高建云

（天津職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)課部 天津 300410)

高職工科專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾個(gè)典型案例的探討*

高建云

（天津職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)課部 天津 300410)

本著加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用的聯(lián)系，針對(duì)高職工科專業(yè)高中生源的班級(jí)設(shè)計(jì)了幾個(gè)典型案例：sinθ≈θ與第一重要極限，無理數(shù)e與第二重要極限，誤差傳遞與微分，交流電的有效值與定積分。這些案例均從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)逐步過渡到知識(shí)的講授，期望有助于學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的激發(fā)和知識(shí)遷移能力的提高。

高職；工科專業(yè)；數(shù)學(xué)教學(xué)；典型案例

案例教學(xué)的必要性

當(dāng)今社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，要求勞動(dòng)者具備很強(qiáng)的適應(yīng)能力，能夠迅速地遷移所學(xué)的知識(shí)于新的環(huán)境中，能夠迅速地更新知識(shí)以適應(yīng)新生行業(yè)或職業(yè)的要求。在此背景下，職業(yè)教育更加關(guān)注學(xué)生素質(zhì)的全面培養(yǎng)，終身教育思想已成為職業(yè)教育的核心。高等數(shù)學(xué)作為學(xué)生整體素質(zhì)培養(yǎng)的一個(gè)重要載體，作為學(xué)生理解專業(yè)概念和相關(guān)理論及計(jì)算的重要工具，在學(xué)生的整體培養(yǎng)中起著非常重要的基礎(chǔ)性作用。

在學(xué)生的認(rèn)知中，不知高等數(shù)學(xué)有何用，只是聽說高等數(shù)學(xué)有用，或者只是因?yàn)殚_了高等數(shù)學(xué)課程必須學(xué)。在這種認(rèn)知狀況下，學(xué)生很難做到積極主動(dòng)的去學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)效率很低。對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用的關(guān)系，數(shù)學(xué)家C.雷波特（Report，Cambridge）指出：在某種意義上，把數(shù)學(xué)的思考方式傳遞給我們智力工作的其余部分，就是數(shù)學(xué)的一個(gè)應(yīng)用。當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家、教育家、沃爾夫獎(jiǎng)獲得者H.惠特尼（Whitney，Hasselr）指出：“學(xué)數(shù)學(xué)意味著什么？當(dāng)然是希望能用它……最好的學(xué)習(xí)就是用，并且古今皆知僅在你有自己的想法時(shí)才有真正的學(xué)習(xí)。”因此，在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用與實(shí)際應(yīng)用有關(guān)的教學(xué)案例，往往會(huì)獲得較好的教學(xué)效果。如通過微積分的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅可以直接體會(huì)到數(shù)學(xué)是確切表達(dá)科學(xué)思想的語言，而且可以了解到數(shù)學(xué)可以為許多重要科學(xué)問題提供答案。

高職工科專業(yè)高中生源班級(jí)的典型教學(xué)案例

教學(xué)案例是架起數(shù)學(xué)和應(yīng)用之間的橋梁，是密切聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用它的各學(xué)科的紐帶。適合學(xué)生實(shí)際情況的教學(xué)案例，既可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用和知識(shí)遷移的能力，也可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)習(xí)效率。下面列舉幾個(gè)可以在高職工科專業(yè)高中生源班級(jí)中使用的教學(xué)案例，這些案例可以讓學(xué)生體會(huì)到高等數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的淵源，體會(huì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性和廣泛應(yīng)用性。

（一）小角度時(shí)，sinθ≈θ與第一重要極限

當(dāng)角度很小時(shí)，sinθ≈θ是在工程計(jì)算中經(jīng)常采用的一個(gè)近似公式。角度很小是條件，結(jié)論是sinθ≈θ，用極限的觀點(diǎn)來說就是當(dāng)θ→0，sinθ→θ，稍加變換為，把θ變?yōu)閿?shù)學(xué)上更一般的自變量x就是數(shù)學(xué)上的第一重要極限，可見，第一重要極限就是其理論依據(jù)。由上述的分析可知，在課堂上可以從工程計(jì)算中常用到的近似公式sinθ≈θ引入第一重要極限的教學(xué)。學(xué)生肯定特想知道為什么，此時(shí)用單位圓簡(jiǎn)單地證明一下。

如圖1所示，在單位圓中取∠AOB=x（弧度），，AC為切線，BD為△OAB的高。

由圖容易得知S△OAB＜S扇形OAB＜S△OAC，即：

圖1 第一重要極限證明示意圖

從函數(shù)的變化趨勢(shì)上分析，當(dāng)x從零的右側(cè)趨近于零時(shí)，cosx的極限是1，常數(shù)1的極限也是1，所以的極限也應(yīng)該為1。當(dāng)x從零的左側(cè)趨近于零時(shí)，可令的極限為1，即。

