文蒸肖輝

(同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海 201804)

1 引言

色溫 (CT，color temperature)和顯色指數(shù)(CRI，color rendering index)是光源評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)，都是在三基色原理的基礎(chǔ)上進(jìn)行的計(jì)算。目前光源色溫的計(jì)算已有相關(guān)研究［1］～［5］，但各種算法的預(yù)測(cè)精度存在不同程度的誤差，所需數(shù)據(jù)相當(dāng)龐雜，計(jì)算量也很大，對(duì)于不同使用者而言，這些算法選擇性較大，可操作性太隨意，同樣的，顯色指數(shù)的計(jì)算研究也存在這方面問(wèn)題［6］、［7］，其所需的參照樣板的數(shù)據(jù)表更是龐大。更為重要的是，色溫和顯色指數(shù)的計(jì)算是分開(kāi)計(jì)算的，采用兩套算法的，對(duì)于計(jì)算機(jī)編程或者單獨(dú)計(jì)算，都是一件繁重、要求一定數(shù)學(xué)功底的任務(wù)。

因此，有人提出建立相應(yīng)的數(shù)據(jù)庫(kù)，體現(xiàn)在RGB光源方面，殷錄橋等人在實(shí)驗(yàn)中測(cè)試得到一個(gè)不同色溫配比的數(shù)據(jù)庫(kù)，實(shí)際色溫與理論計(jì)算相差無(wú)幾，基本實(shí)現(xiàn)了類太陽(yáng)光動(dòng)態(tài)色溫變化趨勢(shì)［8］;彭浩等人［9］依托 Matlab軟件建立了顯色指數(shù)的計(jì)算模型，只需輸入?yún)⑴c合成的單色光源光譜就可以計(jì)算出合成后光源的顯色指數(shù)。但是兩者的研究還只是基于原有算法的計(jì)算機(jī)化的結(jié)果，因此，前期的數(shù)據(jù)輸入仍然相當(dāng)龐大，基于此，針對(duì)RGB-LED光源的光譜功率分布構(gòu)成的特殊性，本文提供一種RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立三基色配比和色溫、顯色指數(shù)之間的網(wǎng)絡(luò)模型，試圖將兩者聯(lián)系起來(lái)，使得一組配比產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果，同時(shí)還兼具簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，通過(guò)Matlab軟件仿真，驗(yàn)證了該網(wǎng)絡(luò)模型精度高，具有很好的預(yù)測(cè)性能，可以用于實(shí)際需要。

2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (Radial Basis Function Neural Network，RBF)是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的典型結(jié)構(gòu)，它是一種三層前向逼近網(wǎng)絡(luò)，即包含有一個(gè)輸入層、一個(gè)隱含層和一個(gè)輸出層，如圖1所示 (圖中的m、n和k表示相應(yīng)層次的節(jié)點(diǎn)數(shù)目)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、學(xué)習(xí)速度快、網(wǎng)絡(luò)模型能夠用數(shù)學(xué)式子表達(dá)等優(yōu)點(diǎn);而且，它是一種通用逼近器，能夠以任意精度逼近待求解預(yù)測(cè)模型［10］、［11］，特別適合于預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)少的問(wèn)題。

圖1 RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 RBF neural network structure

在RBF網(wǎng)絡(luò)中，隱含層是由一組徑向基函數(shù)構(gòu)成，隱含層節(jié)點(diǎn)通過(guò)基函數(shù)執(zhí)行一種非線性變化，將輸入空間映射到一個(gè)新的空間，輸出層節(jié)點(diǎn)則在該新的空間實(shí)現(xiàn)線性加權(quán)組合，從而建立非線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。具體結(jié)構(gòu)和參量如下:假定X=(x1，x2，x3…xm)為輸入向量，Y=(y1，y2，y3…yk)是輸出向量，且Wij是隱含層到輸出層之間的權(quán)重值，其下標(biāo)表示第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)到第j個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)的連接權(quán)重;φi是關(guān)于n維空間的一個(gè)中心點(diǎn)具有徑向?qū)ΨQ的基函數(shù)，基函數(shù)的目的就是將低維的線性不可分的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成高維空間內(nèi)線性可分，以逼近任意非線性函數(shù)。

