郭宗易，郭建國，周軍

（西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，陜西西安 710072）

0 引言

平流層浮空器運(yùn)行在平流層空域內(nèi)，其獨(dú)特的特性使得浮空器在通信、遙感觀測(cè)、運(yùn)輸、監(jiān)控和軍事偵查等方面具有廣闊的應(yīng)用前景，已經(jīng)成為新一輪的研究熱點(diǎn)［1-6］。

文獻(xiàn)［7］建立了一般浮空器模型；文獻(xiàn)［8］建立了浮空器俯仰角姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，使用離散滑模變結(jié)構(gòu)方法設(shè)計(jì)控制律，但沒有考慮氣囊變化；文獻(xiàn)［9］建立了浮空器姿態(tài)模型，采用自適應(yīng)滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，沒有考慮氣囊運(yùn)動(dòng)和質(zhì)量變化；文獻(xiàn)［10］推導(dǎo)了帶有升降氣囊和質(zhì)量塊的浮空器模型，但沒有進(jìn)行姿態(tài)控制。

本文針對(duì)平流層浮空器，詳細(xì)分析了其受力和力矩，建立了帶有多氣囊的動(dòng)力學(xué)模型方程，并利用積分變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)其控制律。

1 動(dòng)力學(xué)建模

本文的研究工作基于以下三點(diǎn)假設(shè):

（1）浮空器的體積中心與浮力中心重合；

（2）視浮空器和氣囊為剛體，忽略其彈性效應(yīng)；

（3）浮空器所處的空氣條件是穩(wěn)定的，即沒有溫度、氣壓等條件的突變。

以上三點(diǎn)假設(shè)是合理的，也是目前國內(nèi)外研究工作中普遍采用的簡(jiǎn)化方法［8］。

1.1 外力和外力矩

如圖1所示，Oxyz為機(jī)體坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于浮空器體心O，浮心與體心重合，質(zhì)心在浮心正下方。

圖1 浮空器結(jié)構(gòu)和機(jī)體坐標(biāo)系Fig.1 Structure and body coordinate of airship

在機(jī)體坐標(biāo)系中，浮空器所受總外力FΣ和總外力矩MΣ可表示為:

式中，R1為速度坐標(biāo)系與機(jī)體系之間的轉(zhuǎn)換矩陣；R2為慣性系到機(jī)體系的轉(zhuǎn)換矩陣；其他各參數(shù)的意義和計(jì)算如下:

（1）流體慣性力FI和流體慣性力矩MI

與傳統(tǒng)飛行器相比，浮空器具有很大的體積/質(zhì)量比，在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，其慣性特性不能忽略，因此必須考慮其所受的流體慣性力［11］。

浮空器受到的流體慣性力和流體慣性力矩為:

式中，B和K分別為浮空器動(dòng)量和動(dòng)量矩；ω=［p，q，r］T為浮空器在機(jī)體坐標(biāo)系中的角速度；V為飛行速度，且V=［u，v，w］T。

（2）氣動(dòng)力FA和氣動(dòng)力矩MA

浮空器受到的空氣作用可歸并為作用于體心的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩:

式中，Q=0.5ρV2為動(dòng)壓；ρ為空氣密度；Λ為浮空器體積；Cx，Cy，Cz分別為軸向、側(cè)向和法向氣動(dòng)力系數(shù)；Cl，Cm，Cn分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航氣動(dòng)力矩系數(shù)。

（3）浮力FB和浮力矩MB

浮空器所受浮力由其體積排開的空氣產(chǎn)生，即:

式中，g為重力加速度。

浮力作用于機(jī)體坐標(biāo)系原心，不產(chǎn)生力矩，即:

（4）重力FG和重力矩MG

浮空器所受重力為:

浮空器所受重力矩為:

式中，rJ=［xJ，yJ，zJ］T和rBi（i=1，2，…，N）分別為機(jī)體質(zhì)心和各氣囊質(zhì)心在機(jī)體坐標(biāo)系中的位置向量。

（5）推力FT和推力矩MT

平流層浮空器由直流發(fā)動(dòng)機(jī)帶動(dòng)螺旋槳產(chǎn)生推力，其推力與飛行速度和發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速有關(guān):

浮空器的發(fā)動(dòng)機(jī)沿Ox軸安裝于浮空器尾部，推力沿Ox軸方向。所以浮空器所受推力矩為:

