陳志明 杜新滿

【摘要】概率論的教學(xué)，學(xué)生普遍感覺難學(xué)難懂，枯燥乏味，該文通過(guò)兩個(gè)案例的教學(xué)，說(shuō)明概率論在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用十分廣泛，且對(duì)科學(xué)研究有很重要的指導(dǎo)意義。提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也說(shuō)明案例教學(xué)是當(dāng)今職業(yè)教育教學(xué)改革的必然選擇。

【關(guān)鍵詞】概率；隨機(jī)變量

文章編號(hào):ISSN1006—656X(2013)06?-0136-02

一、教學(xué)分析

本次課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率及離散型隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)字特征的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是對(duì)概率論相關(guān)知識(shí)在生活中應(yīng)用的廣泛性的初步認(rèn)識(shí)。概率論的內(nèi)容學(xué)生普遍感覺難學(xué)難懂，枯燥乏味，大部分學(xué)生認(rèn)為自己到醫(yī)學(xué)院學(xué)習(xí)，是以學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)知識(shí)為主，數(shù)學(xué)知識(shí)作用不大，尤其對(duì)純理論的內(nèi)容缺乏興趣。如果用實(shí)例進(jìn)行教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生積極參與課堂教學(xué)，體現(xiàn)知識(shí)的實(shí)用性、趣味性；也是“教、學(xué)、做合一”的教學(xué)理念的體現(xiàn)。教學(xué)中力求實(shí)現(xiàn)以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，以知識(shí)為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，動(dòng)手能力，探究能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想。

二、教學(xué)過(guò)程

前面我們學(xué)習(xí)了概率論的一些基礎(chǔ)知識(shí)，今天這次課要用這些知識(shí)幫助一位醫(yī)生判斷藥物的療效。

案例一：藥物療效的判斷

一個(gè)醫(yī)生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25，為了試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用。他事先規(guī)定一個(gè)決策規(guī)劃：若這10個(gè)病人中至少有4人被治好，則認(rèn)為這種新藥有效，提高了治愈率；反之，則認(rèn)為無(wú)效。求：（1）雖然新藥有效，并把痊愈率提高到0.35，但通過(guò)試驗(yàn)卻被否定的概率；（2）新藥完全無(wú)效，但通過(guò)試驗(yàn)卻被判斷為有效的概率。

學(xué)生仔細(xì)閱讀案例，并開始討論案例含義，討論后請(qǐng)學(xué)生大膽表達(dá)自己的理解。

先解決（1）：對(duì)（1）而言，實(shí)際上是說(shuō)新藥是有效的，并且把痊愈率提高到0.35 ( 包括自然痊愈率在內(nèi))。由于決策規(guī)劃是10個(gè)病人中至少有4人被治好，則認(rèn)為新藥有效。通過(guò)試驗(yàn)卻被否定，意思是10個(gè)病人服用后，最多只有3人被治好，因此，只好認(rèn)為此藥無(wú)效，這顯然是做了錯(cuò)誤的判斷（按數(shù)理統(tǒng)計(jì)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，犯了第一類錯(cuò)誤，或叫棄真錯(cuò)誤），計(jì)算犯這錯(cuò)誤的概率。

故此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：某新藥對(duì)某疾病的痊愈率為p =0.35，求10個(gè)病人服此新藥后，最多只有3人被治好的概率是多少？（建立數(shù)學(xué)模型）

這樣轉(zhuǎn)化后，就把一個(gè)實(shí)際生活問(wèn)題變成一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題。而此數(shù)學(xué)問(wèn)題正好符合貝努里概型。

一般地，如果在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率

由于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率由瑞士數(shù)學(xué)家貝努里首先研究，所以，上述公式也叫貝努里概型公式。

（讓學(xué)生找出所求問(wèn)題與貝努里概型之間的聯(lián)系）

10個(gè)病人服藥可以認(rèn)為10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每個(gè)病人的痊愈與否可以認(rèn)為彼此不受影響（即使是傳染病，也是能隔離治療的），痊愈的概率p=0.35，不痊愈的概率1-0.35=0.65，于是“否定新藥”這一事件等價(jià)于p=0.35時(shí)“10個(gè)人中最多只有3個(gè)治好”這一事件，﹛最多只有3個(gè)治好﹜是﹛0個(gè)治好﹜、﹛1個(gè)治好﹜、﹛2個(gè)治好﹜、﹛3個(gè)治好﹜的和事件。（此結(jié)論是由學(xué)生討論后得出的）

故得所求概率為：

P（否定新藥）= （此式中k=0，1，2，3）

= 0.6510+10×0.35×0.659+45×0.352×0.658+120×0.353×0.657

≈0.5136

（1）的概率已經(jīng)求出，那么（2）的概率如何算呢？

不少學(xué)生認(rèn)為：因?yàn)椤芭袛嘈滤幱行А边@一事件等價(jià)于“10人中至少4個(gè)治好”這一事件，而這一事件是“否定新藥”這一事件的對(duì)立事件，因此得到

