石 榮，閻 劍，張 聰

（電子信息控制國家重點實驗室，成都610036）

將式（7）與式（8）代入式（6）可得：

式中：

0 引 言

根據(jù)觀測站的數(shù)目可以將無源定位問題劃分為兩大類：一類是單站無源定位；另一類是多站無源定位。一般情況下，在單站無源定位中，都要求觀測站與目標(biāo)之間存在相對運動；而多站無源定位則無此要求。

在運動單站對固定目標(biāo)的無源定位中，目前普遍采用在輻射源來波方向測量的基礎(chǔ)上，結(jié)合基于切向運動的測距來實現(xiàn)定位。這一單站定位方法所需要測量的物理量主要包括2個參數(shù)：來波方向和來波方向的角度變化率，而這2個參數(shù)的常用測量方法都是通過干涉儀來完成的。根據(jù)干涉儀測向計算公式，通道間的相位差為：

式中：L為干涉儀2個接收天線之間的間距；λ為電磁波波長；θ為來波方向角。

由此可見：干涉儀通道間的相位差信息直接對應(yīng)了輻射源的來波方向角，而相位差變化率信息也就反映了來波方向角的角度變化率，因為從數(shù)學(xué)模型上看，后者是前者對時間求導(dǎo)的結(jié)果，即：

在獲得θ與˙θ的基礎(chǔ)上，結(jié)合運動平臺的速度參數(shù)，便可計算出觀測站與輻射源之間的距離r，從而實現(xiàn)單站定位[1-2]。

在多站無源定位方法中有時差、頻差和測向交叉等體制。而最常用的是測向交叉定位，即各個觀測站在對輻射源來波方向進行測向的基礎(chǔ)上，通過方向信息的處理與融合得到輻射源的位置[3]，這樣多站之間的站間協(xié)同要求程度最低，應(yīng)用方便。

如前所述，單站定位與多站定位在理論模型與處理流程上基本相互獨立，各自形成了2套處理方法，而且在系統(tǒng)上幾乎也是分離設(shè)計，造成了無源定位系統(tǒng)應(yīng)用上的隔閡與冗余配置。針對這一問題，本文從另外一個視角出發(fā)，利用多站測向交叉定位理論對基于切向運動測距的單站定位方法進行了分析與解釋，在時間尺度上通過短時觀測特性，從多站測向交叉定位理論模型自然過渡到了基于切向運動測距的單站定位理論模型；在數(shù)據(jù)處理上，通過最小二乘來展示了2種方法的統(tǒng)一性，從而揭示了2種定位方法之間的相互聯(lián)系，建立了基于切向運動測距的單站定位與多站測向交叉定位的統(tǒng)一理論模型，并通過仿真進行了驗證。

1 基于切向運動測距的單站定位理論模型

到目前為止，大量的文獻對基于切向運動的單站定位體制的技術(shù)原理、測量方法、數(shù)據(jù)處理流程等各個方面進行了全面的論述[4-8]，雖然從理論上講，基于切向運動測距的單站定位具有瞬時定位能力，但是在實際應(yīng)用中，采用該方法進行定位時都有一個逐漸收斂的持續(xù)時段過程，然后才能達到一定的定位精度。

基于切向運動測距的單站定位理論主要有2種表述方式：一種是基于運動學(xué)的表述；另一種是基于幾何學(xué)的表述。此處主要從運動學(xué)的角度在二維平面條件下簡要概述[2]。

根據(jù)物理學(xué)中的勻速圓周運動相關(guān)定律，有下式成立：

式中：vT為運動質(zhì)點的線速度，其方向始終保持與圓周相切，此處的線速度相當(dāng)于切向速度；ω為角速度。

如果將運動質(zhì)點與圓心之間的連線和固定參考方向形成的夾角記為θ，那么有即ω也等于構(gòu)造出的夾角的角度變化率，r為運動質(zhì)點與圓心之間的距離，利用式（3）可求得距離r為：

式（4）即是在運動學(xué)中利用切向速度和角度變化率來進行測距的理論計算公式。

在工程應(yīng)用中，通常情況下運動單站采用干涉儀對來波方向進行測向，從而獲得角度測量值θ序列，并同時獲得角度變化率的測量值˙θ，然后在與該來波方向相垂直的方向上，利用傳感器獲得運動平臺的切向速度測量值vT，通過式（4）便可計算得到觀測站與目標(biāo)之間的距離值r，從而在以運動單站為原點的本地極坐標(biāo)系下得到輻射源的定位位置為（r，θ）。由于上述方法中采用了干涉儀測向和干涉儀通道間的相位差變化率測量，所以該單站定位方法在工程上也被稱為“基于干涉儀相位差變化率測量的單站定位”。

