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        透析“點(diǎn)差法”

        2013-07-29 06:51:00楊鳳萍
        新課程學(xué)習(xí)·中 2013年5期
        關(guān)鍵詞:差法傾斜角原點(diǎn)

        楊鳳萍

        所謂“點(diǎn)差法”是設(shè)圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入圓錐曲線方程,再作差。這種方法可速解以下三個(gè)重要題型。

        題型1:已知弦中點(diǎn)坐標(biāo),求弦所在的直線方程

        例1.設(shè)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)x在軸上,且離心率為的橢圓與直線l交與A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M(1,2)為,求直線l的方程.

        解:由橢圓的離心率e=可設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2

        設(shè)直線l與橢圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)代入橢圓方程得x12+2y12=2b2

        x22+2y22=2b2

        兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0

        ∴kAB==,又A,B中點(diǎn)為M(2,1)

        ∴=2 =1 ∴kAB=-1

        ∴l(xiāng)的方程為y-1=-(x-2) 即x+y-3=0

        題型2:已知弦所在的直線的斜率,求弦中點(diǎn)的軌跡方程

        例2.已知傾斜角為的直線交橢圓+y2=1與A,B兩點(diǎn),求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

        解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)代入橢圓方程得x12+4y12=4

        x22+4y22=4

        兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

        因直線AB的傾斜角為,∴kAB=1

        ∴kAB==-=1

        設(shè)AB的中點(diǎn)M(x,y),則x=,y=

        代入上式得-=1,∴x+4y=0(橢圓內(nèi)部的部分)

        題型3:已知弦所在的直線的斜率和弦中點(diǎn)的坐標(biāo),求圓錐曲線的方程

        例3.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上且它的一條弦

        所在的直線方程為y=2x+5,弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        解:設(shè)弦中點(diǎn)M(-3,y),代入直線方程為y=2x+5得y=2×(-3)+5=-1,即M(-3,-1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=ax,設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)則=2,y1+y2=-2,y12=ax1,y22=ax2.

        兩式相減得(y1-y2)(y1+y2)=a(x1-x2),∴a=(y1+y2)=2×(-2)=

        -4,y2=-4x.

        總評(píng):“點(diǎn)差法”解決的幾個(gè)題型充分體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想,使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

        (作者單位 河南省信陽(yáng)市新縣高級(jí)中學(xué))

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