楊 翀，F(xiàn)U Yu，朱長春，田光明

(1.中國工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽 621900;2.Temasek Labs and School of MAE，Nanyang Technological University，50 Nanyang Drive，Singapore 637553，Singapore)

裂紋的出現(xiàn)和擴(kuò)展會造成結(jié)構(gòu)的性能下降甚至破壞，因此對早期裂紋的位置進(jìn)行檢測是工程實(shí)踐中的一個重要課題。裂紋的出現(xiàn)會影響結(jié)構(gòu)的物理特性，例如質(zhì)量、阻尼和剛度等，進(jìn)一步會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動參數(shù)發(fā)生改變。通過測量這些振動參數(shù)的改變可以對裂紋進(jìn)行檢測［1］。常見的基于振動測量的裂紋檢測方法主要有頻率法和模態(tài)法。頻率法通過測量結(jié)構(gòu)固有頻率的改變來檢測裂紋，其優(yōu)點(diǎn)是測量方法簡單和精度高，但其缺點(diǎn)也比較明顯。裂紋導(dǎo)致的固有頻率改變量較小，因此更容易受到其他因素(如環(huán)境溫度、加載精度等)的影響，而且，固有頻率的變化受到裂紋位置和開裂程度的共同作用，不同的裂紋位置和開裂程度可能產(chǎn)生相同的變化量，特別是在對稱結(jié)構(gòu)中，對稱位置上的同等裂紋就能引起相同的變化量。這都給裂紋的定位帶來困難。模態(tài)法則避免了這些問題。不過模態(tài)的測量比較復(fù)雜，需要一系列的傳感器，而且通常傳感器的分布不可能非常密集，這就導(dǎo)致測量的空間分辨率和精度較低。另一方面，模態(tài)法中更常見的是通過對曲率模態(tài)，即對位移模態(tài)2階導(dǎo)數(shù)的比較來檢測裂紋，因?yàn)槠湫Ч茫?］。曲率模態(tài)通常采用中心差分法計算，在模態(tài)測量的分辨率和精度不高時往往得到的曲率模態(tài)誤差很大，無法用于裂紋檢測。針對這一問題，本文引入了插值和加窗傅里葉變換算法來計算曲率模態(tài)。采用自同步的多點(diǎn)多普勒測振儀對完整梁和裂紋梁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，準(zhǔn)確地探測到了裂紋所在位置。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法具有很高的精度。

1 曲率模態(tài)提取算法

插值法是一種通過計算在采樣點(diǎn)之間建立一些新的點(diǎn)，從而提高分辨率的數(shù)值方法。常見的插值算法有線性插值、多項(xiàng)式插值和樣條插值等。線性插值方法簡單，但精度低。樣條插值精度較高，但須引入邊界條件，而且由于測量點(diǎn)通常不會落在邊界上，因此在模態(tài)的樣條插值重建時邊界的精度較低。多項(xiàng)式插值法在采樣點(diǎn)數(shù)量較多時，邊界會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象而導(dǎo)致誤差較大。龍格現(xiàn)象可以采用分段插值如分段Hermite插值等方法解決。本文采用分段三次Hermite插值方法。

加窗傅里葉變換(windowed Fourier transform，WFT)在時間信號分析領(lǐng)域被稱為短時傅里葉變換。WFT將信號乘以一個有限窗口再進(jìn)行傅里葉變換，從而得到窗口內(nèi)信號的頻率信息。窗口逐漸移動，則可以得到信號在不同位置(時間)處的局部頻率信息。最常用的窗口是高斯窗。信號f(x)的WFT可表示為

基于 WFT，Qian［3］提出了一種用于光學(xué)干涉條紋圖位相提取的加窗傅里葉脊(windowed Fourier ridges，WFR)算法。加窗傅里葉脊是指針對某個u值振幅譜|Sf(u，ξ)|的最大值，此時對應(yīng)的頻率ξ被近似認(rèn)為是信號的當(dāng)?shù)仡l率。對一個形如f(x)=B(x)exp{jφ(x)}的復(fù)信號，WFR 提取位相φ(x)和位相導(dǎo)數(shù)φ'(x)的算法可由式(2)表示。

