劉小鳳，吳艷蘭，胡 海

1.武漢大學(xué) 資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2.安徽大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，安徽 合肥 230601

面狀要素的骨架線是對(duì)面狀地物主體形狀的抽象描述，它反映了面狀地物的主延伸方向和主體形狀特征，在GIS中有著非常重要的應(yīng)用，如在制圖綜合中雙線河流的簡化、面狀地物注記的自動(dòng)配置、多邊形合并及其他空間分析［1］。此外，柵格骨架線還可以用于柵格數(shù)據(jù)的壓縮［2］。

面狀要素骨架線的提取算法通常有基于矢量方式和柵格方式兩類方法。其中基于矢量方式的代表算法有平行線切割中點(diǎn)連線法［3］、Delaunay三角網(wǎng) 法［4－5］、Voronoi圖 法［6－9］和 曲 率 計(jì) 算 法［10］等。平行線切割中點(diǎn)連線法是最簡單、最直觀的求取骨架線的方法，但是它只能處理一些簡單的多邊形，對(duì)于復(fù)雜的多邊形（如有島多邊形），處理起來比較困難。Delaunay三角網(wǎng)法的基本原理是：通過對(duì)多邊形邊界上的離散特征點(diǎn)建立Delaunay三角網(wǎng)，并連接各相鄰的三角形外接圓圓心（或內(nèi)接圓圓心）作為多邊形的骨架線。該法僅能得到近似骨架線，并且，當(dāng)應(yīng)用于平行的輪廓如街道，所得到的中軸線存在很多“鋸齒”［11］。基于Voronoi圖的骨架線提取法主要利用的是Voronoi圖與中軸之間的密切關(guān)系［12］，即多邊形邊界的Voronoi圖界線即為到不同邊界元素等距點(diǎn)的軌跡。文獻(xiàn)［12］論證了二維Voronoi圖和骨架線（中軸線）的各自特征，并給出了二者在凸多邊形、簡單多邊形等不同情況下的相互關(guān)系及證明。Voronoi圖法與中軸的最大不同在于：Voronoi法中，多邊形邊界的劃定將直接影響到骨架線提??；中軸線則是邊界元素的內(nèi)接圓的圓心軌跡，中軸線的構(gòu)建對(duì)于邊界元素的分段的變化不敏感，僅依賴于邊界元素的幾何形狀。當(dāng)Voronoi法應(yīng)用于完全由直線段構(gòu)成的凸多邊形時(shí)，由于其邊界劃定明確、且往往與邊界元素的圖形幾何形態(tài)一致，此時(shí)的多邊形邊界Voronoi圖界線與中軸（骨架線）是完全相等的［12］。對(duì)于含復(fù)雜曲邊、邊界劃分不明確的多邊形，如何合理劃分多邊形邊界是該類方法的關(guān)鍵和難點(diǎn)［7，13］。曲率計(jì)算法是利用幾何學(xué)原理設(shè)計(jì)的算法，由于無限曲率的存在，容易導(dǎo)致所提取的骨架線與原圖形存在拓?fù)洳煌瑯?gòu)?；跂鸥穹绞降姆椒òㄓ镁嚯x 變 換 法 搜 尋 中 軸 線 法［14－15］、經(jīng) 典 細(xì) 化 算法［16］、邊緣跟蹤剝皮法［17］、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法［2］等?；跂鸥竦墓羌芫€提取方法具有處理數(shù)據(jù)速度快、內(nèi)存需求少和適應(yīng)性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。此外，還有其他算法，例如改進(jìn)的 Douglas－Peucker算法［18］、基于內(nèi)側(cè)緩沖區(qū)算法［19］，通過對(duì)不規(guī)則多邊形進(jìn)行三角切割的多邊形骨架線的方法［20］。

現(xiàn)有的骨架線提取方法各有優(yōu)點(diǎn)，但存在的普遍問題有：① 骨架線未能延長到邊［10，16］；② 所提取的骨架線與原圖形存在拓?fù)洳煌瑯?gòu)［10］；③ 所提取的骨架線含有許多不必要的分支，即有毛刺［21］，難 以 根 據(jù) 需 要 只 提 取 主 骨 架 線［6，16］；④ 難以提取多層次骨架線［10，20－21］等。

