李雨，魏玉芬，朱煥

（黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)理學(xué)院，大慶 163319）

Burgers 方程是描述非線性耗散現(xiàn)象的典型方程，很多學(xué)者在該方程的理論和數(shù)值求解方面進行了大量研究。求解Burgers 方程的主要方法是有限元方法和有限差分方法，這類方法一般采用差分方法在空間方向上進行離散得到常微分方程，然后在時間方向進行離散構(gòu)造顯式或隱式格式。而近年來發(fā)展起來的李群方法所采用的積分方法在穩(wěn)定性方面更有優(yōu)勢，應(yīng)用李群方法的思想可以構(gòu)造一種基于積分格式的指數(shù)積分方法，數(shù)值算例表明這種顯式方法在穩(wěn)定性方面具有一定的優(yōu)勢。

1 基于李群方法的指數(shù)積分法

考慮形如

的線性常微分方程組，其中A：R→Rn×Rn，首先介紹關(guān)于指數(shù)映射[6]的一些概念。

定義1 指數(shù)映射exp：Rn→Rn定義為

其中，exp（O）=I，上述定義限定在矩陣李群的范圍內(nèi)。

定義2 稱Ad 為伴隨表示，若

其微分ad 定義為

其中，adA0B=A，adAn（B）=[A，[A，L[A，B]]]。

指數(shù)映射的微分記為

其中，dexp：Rn×Rn→Rn，與adA的關(guān)系為

當(dāng)A 固定時dexpA（t）關(guān)于A′（t）是線性的，由的泰勒級數(shù)展開形式可得

由于dexpA是adA的解析函數(shù)，因此

又因為

其中，Bj為伯努利數(shù)，因此

基于上面的定義，關(guān)于方程（1）的解有如下引理，

引理1[1]設(shè)Θ（t）滿足下列微分方程

則方程（1）的解為Y（t）=exp（Θ（t））Y0。

根據(jù)上述結(jié)論，求解微分方程（10）即可得到方程（1）的解，因此對方程（10）采用不同的數(shù)值方法求解，就得到了求解方程（1）的不同的數(shù)值方法。

對式（10）采用Picard 迭代，則

把重新排列各項并化簡得

像這種把（10）的解Θ（t）寫成矩陣A（t）的交換算子和積分的線性組合形式稱為Magnus 展開[1-2]，根據(jù)Magnus 展開時的對稱性把Magnus 展開寫成

其中，

顯然可以根據(jù)Magnus 展開的根數(shù)理論寫出Ik的其他各項，參見文獻[1，3-6]。

關(guān)于Magnus 展開的收斂性，已由Moan 證明了對于任意t∈（0，t*），考慮Euclidean 范數(shù)，Magnus 展開是收斂的。

下面對Magnus 展開進行數(shù)值應(yīng)用，取步長h＞0，Magnus 展開中的項可以寫成

其中，S={ξ ∈RS：ξ1∈[0，h]，ξl∈[0，ξml]，l=2，3，L，s}，ml∈{1，2，K，l-1}，l=2，3，K，s。

根據(jù)Iserles 和N?rsett（1999）[7]的理論，對I（h）進行離散，取v 個積分節(jié)點c1，c2，L，cv∈[0，1]，記Ak=hA（ckh），k=1，2，L，v，則I（h）離散為

式（11）中的A（t）可以應(yīng)用插值多項式在積分節(jié)點的值

代替，因此得到顯式積分格式。

Iserles（1999）在文獻[1]中證明了下面的引理：

引理2[1]由正交條件

可知，對任意的S 和多項式函數(shù)L，數(shù)值積分（12）的階為v+m；當(dāng)c1，c2，L，cv是Lagendre 多項式Pv在區(qū)間[0，1]的根時，則數(shù)值積分（12）的階可達2v，其中，m＞0 是使得上式成立的最大整數(shù)。

在非線性問題中，I（h）中的A 與Y 有關(guān)，即Ak=hA（ckh，Y（ckh）），由于Y 是未知函數(shù)，它在求積節(jié)點ckh 上的值是未知的。如何解決這個問題呢？設(shè)求積節(jié)點c1，c2，L，cv滿足式（13）給出的正交條件，則相應(yīng)的單變量值多項式的積分可達階p=v+m，又因Ak都是h 的倍數(shù)，設(shè)Xk是Y（ckh）的不低于p-1 階的估計值，顯然可以用hA（ckh，Xk）來代替Ak。基于此，我們必須對Y（ckh）進行p-1 階估計，配置方法來構(gòu)造估計值Xk是一種簡單而有效的方法，采用拉格朗日插值多項式

代替A（t，Y），此處Ak=hA（ckh，Xk）k=1，2，L v。

此時，對方程（10）仍然使用picard 迭代，可以得到一般的Magnus 展開[8-10]，在非線性情況下需要計算

基于上述理論，選取不同的積分節(jié)點即可構(gòu)造各種顯式和隱式方法。

定理1 方法

是求解非線性常微分方程

的三階顯式方法，稱為指數(shù)積分法。

放松配置條件，即得指數(shù)積分方法（14），該方法的計算量很大，但在穩(wěn)定性方面該方法有很強的優(yōu)勢。

2 應(yīng)用指數(shù)積分法求解擬線性Burgers 方程

考慮形如

的擬線性Burgers 方程，取xi=iVx，u（xi，t）≈xi（t），i=1，2，L，N，用中心差分代替方程空間方向?qū)?shù)

ui滿足常微分方程

取U=（u0，u1，L，uN）T則方程（17）轉(zhuǎn)化為非線性常微分方程組[10]

其中

此處cn=un+1-un-1，n=1，2，K N-1，I 為N+1 級單位陣。

于是Burgers 方程（17）轉(zhuǎn)化為方程（16）的形式，可以使用指數(shù)積分法來求解。

3 數(shù)值算例

考慮Burgers 方程初值問題

其中

它的解析解為

下面將方程（18）進行離散，記U=（u0，u1，K，uN）T，則方程轉(zhuǎn)化為

其中

A（t，U）為（N+1）×（N+1）矩 陣，cn=un+1-un-1，n=1，2，K N-1。

下面取ε=1，N=20（即△x=0.1），取xmin=0，xmax=2，分別應(yīng)用指數(shù)積分法和三階的Runge-Kutta 方法求解，從表1 可以看出兩種方法在精確度相差不大的情況下，指數(shù)積分法對步長要求更低，換句話說，當(dāng)對求解精度要求相同的情況下，指數(shù)積分法比其他方法穩(wěn)定性更好。

表1 兩種方法在求解Burgers 方程時的步長比較Fig.1 Two methods of Burgers equations

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