選擇合適的窗口尺寸［4］，WFR可以精確提取信號的導(dǎo)數(shù)。結(jié)構(gòu)的模態(tài)亦可看成形如f(x)=B(x)exp{jφ(x)}的復(fù)信號，如歐拉梁在自由、固支或簡支的邊界條件下，其模態(tài)的解析解為雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的表達(dá)式，均可以用指數(shù)函數(shù)來表示。因此，WFR算法也適用于提取位移模態(tài)的2階導(dǎo)數(shù)，即曲率模態(tài)。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過對加工完整的和含裂紋的懸臂梁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本算法。梁的長、寬、高分別為270、10和10 mm，材料為純鋁。裂紋采用線切割加工，為張開型裂紋，相對深度(裂紋深度/梁的厚度)為0.4，位于距離懸臂梁固支端135 mm處，其相對位置(裂紋與固支端距離/梁的長度)e為0.5。由于傳感器的附加質(zhì)量會影響測量精度，因此本文采用了一種新的激光多普勒測振裝置(laser Doppler vibrometer，LDV)［5］來對梁的模態(tài)進(jìn)行非接觸式測量。該測振裝置采用單光源和單個光探測器，能實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)的同步測量。測量點(diǎn)為14個，位于梁的中心線上，距固支端的距離分別為70+(i－1)×10 mm，i=1，2，3，…，14。實(shí)驗(yàn)裝置及光路設(shè)置如圖1所示。

測量結(jié)果如圖2所示。圖2中橫坐標(biāo)為相對位置。對LDV測量得到的梁的2階位移模態(tài)，通過分段三次Hermite插值算法進(jìn)行插值，以提高其空間分辨率，然后分別采用WFR和中心差分法提取梁的曲率模態(tài)。插值點(diǎn)數(shù)據(jù)依賴于實(shí)測點(diǎn)，因此插值法可以提高分辨率，但不能提高中心差分法的計算精度。WFR算法由于具有局域?yàn)V波的能力，可以提取更加精確的曲率模態(tài)。圖3為完整梁和裂紋梁曲率模態(tài)的絕對差值。采用WFR算法，曲率模態(tài)差在裂紋位置出現(xiàn)明顯的尖峰;而采用中心差分法，由于曲率模態(tài)的計算誤差太大，無法進(jìn)行裂紋定位。并且，距離裂紋最近的采樣點(diǎn)位于e=0.481和0.520處，但裂紋定位卻能精確到e=0.498，可見將插值法和WFR算法結(jié)合能大幅提高空間分辨率和檢測精度。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置及光路設(shè)置

圖2 完整梁和裂紋梁的模態(tài)和曲率模態(tài)對比

圖3 采用中心差分法和WFR算法得到的完整梁和裂紋梁曲率模態(tài)差

3 結(jié)束語

本文提出了一種基于插值和加窗傅里葉變換的曲率模態(tài)提取算法。由于模態(tài)測量比較復(fù)雜，并且通常傳感器的數(shù)量有限，導(dǎo)致測量的空間分辨率和精度較低。這種情況下，采用常見的中心差分法計算曲率模態(tài)的誤差很大。本文通過插值來提高分辨率，采用加窗傅里葉變換算法提高曲率模態(tài)的計算精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:該算法能精確地提取曲率模態(tài)，準(zhǔn)確地定位懸臂梁上的裂紋位置。值得注意的是，由于插值法的精度依賴于實(shí)際采樣點(diǎn)，因此采樣本身的分辨率仍然是決定裂紋定位精度的主要因素。對于大尺度或者是高精度的測量，在測量點(diǎn)有限的情況下，可以采用分段檢測或者多次測量逐漸縮小測量范圍的方法，從而保證測量精度。

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