針對(duì)上述問題，本文提出一種面狀要素的多層次骨架線提取方法。主要利用雙緩沖變換所具有的“保凹”、“保平”、“減凸”特性識(shí)別面狀要素多邊形的彎曲單元，再通過障礙距離變換提取彎曲單元的頂點(diǎn)，并以這些彎曲頂點(diǎn)打斷多邊形邊界，最后通過對(duì)分段后的多邊形邊界線建立Voronoi圖，得到面狀要素的骨架線。該方法一方面解決了Voronoi圖的多邊形邊界分段難點(diǎn)問題，另一方面可以通過控制雙緩沖變換尺度L實(shí)現(xiàn)不同級(jí)別和密度的骨架線提取，從而得到主次分明的多層次骨架線，符合骨架線所具有的多層次特性。

1 方法原理

1.1 骨架線定義及特性分析

所謂骨架線（skeleton），是指用與原形狀的連通性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相一致的細(xì)曲線作為理想表達(dá)的一種對(duì)象表示。簡單地說，就是位于物體內(nèi)部的，并能體現(xiàn)其形狀特征的簡化圖形，它具有描述形狀凸出的分支部分，也具有描述形狀內(nèi)部空洞的環(huán)狀部分［22］。物體形態(tài)的骨架解釋有許多模型，最簡單直觀的方法是火燒模型［23］，常用的描述方法還有距離曲面脊線模型和最大圓盤幾何中心模型。

骨架線是圖像幾何形態(tài)的一種重要的拓?fù)涿枋觯梢恍┍砻魑矬w大致形狀的細(xì)線組成。利用骨架線表示原始圖像，可以在保持圖像重要拓?fù)涮卣鞯那疤嵯?，減少圖像中的冗余信息。在理論和實(shí)際應(yīng)用中，骨架線具有以下特征。

（1）拓?fù)湟恢滦裕?4］：骨架線與原圖形形狀在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上保持一致，它能夠反映原圖形形狀拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和空間位置的相關(guān)信息，二者具有同態(tài)等價(jià)的關(guān)系。

（2）重建性［23］：骨架線反映了原圖形的主延伸方向和主體形狀特征，因此，利用骨架線，再結(jié)合骨架線到原圖形邊界的距離，可以實(shí)現(xiàn)原始圖形的重構(gòu)。

（3）對(duì)稱性［25］：骨架線即中軸線，任意點(diǎn)到原圖形兩邊邊界的距離相等。

（4）層次性：由于圖形的形狀具有層次結(jié)構(gòu)特征，骨架線的識(shí)別與觀察尺度有關(guān)，在不同尺度下，可以得到不同的骨架線，并且，它們構(gòu)成層次關(guān)系。

1.2 相關(guān)變換

在此，首先介紹本文方法所涉及的兩個(gè)主要變換：雙緩沖變換和障礙距離變換。

1.2.1 雙緩沖變換

雙緩沖變換是一組綜合操作算法，主要包括內(nèi)、外緩沖變換。即先對(duì)原始多邊形A（圖1（a））向內(nèi)進(jìn)行尺度為L的緩沖變換得到多邊形B（圖1（b）），再對(duì)多邊形B向外進(jìn)行尺度為L的外緩沖變換得到多邊形C（圖1（c）），最后將多邊形C與原始多邊形A進(jìn)行疊加，并截取多邊形的凸出部分，即彎曲單元（圖1（d））。

圖1 雙緩沖變換分解示意圖Fig.1 Illustration of double buffering transform

經(jīng)過雙緩沖變換之后，圖形的形態(tài)變化具有如下特征：

（1）“保凹”、”保平”、”減凸”，變換前后，總體上圖形的大形態(tài)不變，及凹陷部分和直線部分的形態(tài)無變化，即“保凹”、“保平”。而圖形的凸出部分趨于光滑，即“減凸”。