1.2 動(dòng)量和動(dòng)量矩

在機(jī)體坐標(biāo)系，機(jī)體動(dòng)量為:

式中，vJ為機(jī)體的絕對(duì)速度。

浮空器機(jī)體的動(dòng)量矩為:

式中，JJ為機(jī)體質(zhì)量mJ在機(jī)體系的慣性矩陣。

在機(jī)體坐標(biāo)系，氣囊的動(dòng)量為:

式中，vBi（i=1，2，…，N）為氣囊的絕對(duì)速度。

氣囊的動(dòng)量矩為:

1.3 動(dòng)力學(xué)模型

浮空器的總動(dòng)量和動(dòng)量矩為:

考慮到飛艇升降過程中氣囊充放氣，所以各氣囊質(zhì)量并不恒定，質(zhì)心也不斷變化。若對(duì)式（14）求導(dǎo)則可求得FΣ和MΣ:

綜合計(jì)算式（10）～式（15），可以得到帶有質(zhì)量塊浮空器的動(dòng)力學(xué)方程為:

其中:

由式（16）可以看出，力Fm和力矩Mm由氣囊的質(zhì)量變化和非定常運(yùn)動(dòng)引起，這是由于帶有多氣囊的浮空器本質(zhì)是一個(gè)多體系統(tǒng)，內(nèi)部氣囊自身質(zhì)量變化和運(yùn)動(dòng)以及和機(jī)體相互作用產(chǎn)生了附加力和附加力矩，這導(dǎo)致浮空器模型變得復(fù)雜。如果認(rèn)為各氣囊質(zhì)量恒定且質(zhì)心不變，即=0Bi=0，那么模型（16）將變?yōu)槿缥墨I(xiàn)［12］的普通浮空器模型。

2 控制律設(shè)計(jì)

考慮俯仰通道模型，那么側(cè)向參數(shù)均為零。假設(shè)通過合理配置浮空器質(zhì)量分布，可以保證機(jī)體的質(zhì)心和氣囊位置始終在縱向平面內(nèi)。令:

式中，rB為浮空器所有氣囊的平均質(zhì)心位置。

一般取在某特征點(diǎn)處進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，此時(shí)u=U0，w=W0，可以得到俯仰通道姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程:

其中:

這里認(rèn)為D為干擾，實(shí)際運(yùn)動(dòng)中，氣囊運(yùn)動(dòng)位移、速度和加速度均有限，所以D有界。

變結(jié)構(gòu)控制方法具有良好的動(dòng)態(tài)性能和強(qiáng)魯棒性，工程實(shí)現(xiàn)容易［13］。所以本文采用此種方法來針對(duì)所研究的浮空器姿控模型設(shè)計(jì)控制律。

定理1:對(duì)于如式（19）的系統(tǒng)，如果滿足條件

在俯仰舵偏控制律

的作用下，系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)俯仰角指令的穩(wěn)定跟蹤。

證明:設(shè)期望俯仰角為θc，那么定義指令跟蹤誤差e=θ－θc。取滑模超平面

對(duì)Lyapunov函數(shù)V=s2/2求導(dǎo)得:

代入控制律式（21）和Cm，則有:

只要滿足式（20）即有:

式中，k和η為正數(shù)，所以＜0，于是由Lyapunov定理可知系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。

另一方面，滑模超平面上滿足=0，所以對(duì)s求導(dǎo)得:

根據(jù)霍爾維茨（Hurwitz）準(zhǔn)則，可以通過配置c1和c2的值來保證，隨著時(shí)間t→∞，跟蹤誤差e→0，實(shí)現(xiàn)了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定跟蹤。證畢。

注1:對(duì)于不加積分項(xiàng)的變結(jié)構(gòu)控制律，一般取其超平面為s=+ce。要獲得精確的指令跟蹤，必須保證達(dá)到s=0平面，而從式（26）的證明可以看出，本文設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制律只須使得=0，就可以保證有限時(shí)間內(nèi)跟蹤誤差的收斂為零。

3 仿真研究

以文獻(xiàn)［2］提供的平流層浮空器數(shù)據(jù)為例:初始俯仰角θ0= －3°；期望俯仰角θc=3°；俯仰舵偏限幅［－20°，20°］；限速率［－20，20］/（°）·s－1；大氣密度拉偏范圍為－15% ～15%；法向力、軸向力和側(cè)向力系數(shù)拉偏范圍分別為－15% ～15%，－20% ～20%和－15% ～15%；氣動(dòng)力矩系數(shù)拉偏范圍為－30%～30%。在Matlab/Simulink環(huán)境下進(jìn)行數(shù)字仿真，比較變結(jié)構(gòu)控制律加入積分項(xiàng)前后控制效果，結(jié)果如圖2～圖4所示。