2 多站測向交叉定位理論模型

多站測向交叉定位在部分文獻中也被稱為“三角定位”，其基本原理可以從雙站測向交叉擴展至多站測向交叉，所以下面以二維平面條件下的雙站測向交叉定位為基礎(chǔ)進行理論分析。2個觀測站與固定目標(biāo)點之間的位置如圖1所示。2個觀測站之間的距離記為S，這2個觀測站也可看成是由1個觀測站在ΔT的時間內(nèi)以速度v0運動了一段距離S＝v0·ΔT的再次測量，且2個觀測站相對于同一參考方向測量得到的來波方位角分別為θ1和θ2。

圖1 雙站測向交叉定位示意圖

圖1中記觀察站O1與目標(biāo)T之間的距離為r，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系有下式成立：

由式（5）可知，在運動時間ΔT已知且來波方向角θ1、θ2和運動速度v0可由相關(guān)傳感器測量得到的條件下，由式（5）可計算出在以觀測站O1為原點的本地極坐標(biāo)系下輻射源的位置（r，θ1）。

在多站測向交叉定位中，可以得到多個類似于式（5）的測量等式，然后通過各種形式最小二乘方法來得到最終融合后的輻射源定位值。

3 單站定位與多站定位之間的統(tǒng)一理論模型

3.1 兩種定位模型在時間尺度上的統(tǒng)一性分析

在前面的雙站測向交叉定位中，記Δθ＝θ2－θ1，于是可將式（5）重新整理如下：

如果將雙站測向交叉定位看成由1個觀測站經(jīng)過ΔT時間的運動后，在2個不同位置上的觀測結(jié)果，在ΔT非常小（即ΔT趨近于0）時，θ1與θ2趨近于相等，記為：也趨近于零，即，在此時這一雙站測向交叉定位過程也就演變成了運動單站對固定目標(biāo)的定位過程，且有如下關(guān)系式成立：

將式（7）與式（8）代入式（6）可得：

式中：sinθ·v0＝vT，即是在觀測站O1處相對于目標(biāo)來波方向的切向運動速度值。

由此可見式（10）與式（4）是完全一致的，即在雙站測向交叉定位中將2個站看成是由一個運動站在不同時刻對同一目標(biāo)的測向后實施交叉定位，且當(dāng)2個觀測時刻間隔ΔT非常小時，雙站測向交叉定位的理論計算公式與基于切向運動測距的單站定位理論計算公式是一致的。

上述短的觀測時間間隔代表短的運動距離，同時也意味著短的定位基線。這也說明：可以將基于切向運動測距的單站定位看成是短基線條件下的多站測向交叉定位。

3.2 兩種定位方法在數(shù)據(jù)處理上的統(tǒng)一性分析

基于切向運動測距的單站定位理論計算式似乎比較完美，從理論上講可以通過式（4）實現(xiàn)瞬時定位。但是在實際應(yīng)用中，由于角度變化率的測量問題，通常需要一個觀測時間段才能完成整個定位過程。相關(guān)綜述文獻報道的基于相位差變化率的單站定位精度達到2%R（R為距離）量級，定位速度一般在20s量級[1]。在20s的時間內(nèi)，單個觀測站運動的距離大約在幾km量級，而觀測站與目標(biāo)之間的距離也在百公里量級。這一過程中該觀測站是連續(xù)不斷地在實施對目標(biāo)的測向，也就是說，該觀測站可以獲得一個來波方向角的時間序列值θ（t），然后通過θ（t）對時間t的微分運算來得到角度變化率的估計值，如圖2所示。

圖2 單站定位中連續(xù)測量來波方向角的時間序列示意圖

在觀測時段ΔT很小的條件下，從理論上說，來波方向角θ與時間T之間應(yīng)該近似成線性關(guān)系，如圖2中的虛直線所示。該直線對應(yīng)的斜率就等于角度變化率˙θ。但是由于噪聲與測量誤差的影響，實測曲線如圖2中實曲線所示。為了獲得角度變化率，就需要采用最小二乘法進行直線擬合，然后通過擬合出的直線對應(yīng)的斜率來作為角度變化率的實測值。在工程應(yīng)用中，可使用干涉儀通過通道間相位差測量來獲得來波方向角的時間序列，而所謂的干涉儀的相位差變化率就對應(yīng)了來波方向角的角度變化率。