（2）“保凹”、“保平”、“減凸”的程度可控，它由雙緩沖變換的寬度L控制。

（3）由于凹凸相對(duì)，改變內(nèi)外緩沖變換的順序，可以得到曲線兩側(cè)的彎曲單元。

1.2.2 障礙距離變換

距離變換的概念首先是由Rosenfeld和Pfalt于1966年引入，它是一種計(jì)算并標(biāo)識(shí)各空間像元到最近實(shí)體像元的距離的變換。障礙距離變換（distance transformation with obstacles，DTO）是距離變換的一種特殊類型，即在障礙空間中的距離變換，其距離需要繞過障礙物進(jìn)行傳播或累積。目前，DTO生成方法有很多種［26］，本文主要利用地圖代數(shù)DTO生成方法，用來提取彎曲單元的頂點(diǎn)。以彎曲基線為生成元、以彎曲單元內(nèi)部區(qū)域?yàn)樽儞Q空間、彎曲單元的外部區(qū)域?yàn)檎系K（圖2（a）），進(jìn)行障礙距離變換（圖2（b）），并提取距離圖中距離最大值點(diǎn)，即多邊形彎曲單元的頂點(diǎn)（圖2（c））。

圖2 彎曲頂點(diǎn)的提取Fig.2 Extraction of the vertex of the bend

2 具體實(shí)現(xiàn)及試驗(yàn)結(jié)果

本文方法采用Visual Studio 2008編程和ArcGIS 9.3來實(shí)現(xiàn)，主要包括骨架線提取和多層次骨架線結(jié)構(gòu)化兩大步驟，如圖3所示。

圖3 提取多層次骨架線的流程圖Fig.3 Flow chart of extracting multiscale skeletons for polygonal shapes

2.1 骨架線的提取

本文方法的核心是某尺度L的多邊形骨架線提取。在此，以國家基礎(chǔ)地理信息1∶400萬湖泊數(shù)據(jù)中的某一多邊形（圖4（a））為例，說明具體的提取步驟：

（1）對(duì)原始多邊形進(jìn)行雙緩沖變換，即先對(duì)多邊形區(qū)域進(jìn)行尺度為L的內(nèi)緩沖變換，再進(jìn)行相同尺度的外緩沖變換，將得到的多邊形與原始多邊形進(jìn)行裁剪，獲得多邊形彎曲單元（圖4（b））。

（2）設(shè)置適當(dāng)?shù)幕弑龋ㄗⅲ夯弑龋?7］可定義為凸多邊形的面積A與多邊形凸出線相對(duì)的那條邊的長度BL的比值，即D＝A／BL），并以該基高比剔除狹長彎曲單元，即計(jì)算和判定每個(gè)彎曲單元的基高比D是否大于設(shè)定的閾值d，若大于，則保留（圖4（c）），否則舍去。

（3）對(duì)所保留下來的每個(gè)彎曲單元分別進(jìn)行障礙距離變換，并取得障礙距離的最大值P為彎曲單元的頂點(diǎn)Pi（圖4（d））。

（4）用彎曲頂點(diǎn)Pi打斷多邊形的邊界，得到打斷的多邊形邊界線，再建立分段的多邊形邊界線的Voronoi圖（圖4（e）），提取Voronoi圖邊界線即為該尺度下的多邊形的骨架線（圖4（f））。

（5）改變雙緩沖變換L值，重復(fù)步驟（1）～（4），可以得到不同尺度下的多層次骨架線。圖5為將雙緩沖變換寬度L分別設(shè)為10.5km、10km、5km、1.1km（對(duì)應(yīng)記為L1、L2、L3、L4），所得到的多層次多邊形骨架線。

圖4 某一尺度下的骨架線提取分解圖Fig.4 Schemes of skeleton extraction with a scale L

2.2 多層次骨架線的結(jié)構(gòu)化組織

觀察圖5中的多尺度骨架線可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)同一圖形，較大變換尺度對(duì)應(yīng)于圖形的主要骨架線，代表著圖形的主體形態(tài)。隨著變換尺度L的減小，所提取的多邊形骨架線越來越精細(xì)。并且，較小變換尺度下的骨架線包含了所有在此之上的較大變換尺度下的骨架線。也即，骨架線在不同尺度的重合次數(shù)可以代表骨架線的主次性。