P（判斷新藥有效）=1-P（否定新藥）

=1-0.5136=0.4864

大家思考一下，這樣的算法對(duì)不對(duì)？

我們說(shuō)上面的這種算法是錯(cuò)誤的，上面算出的結(jié)果0.4864是判斷“新藥有效且痊愈率已提高到0.35的概率。而（2）所說(shuō)的是要求“新藥完全無(wú)效卻判斷為它有效”這一事件的概率（這也是一種錯(cuò)判的概率，這樣的錯(cuò)誤在數(shù)理統(tǒng)計(jì)上叫做第二類錯(cuò)誤或取偽錯(cuò)誤）。因?yàn)楝F(xiàn)在新藥實(shí)際上是無(wú)效的，因而痊愈率是自然痊愈率0.25，而不是0.35，這樣（2）中的“判斷新藥有效”就不是（1）中“否定新藥”的對(duì)立事件。

（讓學(xué)生討論將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題）

此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：某疾病的痊愈率為0.25，現(xiàn)有一新藥讓患此疾病的人服用，求10個(gè)病人服藥后至少4人治好的概率？

當(dāng)然仍作貝努里概型來(lái)處理。﹛至少4人治好﹜是﹛4人治好﹜、﹛5人治好﹜、﹛6人治好﹜、﹛7人治好﹜、﹛8人治好﹜、﹛9人治好﹜、﹛10人治好﹜的和事件。故得所求概率為：

P（判斷新藥有效）=

此式中k=4，5，6，7，8， 9，10，為了方便計(jì)算，上式也可寫為

P（判斷新藥有效）=1-（此式中k=0，1，2，3）

=1-（0.7510+10×0.25×0.759+45×0.252×0.758+120×0.253×0.757）

≈0.224

討論：P（否定新藥）=0.5136此數(shù)據(jù)較大，說(shuō)明新藥本來(lái)有效，結(jié)果卻被判無(wú)效的可能性較大，這樣就浪費(fèi)了大量的人力物力（因?yàn)樾滤幍难兄菩枰獣r(shí)間和金錢）。能否降低此值，減少犯棄真的錯(cuò)誤。我們來(lái)改變決策規(guī)劃：若10個(gè)病人中至少有3人被治好，則認(rèn)為這種新藥有效；反之，則認(rèn)為無(wú)效。再計(jì)算一下

可得： P（否定新藥）≈0.2615； P（判斷新藥有效）≈0.474。

P（否定新藥）≈0.2615此數(shù)據(jù)變小了，犯棄真錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)也變小了，但P（判斷新藥有效）≈0.474卻變大了，說(shuō)明新藥本來(lái)無(wú)效，結(jié)果卻被判有效的可能性變大了，即犯取偽的錯(cuò)誤機(jī)會(huì)變大了，則可能危及到生命安全。事實(shí)上，犯這類錯(cuò)誤所生成的影響雖然不一樣，但都會(huì)給工作帶來(lái)?yè)p失。主觀上，我們總是希望作出的判斷能使犯這兩類錯(cuò)誤的概率都盡可能地小，但在一般情形下，兩種錯(cuò)判的概率不能同時(shí)減小。（1）的概率減?。?）的概率就增大；（2）的概率減小而（1）的概率就增大。

下面我們運(yùn)用所學(xué)的概率論知識(shí)來(lái)討論一個(gè)化驗(yàn)方案。

案例二：化驗(yàn)方案的確定

某地區(qū)流行某種疾病，為開展防治工作,要對(duì)全區(qū)居民驗(yàn)血。一般可采取兩種方法：

為了方便計(jì)算，設(shè)該地區(qū)共有居民N人。每人分別化驗(yàn)，共需要N次。

以k(k

用哪種方案更節(jié)省人力物力？

讓學(xué)生閱讀案例，并討論案例含義，討論后請(qǐng)學(xué)生大膽表達(dá)自己的理解。

討論結(jié)果有人認(rèn)為方案（1）好，如果發(fā)病率高，混合血液出現(xiàn)陽(yáng)性的可能性就高，化驗(yàn)次數(shù)就可能大于N，也有人認(rèn)為方案（2）好，如果發(fā)病率不高，化驗(yàn)次數(shù)就小于N，即使發(fā)病率高，k人一組，如兩人一組，呈陰性時(shí)只化驗(yàn)一次，呈陽(yáng)性時(shí)，再化驗(yàn)其一人，若呈陰性，另一人則呈陽(yáng)性，也只化驗(yàn)兩次。等等。

（學(xué)生爭(zhēng)論后，老師再講）

到底哪種方案較好，我們可運(yùn)用概率論的知識(shí)加以推證：

設(shè)某疾病的發(fā)病率為p，則不發(fā)病的概率為q=1-p，按方法（2）化驗(yàn)時(shí)，每個(gè)人需要化驗(yàn)的次數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，ξ的可能取值只有兩個(gè)：1/k,1+1/k.