綜上所述，當(dāng)x趨向于零時(shí)，。

（二）無理數(shù)e與第二重要極限

e和π是常用的兩個(gè)無理數(shù)，與圓周率π易于理解不同的是，e常令人難以理解。e是一個(gè)奇妙的無理數(shù)，其值是2.71828……，在科學(xué)技術(shù)中一般不使用以10為底數(shù)的對(duì)數(shù)，而代之以e為底便可使許多式子都能得到簡(jiǎn)化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對(duì)數(shù)”，在人口增長(zhǎng)、細(xì)菌繁殖、放射物衰變、冷卻定律、電路電流等很多場(chǎng)合都會(huì)出現(xiàn)e的身影。

e在微積分中常常出現(xiàn)，但它的誕生比微積分還要早上幾百年，它的出現(xiàn)很可能和計(jì)算利息有關(guān)。我們都知道復(fù)利計(jì)息的計(jì)息周期越短，本利和就越高。若計(jì)息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計(jì)息一次，甚至每秒或者每一瞬間（理論上來說），會(huì)發(fā)生什么狀況，本利和會(huì)無限制地加大嗎？答案是不會(huì)，它的值會(huì)穩(wěn)定下來，趨近于一極限值，這一極限值就是e。因?yàn)楫?dāng)時(shí)還沒有極限的概念，所以，e的值很可能是觀察出來的。而復(fù)利計(jì)息的計(jì)息周期無限縮短，本利和的計(jì)算本就可以用數(shù)學(xué)的極限表示為所以我們可以用下面的案例引入第二重要極限的教學(xué)，用歸納和觀察得到第二重要極限。

例如，某顧客在銀行存入本金p元，n年后他在銀行的存款額是本金及利息之和。設(shè)銀行規(guī)定年復(fù)利率為r，試根據(jù)下述不同的結(jié)算方式計(jì)算顧客n年后的最終存款額。

（1）每年結(jié)算一次；

（4）當(dāng)m趨于無窮時(shí)，結(jié)算周期變?yōu)闊o窮小，這意味著銀行連續(xù)不斷地向顧客付利息，這種存款方式稱為連續(xù)復(fù)利。試計(jì)算連續(xù)復(fù)利情況下顧客的最終存款額。

教師可用遞進(jìn)的形式通過學(xué)生討論、歸納、適當(dāng)提示的方式得到連續(xù)復(fù)利的極限表達(dá)式，然后通過觀察m取不同值時(shí)此函數(shù)的變化趨勢(shì)，畫出草圖，從圖上升華得到第二重要極限和自然常數(shù)e。

（三）誤差傳遞與微分

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)和測(cè)量中，對(duì)精密度較高且較易測(cè)量的量采用直接測(cè)的方法，對(duì)不易直接測(cè)量的量采用間接測(cè)的方法，即利用已知的函數(shù)關(guān)系通過對(duì)直接測(cè)量量的計(jì)算得到間接測(cè)量量。由直接測(cè)量量的誤差導(dǎo)致的間接測(cè)量量的誤差就是誤差傳遞。用數(shù)學(xué)的語言去分析可以這樣說：把直接測(cè)量量作為自變量，間接測(cè)量量作為函數(shù)，直接測(cè)量量的誤差可理解為自變量的微小改變，間接測(cè)量量的誤差認(rèn)為是由自變量的微小改變導(dǎo)致的函數(shù)的改變量，這正是微分的含義。

為了使上述分析更易理解，可用下面的具體問題來引入微分教學(xué)：在生產(chǎn)實(shí)際中往往需要了解圓柱體的橫截面積，而橫截面積不易直接測(cè)量，直徑較易測(cè)量，我們已測(cè)得一根圓柱的直徑為43cm，并已知儀器的最大絕對(duì)誤差為0.2cm，那么，該圓柱橫截面積的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差分別為多少?

（四）交流電的有效值與定積分

在電機(jī)、電器上常會(huì)標(biāo)有功率、電流、電壓的數(shù)字.如電機(jī)上標(biāo)有xxKW，xxxV，在燈泡上標(biāo)有xxW、220V等，這些數(shù)字表明交流電在單位時(shí)間內(nèi)所做的功和交流電壓。但交流電流、電壓的大小和方向都隨時(shí)間作周期性的變化，怎樣確定交流電的功率、電流、電壓呢？

由于交流電隨時(shí)間做周期變化，電器上標(biāo)注的功率是一個(gè)周期內(nèi)的平均值。交流電雖然在不斷變化，但在很短的時(shí)間間隔內(nèi)，可以近似地認(rèn)為是不變的（即近似地看作是直流電），

因而在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)“i=i（t）”以常代變，可得到功的微元：

在一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)吸收（消耗）的電能W可以用定積分表示為：

我國的生產(chǎn)生活用電的頻率是50Hz，周期為0.02s，所以1s內(nèi)電壓的平均值為零，所以工程師標(biāo)注

結(jié)語

本文針對(duì)高職工科專業(yè)高中生源的班級(jí)設(shè)計(jì)了幾個(gè)教學(xué)案例，體現(xiàn)了如何從應(yīng)用到數(shù)學(xué)知識(shí)的過渡，可以在課堂上使用。由于高等數(shù)學(xué)教師多為數(shù)學(xué)專業(yè)出身，對(duì)于應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)科背景不是很熟悉，微積分課程也多在大學(xué)一年級(jí)開設(shè)，學(xué)生的專業(yè)知識(shí)也不多，若案例涉及過多的專業(yè)背景會(huì)沖淡學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念和基本方法的掌握，所以，我認(rèn)為案例按專業(yè)大類劃分即可，不必細(xì)分到學(xué)生所在的每一個(gè)專業(yè)。

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1672-5727（2013）06-0116-02

高建云（1979—)，女，河北阜城人，碩士，天津職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)課部講師，研究方向?yàn)楦呗殧?shù)學(xué)和物理教學(xué)改革。

天津市高等教育學(xué)會(huì)“十二五”教育科學(xué)規(guī)劃課題《網(wǎng)絡(luò)化共享型高職校本教學(xué)資源庫建設(shè)的研究與實(shí)踐——以高職數(shù)學(xué)校本教學(xué)資源庫為例》（項(xiàng)目編號(hào)：125y112)；天津職業(yè)大學(xué)“十二五”教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目《高職數(shù)學(xué)教學(xué)案例的開發(fā)》