利用該規(guī)律，本文進(jìn)一步對(duì)所得到的多尺度骨架線進(jìn)行結(jié)構(gòu)化組織，具體步驟如下：

（1）將不同變換尺度Li下的骨架線分別二值化處理，即將骨架線上的像元賦為1，背景像元賦為0。

（2）將這些骨架線二值圖進(jìn)行疊加運(yùn)算，即對(duì)應(yīng)像元的像元值進(jìn)行和運(yùn)算，從而利用骨架線在各變換尺度中的重復(fù)次數(shù)來表示骨架線像元的權(quán)值，權(quán)值越大，則說明該骨架線處于主要層次。如圖6中的權(quán)值為4的像元，表示在4個(gè)變換尺度都出現(xiàn)的骨架線像元，它們代表著該圖形的主體骨架。而權(quán)值為1的像元，表示在4個(gè)變換尺度中只出現(xiàn)過一次的骨架線像元，它們代表著圖形的最細(xì)微骨架。

圖5 某湖泊多邊形（1∶400萬）的多尺度骨架線的提取Fig.5 Multiscale skeletons extracted from a polygon in the 1∶4 000 000lake map

圖6 1∶400萬湖泊多邊形多層次骨架線結(jié)構(gòu)化Fig.6 Structured schemes of multi－scale skeletons extracted from a polygon in the 1∶4 000 000 lake map

3 方法特性分析

方法的通用性：傳統(tǒng)骨架線提取方法并非對(duì)所有多邊形都適用［16］。與現(xiàn)有方法相比，本文方法除了能夠有效提取湖泊等復(fù)雜多邊形的骨架線之外，而且對(duì)于簡單多邊形和含島洞等復(fù)雜多邊形也同樣適用（圖5、圖7～圖10）。

骨架線提取層次的可控性：本文中提取的多邊形骨架的層次和密度可以通過雙緩沖變換寬度來控制，雙緩沖變換尺度L越小，所選取的彎曲單元越多，則得到的骨架線分支越多越精確（圖5和圖10）。

抗噪性：一些方法提取的骨架線易受到邊界噪聲的干擾，容易出現(xiàn)毛刺［13，28］。對(duì)此，本文方法可以通過控制基高比閾值d來剔除細(xì)小的彎曲單元，以此避免提取結(jié)果不受圖形邊界噪聲的影響（圖5和圖9）。

拓?fù)湟恢滦裕阂恍﹤鹘y(tǒng)方法難以處理曲率無限的情況，對(duì)于這種問題，文獻(xiàn)［10］根據(jù)計(jì)算機(jī)輔助幾何原理設(shè)計(jì)一序列算法來解決無限曲率附近的中軸點(diǎn)提取問題，從而使得中軸保持拓?fù)湟恢隆Ｈ鐖D10（c）所示，本文方法對(duì)于曲率無限多邊形，能夠直接提取其骨架線，不用進(jìn)行進(jìn)一步處理，且方法簡單有效，并可保持骨架線拓?fù)湟恢滦浴?/p>

層次組織具有宏觀性：目前對(duì)骨架線的研究多是針對(duì)多邊形骨架線的提取，而多邊形骨架線本身具有多層次性，目前研究多層次骨架線的文獻(xiàn)甚少，代表性的有文獻(xiàn)［29］提出的顧及多因素的面狀目標(biāo)多層次骨架線提取，骨架線層次結(jié)構(gòu)化采用的是二叉樹的表達(dá)形式，結(jié)構(gòu)化原理類似水系的SHREVE分級(jí)方法。該方法雖然分出骨架線的層次，但是所有骨架線均被節(jié)點(diǎn)打斷，不能滿足從宏觀上識(shí)別目標(biāo)的主骨架線的需要。本文的層次劃分與河網(wǎng)層次的劃分不同，不是簡單地依據(jù)節(jié)點(diǎn)打斷線，在宏觀結(jié)構(gòu)上沒有破壞骨架線的整體性，因而能從宏觀上識(shí)別目標(biāo)的主骨架線，如圖6所示。

旋轉(zhuǎn)不變性：傳統(tǒng)方法中，尤其是利用幾何算法、模板來提取骨架線的方法，一旦圖形發(fā)生旋轉(zhuǎn)或者相對(duì)坐標(biāo)發(fā)生變化，則提取的骨架線也會(huì)發(fā)生變化［13］。如圖11（c）所示，本文方法提取的骨架線不受圖形旋轉(zhuǎn)的影響，具有旋轉(zhuǎn)不變性。

