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        含有絕對(duì)值的二次函數(shù)最值求解問題

        2013-07-29 06:51:00夏良娟
        新課程學(xué)習(xí)·中 2013年5期
        關(guān)鍵詞:方法學(xué)生

        夏良娟

        2009年江蘇省高考題最后一題考了含參帶有絕對(duì)值的二次函數(shù),本質(zhì)是含有絕對(duì)值的二次函數(shù)最值求解問題,重點(diǎn)考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想。此類題目有一定的綜合性與靈活性,學(xué)生解決此類問題往往感到有一定的困難。在教學(xué)過程中,我對(duì)這類題目進(jìn)行了小結(jié),總結(jié)了兩種方法。

        二次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)之一,它有著豐富的內(nèi)容,對(duì)近代數(shù)學(xué)乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn),與二次函數(shù)有關(guān)的含有絕對(duì)值不等式的證明問題有一定的綜合性與靈活性,學(xué)生解決此類問題往往感到有一定的困難。本文通過幾個(gè)例子,歸納解決這類問題的一些常見題型與基本方法。

        例:已知f(x)=2x2+(x-a)x-a,求f(x)的最小值。

        解:f(x)=2x2+(x-a)x-a=x2+2ax-a2,x≤a

        3x2-2ax+a2,x≥a

        注意函數(shù)在x=a處相接,分段時(shí)兩側(cè)都取閉區(qū)間,以防止有一側(cè)無(wú)最值。

        法一:分段求各部分的最小值,再比較。

        當(dāng)x≥a時(shí),如圖1所示。若a≥,即a≥0,f(x)的最小值在x=a處取得,f(x)min=f(a)=2a2;若a<,即a<0,f(x)的最小值在

        x=處取得,f(x)min=f()=a2;

        當(dāng)x≤a時(shí),如圖2所示。若a≥-a,即a≥0,f(x)的最小值在

        x=-a處取得,f(x)min=f(-a)=-2a2;若a<-a,即a<0,f(x)的最小值在x=a處取得,f(x)min=f(a)=2a2。

        這種方法是大部分學(xué)生所喜歡采用的方法,可是做到這里之后就結(jié)束了,不知道或不會(huì)綜合,難以寫出最終答案。由于f(x)分段,故需比較各段上的最小值,可以通過畫數(shù)軸的方法得出最后的結(jié)論。

        當(dāng)a<0時(shí),a2<2a2,f(x)min=f()=a2;

        當(dāng)a≥0時(shí),2a2>-2a2,f(x)min=f(-a)=-2a2.

        綜上,f(x)min=a2,a<0

        -2a2,a≥0

        法二:討論a的位置,畫出完整的對(duì)接圖形,由圖直接得出最小值。由于對(duì)稱軸是,-a,它們與a的分界點(diǎn)為a=0。若不能直接得到,則令=a,-a=a,找到分界點(diǎn)a=0。一般有兩個(gè),此題較特殊,只有一個(gè)。

        當(dāng)a≥0時(shí),

        當(dāng)a<0時(shí),

        由圖3可知,當(dāng)a≥0時(shí),f(x)min=f(-a)=-2a2;當(dāng)a<0時(shí),f(x)min=

        f()=a2.

        (a的取值范圍與對(duì)稱軸比較大小時(shí),可在范圍內(nèi)任取一個(gè)看大?。?/p>

        這兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn),各位同學(xué)可以根據(jù)自己掌握的情況選擇一種方法重點(diǎn)掌握。利用你所掌握的方法試著解這道題目:求g(x)=x2+x-a+1的最小值。

        (作者單位 江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué))

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