目前已有一些文獻報道了各種角度變化率測量方法[4-8]。文獻[4]對干涉儀2個接收通道接收到信號與本振信號進行正交混頻，對正交混頻后的復(fù)信號進行離散傅立葉變換（DFT），然后進行復(fù)數(shù)相乘，經(jīng)過低通濾波后估計出相位差變化率。文獻[5]提出將干涉儀兩通道接收到的信號進行相乘濾波，然后保留低頻分量進行模／數(shù)（A／D）變換，經(jīng)過一個測頻單元即可輸出相位差變化率的測量值，并在此基礎(chǔ)上通過正交移相方法將待測過程轉(zhuǎn)換為復(fù)過程，從而解決了過窄的源信號脈沖寬度和過低的相位差變化率等問題。雖然類似的方法還有許多，但是上述方法從數(shù)據(jù)處理上說，都可以統(tǒng)一為對時變的角度測量值θ（t）的微分運算，來得到的角度變化率的估計值˙θ＾的估計值，只不過采用了不同的實現(xiàn)途徑而已。

這說明基于切向運動測距的單站定位的基本數(shù)據(jù)來源于一段觀測時間ΔT內(nèi)的θ（t）值，而多站測向交叉定位理論所采用的基本數(shù)據(jù)同樣來源于θ（t），只不過單站定位將θ（t）看成是一個時間的函數(shù)，而多站定位將θ（t）看成是一個空間位置的函數(shù)，只是思考問題的角度不同，實際上2種定位理論所采用的原始測量數(shù)據(jù)是一致的。所以多站測向交叉定位對上述數(shù)據(jù)處理后所獲得的定位精度，與單站定位對上述數(shù)據(jù)處理后所獲得的定位精度應(yīng)該是大致相同的，這說明2種定位方法在相同的邊界應(yīng)用條件下，具有相同的幾何精度因子（GDOP）。這也從另一個方面說明了二者在理論模型上具有一定的統(tǒng)一性，詳細分析如下：

（1）用于多站測向交叉定位求解的最小二乘算法

設(shè)共有N＋1個觀測站，第i個觀測站坐標(biāo)為di，目標(biāo)坐標(biāo)為（xT，yT），i＝0，1，2，…，N，二者之間的距離記為ri，該觀測站相對于目標(biāo)的真實方位角為θi，實際測量得到的方位角為θi，M，其所對應(yīng)的方位角的測角誤差為，將上述N＋1個觀測站看成由一個觀測站沿X軸正向直線運動形成，于是有如圖3所示。

如前所述，在觀測時段ΔT很小的條件下，真實方位角度序列值θi與時間T之間近似成線性關(guān)系，

圖3 多站測向交叉定位算法示意圖

式中：

另外值得注意的是：在處理序列化測向的多站測向交叉定位時，沒有采用傳統(tǒng)的布朗最小二乘三角定位算法[3]，而是將多次測向交叉定位過程通過最小二乘法擬合，轉(zhuǎn)化成了雙站測向交叉定位過程，而轉(zhuǎn)化之后的2個觀測站具有這一過程中的最長的定位基線。（2）用于單站定位中角度變化率求解的最小二乘算法如前所述，運動單站對固定目標(biāo)定位時，工程實現(xiàn)本質(zhì)上也是在角度測量后通過最小二乘擬合來得到角度變化率參數(shù)。如果將單觀測站每一次角度測量看成是多個觀測站的序列化行為，則第i次角度測量值為θi，M，對應(yīng)的角度測量偏差 Δθi，M＝θi，M－θi，則圖2中擬合出的直線要使得對應(yīng)的各次測量的

于是由最小二乘法可得：

由此求得A ＝ [θ0，θN]T之后，結(jié)合S ＝v0·ΔT，利用式（5）即可計算出輻射源與（x0，y0）之間的距離r為：角度偏差的平方和最小，即使得最小化。這一過程與前面的式（12）是完全相同的，最小二乘得到的結(jié)果如式（13）所示，相應(yīng)的角度變化率參數(shù)˙θ為：

根據(jù)基于切向運動測距的單站定位計算公式（4），可以得到輻射源與（x0，y0）之間的距離r為：

通過上述2種數(shù)據(jù)處理方法得到的結(jié)果對比可知，在觀測時段ΔT很小的條件下，有θN≈θ0成立，即按照式（14）計算得到的多站測向交叉定位的結(jié)果，與按照式（16）計算得到的基于切向運動測距的單站定位的結(jié)果基本一致。這說明二者在數(shù)據(jù)處理上具有統(tǒng)一性。