形態(tài)特征保持性：利用雙緩沖變換對(duì)圖形形態(tài)的保持能力，本文方法能夠在算法中一定程度上考慮面狀地理現(xiàn)象的走向和分布因素，使得提取結(jié)果能夠保持多邊形的形態(tài)特征，符合視覺感受結(jié)果。例如，對(duì)于圖5中的1∶400萬某湖泊多邊形數(shù)據(jù)，隨著雙緩沖變換寬度L，本文方法可以得到不同觀察尺度下的多邊形骨架線?？梢钥吹?，變換尺度L1＝10.5km所對(duì)應(yīng)的骨架線反映了該湖泊多邊形的主體走向。而圖7（c）的骨架線呈現(xiàn)出一個(gè)大致圓心、且各方向骨架線分支的長度大致相等的形態(tài)，由此可判斷該多邊形的形態(tài)分布近似為圓形。圖11則說明該方法提取結(jié)果反映了原多邊形的葉形分布特性。

圖7 簡單多邊形的骨架線提取Fig.7 Skeleton extraction of a simple polygon

圖8 含島洞多邊形的骨架線提取Fig.8 Skeleton extraction of a polygon with a hole

圖9 含噪聲邊緣的多邊形提取Fig.9 Skeleton extraction of a polygon with noisy error in boundary

圖10 無限曲率的多邊形提取Fig.10 Skeleton extraction of an infinite curvature polygon

圖11 帶旋轉(zhuǎn)的圖形的骨架線提取Fig.11 Skeleton extraction of rotating leaf shapes

4 結(jié) 論

本文利用雙緩沖變換和障礙距離變換，提出一種面狀地物的多層次骨架線提取方法，主要通過控制雙緩沖變換尺度來控制彎曲單元的大小和密度，從而提取不同密度和層次的骨架線。與現(xiàn)有方法相比，本文方法具有良好的通用性，能有效提取含直邊、曲邊的簡單多邊形的骨架線，也同樣適用于含島洞的復(fù)雜多邊形。并且，該方法不受邊界噪聲的干擾，所提取的骨架線具有良好的連通性、準(zhǔn)確性和拓?fù)湟恢滦?，不受圖形旋轉(zhuǎn)的影響。本文方法的最顯著特點(diǎn)是能夠提出多邊形的多層次骨架線，可應(yīng)用于面狀要素的多尺度形態(tài)特征識(shí)別和相似性匹配等方面。后續(xù)工作將研究如何將本文方法應(yīng)用于地圖綜合中的多邊形綜合效果評(píng)價(jià)問題。

［1］ WU Hehai.Map Generalization Theory and Techniques［M］.Beijing：Publishing House of Surveying and Mapping，2004.（毋河海.地圖綜合理論基礎(chǔ)與技術(shù)方法研究［M］.北京：測繪出版社，2004.）

［2］ DU Shihong，DU Daosheng.A New Raster Based Algorithm for Extracting Main Skeleton Line of Polygon［J］.Journal of Wuhan Technical University of Surveying and Mapping，2000，25（5）：432－436.（杜世宏，杜道生.基于柵格數(shù)據(jù)提取主骨架線的新算法［J］.武漢測繪科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，25（5）：432－436.）

［3］ DU Ruiying，LIU Jingnian.A Research on Automatic Placement of Geo－Name in Area Feature ［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，1999，28（4）：365－368.（杜瑞穎，劉鏡年.面狀地物名稱注記的自動(dòng)配置研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，1999，28（4）：365－368.）

［4］ FRANZ A.Weighted Skeletons and Fixed Share Decomposition［J］.Computational Geometry，2008，40（2）：93－101.

［5］ SHAMIR A，SHAHAN A.Skeleton Based Solid Representation with Topology Preservation［J］.Graphical Models，2006，68（3）：307－321.