研究發(fā)現(xiàn)，我們采用什么樣的徑向基函數(shù)，對(duì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)逼近的性能幾乎沒(méi)有多大的影響［12］，同時(shí)由于高斯函數(shù)形式簡(jiǎn)單，對(duì)于任意階導(dǎo)數(shù)光滑性能優(yōu)越，廣泛用于各種情況下的函數(shù)逼近，即

式中 k——輸出節(jié)點(diǎn)數(shù);

n——隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，網(wǎng)絡(luò)的各種參數(shù)都是通過(guò)一定的樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)得出的，這樣，輸入和輸出之間的關(guān)系就可以數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)。

因此，要獲得理想的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，需要確定一下幾個(gè)方面:

①確定樣本的選擇。選擇實(shí)際測(cè)量的正確樣本，且樣本數(shù)據(jù)分布具有均衡性，這樣才能正確反映所要確立模型關(guān)系的內(nèi)在規(guī)律，充分照顧到各個(gè)情況下的規(guī)律性特征，從而建立具有廣泛適用性的模型關(guān)系。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的特點(diǎn)，樣本的規(guī)模決定了網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果的精度，而樣本規(guī)模只影響訓(xùn)練的時(shí)間，所以樣本規(guī)模只需滿足實(shí)際需求即可。

②確定隱含層的結(jié)構(gòu)。隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)直接決定了RBF網(wǎng)絡(luò)的擬合程度［12］，數(shù)目過(guò)多會(huì)降低泛化能力，即用較少的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)樣本數(shù)據(jù)之外的輸入也能給出合適的輸出，容易產(chǎn)生過(guò)擬合，相反又會(huì)造成誤差太大，不利于預(yù)測(cè)，所以隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目是關(guān)鍵。目前還沒(méi)有統(tǒng)一的方法來(lái)確定節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，對(duì)于小規(guī)模的樣本，隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)?？梢匀≈档扔诨瘮?shù)中心數(shù)［13］。

③確定的函數(shù)參數(shù)有三個(gè)，分別是:RBF的中心和擴(kuò)展常數(shù)以及輸出神經(jīng)元的權(quán)值。對(duì)于中心的選擇，并沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。一種常用的方法是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇中心，但對(duì)樣本的分布均勻性要求很高，中心一旦確定，就不再發(fā)生改變，但算法無(wú)法判斷樣本是否選取合理;另一種就是采用聚類的方法來(lái)選擇中心，有硬C均值算法、k-means算法以及最近鄰聚類學(xué)習(xí)算法等。而擴(kuò)展常數(shù)的大小和中心數(shù)往往成反比關(guān)系，該數(shù)值過(guò)小，就需要許多的神經(jīng)元來(lái)適應(yīng)，這樣一來(lái)，設(shè)計(jì)的網(wǎng)絡(luò)性能就會(huì)很不好，因此，最好的方法就是采用尋優(yōu)的方式尋找合適的基函數(shù)擴(kuò)展常數(shù)。而隱含層到輸出層的線性關(guān)系中的權(quán)值有多種算法:梯度下降迭代法，偽逆法和最小二乘法等，但常用最小二乘法求解［14］、［15］。

3 三基色配比到色溫、顯色指數(shù)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型確定

就目前的RGB-LED來(lái)說(shuō)，商業(yè)應(yīng)用的LED芯片或激發(fā)熒光粉后產(chǎn)生的藍(lán)、黃綠和紅光的峰值波長(zhǎng)大多分別落在420～490、500～580和590～660nm區(qū)域，按照CIE顯色指數(shù)計(jì)算方法，光源的顯色指數(shù)與光譜功率分布密切相關(guān)，對(duì)于RGB-LED來(lái)說(shuō)，單色LED的峰值波長(zhǎng)是光譜功率分布的決定因素，不同的峰值波長(zhǎng)的疊加會(huì)產(chǎn)生不同的光譜分布。一般而言，顯色指數(shù)越高，光源的照明效果會(huì)越好，但由于單個(gè)LED的光譜分布與傳統(tǒng)光源具有很大不同，因此顯色指數(shù)并不能有效的反映實(shí)際照明效果，尤其是白光 LED 光源［16］、［17］，而這并不是本文的重點(diǎn)，另外在一些特殊場(chǎng)合，對(duì)RGB-LED的顯色指數(shù)要求并不高，比如代替汞燈使用的一些場(chǎng)合，因此，這里對(duì)樣本輸出的顯色指數(shù)并不做過(guò)多要求，只要求符合樣本選擇的條件即可。