圖2 標(biāo)稱情況俯仰角和俯仰舵偏變化曲線Fig.2 Behaviour of pitch angle and rudder in nominal condition

圖3 正拉偏情況俯仰角和俯仰舵偏變化曲線Fig.3 Behaviour of pitch angle and rudder in positive condition

圖4 負(fù)拉偏情況俯仰角和俯仰舵偏變化曲線Fig.4 Behaviour of pitch angle and rudder in negative condition

對(duì)以上的仿真結(jié)果曲線進(jìn)行分析可得到以下結(jié)論:

（1）控制律加入積分項(xiàng)前，俯仰角調(diào)節(jié)時(shí)間較長，超調(diào)量較大，俯仰舵偏變化較劇烈。加入積分項(xiàng)之后，浮空器的姿態(tài)在各種情況下，50 s以內(nèi)均可以收斂到期望的跟蹤俯仰角，調(diào)節(jié)時(shí)間較短；標(biāo)稱和負(fù)拉偏情況下超調(diào)量為零，正拉偏情況超調(diào)量很小，動(dòng)態(tài)性能得到很大改善，俯仰舵偏的變化也較為平滑。

（2）仿真考慮了俯仰舵偏的限幅和限速率，在標(biāo)稱和正負(fù)拉偏情況下均可以實(shí)現(xiàn)俯仰角和俯仰舵偏的快速精確收斂。這說明設(shè)計(jì)的控制器具有良好的魯棒性和適應(yīng)性。

4 結(jié)束語

浮空器的動(dòng)力學(xué)方程由于多氣囊的運(yùn)動(dòng)和質(zhì)量變化而變得復(fù)雜，而本文針對(duì)此問題采用積分變結(jié)構(gòu)控制方法，使用Lyapunov理論證明其穩(wěn)定性，而且通過仿真分析比較了加入積分項(xiàng)前后的控制效果，驗(yàn)證了這種控制律具有良好的魯棒性和動(dòng)態(tài)性能，而這種控制律會(huì)隨著我國浮空器技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展而獲得更大應(yīng)用。

［1］Ferguson D C，Hillard G B.Paschen considerations for high altitude airships［R］.AIAA-2004-1260，2004.

［2］Mueller J B，Paluszek M A，Zhao Yiyuan，et a1.Development of an aerodynamic model and control law design for a high altitude airship［C］∥AIAA 3rd Unmanned Unlimited Technical Conference，Workshop and Exhibit.Chicago，Illinois，2004:2-17.

［3］Colozza A，Dolce J L.High-altitude，long-endurance airships for coastal surveillance［R］.NASA-TM-2005-213427，2005.

［4］Lambert C.Developing architectures for high altitude airships［R］.AIAA-2003-6781，2003.

［5］Khoury G A，Gillett J D.Airship Technology［M］.UK:Cambridge University Press，1999:28-33.

［6］Griffin D K，Swinyard B M，Sidher，et al.Feasibility study of a stratospheric airship observatory［C］//Proceeding of SPIE.2003:227-238.

［7］Gomes V B，Ramos J G.Airship dynamic modeling for autonomous operation［C］//Proceedings of the 1998 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Belgium:IEEE，1998:3462-3467.

［8］方存光，王偉.自主飛艇俯仰角姿態(tài)動(dòng)力學(xué)建模及控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2004，21（2）:231-238.

［9］郭建國，周軍.基于滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自主飛艇姿態(tài)［J］.飛行力學(xué)，2009，27（1）:40-42.

［10］Cai Zili，Qu Weidong，Xi Yugeng.Dynamic modeling for airship equipped with ballonets and ballast［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2009，26（8）:1072-1082.

［11］Tuckerman L B.Inertia factors of ellipsoids for use in airship design［R］.NACA Report No.210，1925.

［12］Ouyang J.Research on modeling and control of an unmanned airship（in Chinese）［D］.Ph.D.Thesis，Shanghai Jiaotong University，Shanghai，China，2003.

［13］高為炳.變結(jié)構(gòu)控制理論基礎(chǔ)［M］.北京:中國科學(xué)技術(shù)出版社，1998:241-273.