在上面的多站測向交叉定位中的最小二乘是一種批處理，因為各個觀測站幾乎可以同時獲得方位角的測量值，而基于切向運動測距的單站定位中所獲得的方位角測量值不是同時得到的，而是該觀測站運動到不同的位置后按序得到的。實際上這并不是問題的本質(zhì)，如果將運動單站在不同位置的測量看成是一種特殊的多站，而多站測量值也是按序得到的，那么兩者都可以統(tǒng)一進行處理，這樣就可以用遞推最小二乘來統(tǒng)一解釋2種定位過程，而遞推最小二乘也反映了一個定位結(jié)果逐步收斂的過程，這與目前工程實際中基于切向運動的單站定位輸出結(jié)果的收斂過程曲線是吻合的。

由于批處理的最小二乘法與遞推最小二乘法在各類文獻中都有相關(guān)報道，屬于相對比較成熟的信號處理理論，在此就不再展開闡述了，在后續(xù)仿真過程中再直接應(yīng)用相關(guān)計算公式進行分析。

4 仿真驗證

仿真場景如下：在（20 000，80 000）m處有一部相控陣?yán)走_對空搜索，1架飛機以250m／s的速度從原點沿X軸正向運動，該雷達每間隔0.1s會對飛機進行1次照射，每次照射只輻射1個脈沖，飛機上搭載有用于無源測向定位的干涉儀，只能截獲雷達主瓣信號，所以在此場景下干涉儀每0.1s會輸出一個對該雷達輻射脈沖的測向數(shù)據(jù)。飛機在20s的時間內(nèi)對該雷達實施無源定位，干涉儀在這一過程中一共輸出201個測向數(shù)據(jù)，整個仿真場景如圖4所示。

圖4 仿真場景示意圖

圖4（a）和（b）分別表示測量起始時刻和終止時刻飛機與雷達之間的相對位置。在這一過程中，干涉儀對雷達脈沖進行測向得到的201個測量值的角度值序列如圖5所示。

（1）采用批處理的多站測向交叉定位

將上述201個測向數(shù)據(jù)看成為201個觀測站獲得測向結(jié)果，201個觀測站的坐標(biāo)分別為：（25k，0），k＝0，1，2，…，200，按照批處理最小二乘算法獲得θ0和θ200，利用式（14）可求得雷達坐標(biāo)為：（19 689，78 216）。

（2）采用基于切向運動測距的單站定位

干涉儀輸出的直接數(shù)據(jù)是通道間的相位差，這對應(yīng)著測向角度，由測向角度時間序列可以求得角度變化率。通過角度變化率來估計距離，然后結(jié)合當(dāng)前的測向值來計算輻射源的位置，這是一個逐漸收斂的過程，整個過程中估計的定位誤差的變化曲線如圖6所示。

在經(jīng)過201次迭代后，可求解得到雷達的坐標(biāo)為：（19 643，78 030）。

圖5 干涉儀獲得201個測向數(shù)據(jù)圖

圖6 單站定位的定位誤差變化曲線

（3）采用遞推最小二乘處理的多站測向交叉定位

如前所述，將201個測向數(shù)據(jù)看成是同一個運動觀察站在201個位置上對同一固定目標(biāo)的測向結(jié)果，該觀測站按照時間順序可以依次輸出200個定位結(jié)果，第m次的輸出相對于前m－1次來說新增加了1次測向數(shù)據(jù)，這樣第m次的定位計算相對于前m－1次來說，信息量更大，定位結(jié)果也更趨于準(zhǔn)確，采用遞推最小二乘來處理這一多站測向問題，在這一過程中，定位誤差的變化曲線如圖7所示。

在經(jīng)過200次迭代后，求得的雷達坐標(biāo)為：（19 689，78 216）。由上述仿真結(jié)果的對比可見，整個定位過程2種方法輸出的定位結(jié)果和定位收斂過程幾乎完全一致。這說明了該單站定位體制與多站定位體制在理論模型上的統(tǒng)一性。

5 結(jié)束語

圖7 遞推最小二乘的多站測向交叉定位誤差變化曲線

本文在對基于切向運動測距的單站定位理論模型與多站測向交叉定位理論模型簡要概述的基礎(chǔ)上，分別從時間尺度與數(shù)據(jù)處理2個方面揭示了單站定位與多站定位之間的緊密聯(lián)系，并通過仿真對分析結(jié)果進行了驗證，說明了多站測向交叉定位與基于切向運動的單站定位具有統(tǒng)一的理論模型。這一理論分析結(jié)果也為無源定位系統(tǒng)的多功能應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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