同時(shí)，根據(jù)三基色原理，任意色溫的光源可以通過(guò)紅綠藍(lán)任意比例實(shí)現(xiàn)，因此可以根據(jù)不同比例的三基色LED搭配來(lái)實(shí)現(xiàn)不同色溫和顯色指數(shù)的LED光源，目前商用RGB-LED色溫主要局限在2000k～6500k。

本文所使用的三基色樣本選取峰值波長(zhǎng)分別為627nm、519nm和442nm，在這個(gè)條件下，三基色的配比作為輸入量，輸出量為色溫和顯色指數(shù)。本文選用參考文獻(xiàn)中的樣本［18］(見(jiàn)表1)，其分布均勻，完全符合RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)樣本的要求。結(jié)合RBF網(wǎng)絡(luò)性質(zhì)和聚類思想，其隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)不會(huì)超過(guò)學(xué)習(xí)樣本數(shù)。圖2為隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為5時(shí)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。

表1 RGB-LED樣本Table 1 RGB-LED samples

圖2 三基色配比與色溫、顯色指數(shù)的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 Three-color ratio and color temperature，color rendering index of RBF neural network structure

為了避免輸入和輸出數(shù)據(jù)離散程度太大，造成學(xué)習(xí)數(shù)值的溢出和出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)誤差大，原始數(shù)據(jù)必須進(jìn)行預(yù)處理，由于輸入是三基色配比數(shù)值在0到1之間，因此只需將輸出數(shù)據(jù)做歸一化處理。

對(duì)于輸出色溫來(lái)說(shuō):

由于對(duì)于顯色指數(shù)越大，效果就愈好，因此其歸一化采用不同的方式:

3.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)和驗(yàn)證

本文通過(guò)樣本的訓(xùn)練要達(dá)到目標(biāo)關(guān)系的擬合，經(jīng)過(guò)三個(gè)步驟:

(1)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)建立目標(biāo)關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)模型;

(2)驗(yàn)證網(wǎng)絡(luò)模型在一定誤差范圍下的正確性;

(3)預(yù)測(cè)在新的輸入情況下，產(chǎn)生理想輸出。

因此，本文隨機(jī)將前5個(gè)樣本和第8號(hào)樣本選作網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本，用于網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練構(gòu)建，剩下的樣本6號(hào)作為驗(yàn)證樣本，7號(hào)樣本作為預(yù)測(cè)樣本來(lái)驗(yàn)證網(wǎng)絡(luò)的精度和準(zhǔn)確性。網(wǎng)絡(luò)的中心數(shù)和擴(kuò)展常數(shù)都采用尋優(yōu)的方式進(jìn)行確定，而權(quán)值的確定將根據(jù)隱含層輸出利用最小二乘法求解，其原理是根據(jù)式 (5)即輸出層的神經(jīng)元是隱含層神經(jīng)元的輸出加權(quán)求和，建立矩陣為確保獲得最佳網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)。在Matlab中，有專門的MSE(Mean Squared Errors，均方誤差)SSE(Sum of Squares for Error，誤差平方和)性能函數(shù)來(lái)判斷神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)越性。MSE數(shù)值的大小反映了數(shù)據(jù)的變化程度，其值越小，越說(shuō)明該模型具有跟高的精確度用來(lái)描述數(shù)據(jù)關(guān)系，具體表達(dá)式如下:

其中，εi代表期望輸出和實(shí)際輸出的誤差。本文MSE的數(shù)值采用實(shí)際輸出反歸一化后的誤差進(jìn)行計(jì)算，因此考慮到數(shù)量級(jí)的問(wèn)題，可能會(huì)呈現(xiàn)較大的數(shù)值。

而SSE則體現(xiàn)了樣本實(shí)際輸出值的離散狀況，數(shù)值越小，越能反映網(wǎng)絡(luò)中心具有標(biāo)志性，聚類效果優(yōu)異，產(chǎn)生的預(yù)測(cè)效果就會(huì)更好，因此該網(wǎng)絡(luò)就具有很好的泛化能力。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)中，此時(shí)的誤差是實(shí)際輸出和期望輸出 (歸一化后)的比較而得，考慮到精度的要求，數(shù)值上往往呈現(xiàn)接近于零的狀態(tài)。

通過(guò)兩個(gè)性能函數(shù)對(duì)不同情況下的網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行判定，以尋優(yōu)的方式獲得理想網(wǎng)絡(luò)模型。

3.2 輸出數(shù)據(jù)要求

色溫是對(duì)光源顏色的度量，人眼對(duì)顏色的可辨別顏色的容許色容差一般要求在4～5SDCM內(nèi)，因此，模擬輸出的色溫偏差必須在一定色容差值內(nèi)，否則就是無(wú)效，而國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T24823—2009《普通照明用LED模塊性能要求》其色容差僅要求小于7SCDM即可，由于不同的色溫色容差要求是不同的，結(jié)合飛利浦照明公司的數(shù)據(jù) (見(jiàn)表2)，本文認(rèn)為輸出色溫偏差值局限在 (－200，200)作為對(duì)結(jié)果輸出有效要求。

表2 一定色溫允許偏差值范圍Table 2 Deviation range in color temperature

對(duì)于顯色指數(shù)，該數(shù)值是對(duì)光源顯色性能的評(píng)價(jià)，但是，比如指數(shù)為1，具體為何種視覺(jué)感知，目前并沒(méi)有對(duì)于顯色指數(shù)容許范圍的研究，但根據(jù)實(shí)際應(yīng)用中，顯色指數(shù)往往精確到整數(shù)部分，因此，本文將結(jié)合RBF網(wǎng)絡(luò)的性能函數(shù)進(jìn)行判定，使得顯色指數(shù)的輸出與實(shí)際值相差不超過(guò)1。

3.3 仿真結(jié)果分析

在Matlab上建立基于6個(gè)學(xué)習(xí)樣本的RBF網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)不斷調(diào)整隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，即中心數(shù)，進(jìn)行，選擇擴(kuò)展常數(shù)從0.2到20，步長(zhǎng)為0.2的不同取值，進(jìn)行優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)。

例如，當(dāng)中心數(shù)為5時(shí)，見(jiàn)圖3。

圖3 不同擴(kuò)展常數(shù)下的MSE變化趨勢(shì)Fig.3 MSE trends under different extensions constant

由圖3中可知，隨著spread的增加，均方誤差剛開(kāi)始為零，隨后在擴(kuò)展常數(shù)為12以后發(fā)生波動(dòng)，說(shuō)明擴(kuò)展常數(shù)并不是越大越好，由圖中可見(jiàn)，此時(shí)的MSE在擴(kuò)展常數(shù)0.2到12內(nèi)都為0，說(shuō)明此時(shí)的網(wǎng)絡(luò)可以很好地反映輸入和輸出之間的關(guān)系。

由圖4可知，SSE變化趨勢(shì)與MSE變化趨勢(shì)類似，這說(shuō)明，網(wǎng)絡(luò)精度和泛化能力都有不錯(cuò)的表現(xiàn)，針對(duì)已知樣本具有很好的模擬能力。經(jīng)Matlab計(jì)算，當(dāng)擴(kuò)展常數(shù)為7.4。

