fuzzy素雙理想當(dāng)且僅當(dāng)f為強(qiáng)不可約的.

證明：設(shè)S為群半格，f為其Fuzzy雙理想，若f為素雙理想，?g，h∈FB（S），若g∩h?f，由引理2有g(shù)oh＝g∩h?f，所以有g(shù)?f或h?f，從而f是強(qiáng)不可約的.

反之，設(shè)f為強(qiáng)不可約的，?g，h∈FB（S），若goh?f，

由引理2有g(shù)∩h＝goh?f，從而得g?f或h?f，所以f為素的.

定理4設(shè)A是S非空子集，fA為其特征函數(shù)，則若fA是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想，那么A是S的強(qiáng)不可約雙理想.

證明：設(shè)fA是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想，由引理6知A是S的雙理想，設(shè)B、C是S的雙理想，且B∩C?A，則由引理1（3）有fB∩C＝fB∩fc?fA，從而由fA是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想，所以fB?fA或fC?fA，由引理1（1）知B?A或C?A，從而A是S的強(qiáng)不可約雙理想.

定理5半群S的每個強(qiáng)不可約半素Fuzzy雙理想都是S的一個強(qiáng)素Fuzzy雙理想.

證明：令f是半群S的一個強(qiáng)不可約半素Fuzzy雙理想f1，f2∈FB（S），且f1of2∩f2of1?f，因為f1∩f2?f1，f1∩f2?f2，所以

（f1∩f2）2?f1of2∩f2of1?f，因為由引理3知f1∩f2是S的Fuzzy雙理想，且f為Fuzzy半素的，推出f1∩f2?f，又f強(qiáng)不可約，所以f1?f或f2?f，所以f是強(qiáng)素的.

定理6在任意半群S中，下列各款等價：

（1）每個Fuzzy雙理想冪等；

（2）f1of2∩f2of1＝f1∩f2，對任意f1，f2∈FB（S）；

（3）S的每個Fuzzy雙理想f是半素的；

（4）S正則且內(nèi)稟正則.

證明：（1）和（4）的等價性可直接由引理4推得.

（1）?（2）令f1，f2∈FB（S），則由引理3知f1∩f2∈FB（S），由假設(shè)知f1∩f2＝（f1∩f2）o（f1∩f2）?f1of2，同理可得f1∩f2?f2of1，所以f1∩f2?f1of2∩f2of1，由引理7知，f1of2和f2of1都是S的Fuzzy雙理想，由引理3，f1of2∩f2of1也是S的Fuzzy雙理想.由假設(shè)，有

f1of2∩f2of1＝（f1of2∩f2of1）2?（f1of2）o（f2of1）?f1oSoSof1?f1，

同理可得f1of2∩f2of1?f2，所以f1of2∩f2of1?f1∩f2.

綜上所述，可得f1of2∩f2of1＝f1∩f2.

（2）?（1）令f是S的任意Fuzzy雙理想，由假設(shè)我們有下式成立：

f＝f∩f＝fof∩fof＝fof，

所以S的任意雙理想冪等.

（1）?（3）：令f 為S 的任意 Fuzzy雙理想，?f1∈FB（S），若f21?f，由（1）知f1＝f21?f，因此f為半素的.

（3）?（1）：對S的任意Fuzzy雙理想f，由于f2是Fuzzy雙理想，必有f2?f，又f2?f2且f2為Fuzzy半素雙理想，推出f?f2，因此f＝f2.

（3）?（4）設(shè)B，C∈B（S）且C2?B，則由引理1（1）、（2）有fc2＝fcofc?fB，

由引理6知fB，fC均為S的Fuzzy雙理想，由題設(shè)知fB是Fuzzy半素的，所以有

fC?fB，

由引理1（1）知有C?B，從而由定義知B是半素的，由B的任意性知S的任意雙理想都是半素的，而半素雙理想顯然是雙理想，所以有SePB（S）＝B（S），由引理8知S正則且內(nèi)稟正則.

（4）?（3）設(shè)S為半群，滿足正則且內(nèi)稟正則的條件，f，g∈FB（S），且滿足g2?f，對?α∈S ，由S正則知?x∈S，使得a＝axa，進(jìn)一步有a＝axa＝ax（axa）＝axaxa，由S內(nèi)稟正則知?u，v∈S，使得a＝ua2v，所以有

所以對任意的a∈S，由已知條件及以上結(jié)果，有

g（a）≤g2（a）≤f（a），

所以有g(shù)?f，這就說明f是半素的.

由f選取的任意性知S的所有Fuzzy雙理想都是Fuzzy素的.

定理7若半S的每個Fuzzy雙理想冪等，則對S的任意Fuzzy雙理想f，f強(qiáng)不可約當(dāng)且僅當(dāng)它強(qiáng)素.

證明：令f是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想f1，f2∈FB（S），且f1of2∧f2of1?f，由定理6的（1）?（2）知，f1of2∧f2of1＝f1∧f2?f，但f是強(qiáng)不可約的，所以f1?f或f2?f，于是f為S 的強(qiáng)素的Fuzzy雙理想.

反之，假設(shè)f是S的任意Fuzzy雙理想，且?f1，f2∈FB（S），f1∧f2?f，由定理6，我們有f1of2∧f2of1＝f1∧f2?f，但f強(qiáng)素，所以f1?f或f2?f，所以f是S的強(qiáng)不可約Fuzzy雙理想.

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