實(shí)際上由公式來(lái)看，MSE和SSE隨著擴(kuò)展常數(shù)的增加，理論上應(yīng)該具有相似的趨勢(shì)變化，以MSE為標(biāo)準(zhǔn) (這里的零表示其數(shù)量級(jí)已經(jīng)達(dá)到10－10或者更小)，通過(guò)調(diào)整中心數(shù)，具體的仿真結(jié)果參見(jiàn)表3。

圖4 不同擴(kuò)展常數(shù)下的SSE變化趨勢(shì)Fig.4 SSE trends under different extensions constant

表3 網(wǎng)絡(luò)模型仿真結(jié)果Table 3 The simulation results of the network model

在表3中，顯然隨著中心個(gè)數(shù)的不斷增加，RBF具有無(wú)限逼近的能力，輸入和輸出數(shù)據(jù)得到很好的模擬。同時(shí)從表中可以看出通過(guò)聚類方法，中心數(shù)為5或者6的網(wǎng)絡(luò)模型，在MSE相同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)綜合性能都很優(yōu)異，不僅輸出誤差適中，而且擴(kuò)展常數(shù)值符合常態(tài)，但對(duì)于這兩種網(wǎng)絡(luò)模型，通常情況下，RBF網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)在精度滿足的情況下，會(huì)選取具有最小結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［19］～［20］，以保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，因此，本文最終選取第4個(gè)網(wǎng)絡(luò)模型用于第6號(hào)樣本的驗(yàn)證，見(jiàn)圖5。

圖5 不同擴(kuò)展常數(shù)時(shí)的輸出結(jié)果 (反歸一化后)Fig.5 Results under different extensions constant

由圖5可以看出，該網(wǎng)絡(luò)模型針對(duì)測(cè)試樣本6號(hào)輸出結(jié)果與期望結(jié)果始終徘徊在個(gè)位數(shù)差值，尤其是顯色指數(shù)方面，誤差不超過(guò)0.5，與實(shí)際偏離值都在要求范圍內(nèi)，顯示該網(wǎng)絡(luò)模型的性能優(yōu)越性，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行，此時(shí)的MSE在擴(kuò)展常數(shù)為7.4時(shí)達(dá)到最小，數(shù)值為38.9，因此，最后確定擴(kuò)展常數(shù)為7.4，結(jié)合7號(hào)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，其結(jié)果見(jiàn)表4，此時(shí)中心個(gè)數(shù)為5，擴(kuò)展常數(shù)為7.4。

表4 第7號(hào)樣本預(yù)測(cè)結(jié)果Table 4 No.7 prediction results

表4結(jié)果顯示，該網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)有效，表現(xiàn)在預(yù)測(cè)色溫和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)僅相差20k，優(yōu)越于飛利浦照明標(biāo)準(zhǔn)對(duì)產(chǎn)品色溫的要求，同時(shí)顯色指數(shù)偏離值只有0.2，相差值不超過(guò)1，符合輸出結(jié)果要求。輸出結(jié)果與測(cè)量值相對(duì)誤差非常小，色溫和顯色指數(shù)的輸出相對(duì)誤差幾乎一樣;同時(shí)SSE精度很高，表現(xiàn)了該網(wǎng)絡(luò)模型的泛化能力仍然具有很高的水平，因此該預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)完全可以代替測(cè)量數(shù)據(jù)，省去測(cè)量步驟。采用該網(wǎng)絡(luò)模型可以有效對(duì)三基色配比預(yù)測(cè)色溫和顯色指數(shù)，應(yīng)用于光源的生產(chǎn)和評(píng)價(jià)。

4 結(jié)論

通過(guò)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立的網(wǎng)絡(luò)模型，采用聚類的方法，針對(duì)參照樣本進(jìn)行了學(xué)習(xí)和仿真，結(jié)果顯示，該網(wǎng)絡(luò)具有局部逼近的能力，只需三基色比例，就可同時(shí)獲得理想的色溫和顯色指數(shù)，快捷有效。與傳統(tǒng)的方法相比較，不僅簡(jiǎn)單實(shí)用，而且功能強(qiáng)大，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)色溫和顯色指數(shù)的獲得，對(duì)光源生產(chǎn)和及時(shí)有效的評(píng)價(jià)具有重要意義。

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