［6］ XU Limin，XUE An.Terrain Reconstruction from Contours by Skeleton Extraction Using Delaunay Triangulation and Voronoi Diagram［J］.Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis，2009，45（4）：43－48.（許麗敏，薛安.基于 Delaunay三角網(wǎng)與Voronoi圖聯(lián)合提取等高線骨架的地形重建算法研究［J］.北京大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，45（4）：43－48.）

［7］ OGNIEWICZ R L，KUBLER O.Hierarchic Voronoi Skeletons［J］.Pattern Recognition，1995，28（3）：343－359.

［8］ MAYYA N，RAJAN V T.Voronoi Diagrams of Polygons：A Framework for Shape Representation［C］∥Proceedings of 1994IEEE Computer Society Conference.［S.l.］：IEEE，1994.

［9］ OGNIEWICZ R，ILG M.Voronoi Skeletons：Theory and Applications［C］∥Proceedings of 1992IEEE Computer Society Conference.［S.l.］：IEEE，1992.

［10］ CHANG Yonghan，SONG Hwakwon，CHOI Hyeongin.Media Axis Transform of a Planar Domain with Infinite Curvature Boundary Points［J］.Computer Aided Geometric Design，2012，52（4）：147－153.

［11］ HU Peng，WANG Haijun，SHAO Chunli，et al.Polygon Medial Axis Problem and the Algorithm ［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2005，30（10）：853－857.（胡鵬，王海軍，邵春麗，等.論多邊形中軸問題和算法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2005，30（10）：853－857.）

［12］ DU Yongqiang，WANG Xiao，LIU Huixia.Character Differentiating between Voronoi Diagram and Medial Axis of Polygon ［J］.Computing Technology and Automation，2005，24（3）：60－62.（杜永強(qiáng)，王霄，劉會(huì)霞.二維 Voronoi圖和中軸的特征區(qū)分［J］.計(jì)算技術(shù)與自動(dòng)化，2005，24（3）：60－62.）

［13］ ANDRES S M，JOCHEN L.Skeleton Pruning by Contour Approximation and the Integer Media Axis Transform［J］.Computers and Graphics，2012（4）：151－159.

［14］ FRANK Y S，CHRISTOPHER C P.A Skeletonization Algorithln by Maximal Tracking on Euclidean Distance Transform ［J］.Pattern Recognition，1995，28（3）：331－341.

［15］ GE Y.On the Generation of Skeletons from Discrete Euclidean Distance Maps［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1996，11（18）：1055－1066.

［16］ GUO Bangmei，WANG Tao.Research on Algorithm of Polygon Skeleton Line Extracting［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2010，17（12）：17－19，53.（郭邦梅，王濤.面狀要素骨架線提取算法的研究.測繪通報(bào)，2010，17（12）：17－19，53.）

［17］ LI Xiaojun，F(xiàn)ANG Jianglong，JIANG Zhifeng.Research of an Algorithm for Extracting Central Skeleton Line of TrueType Fonts［J］.Journal of Mechanical Manufacturing，2010，48（1）：19－21.（李小軍，方江龍，蔣知峰.TrueType字體中心骨架線提取算法研究［J］.機(jī)械制造，2010，48（1）：19－21.）

［18］ CHEN Huirong，ZHENG Yidong，GUAN Haibo.Improvement of Douglas－Peucker Algorithm Based on Skeleton Line［J］.Hydrographic Surveying and Charting，2011，31（5）：18－20.（陳惠榮，鄭義東，關(guān)海波.基于骨架線的 Douglas－Peucker算法改進(jìn)［J］.海洋測繪，2011，31（5）：18－20.）

［19］ LIU Xiufang，YANG Yongping，LUO Ji.Research on Chart Contour Automatic Cartographic Generalization Based on Arc Info［J］.Hydrographic Surveying and Charting，2010，30（5）：46－48.（劉秀芳，楊永平，羅吉.基于內(nèi)側(cè)緩沖區(qū)算法的多邊形骨架線提取模型［J］.海洋測繪，2010，30（5）：46－48.）

［20］ LIU Jing.Design and ImpleMentation of Skeletonization in GIS Cartography［J］.Journal of South—Central University for Nationalities（Nature Science Edition），2007，26（4）：78－80.（劉晶.GIS制圖中骨架提取算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.中 南 民 族 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)：自 然 科 學(xué) 版，2007，26（4）：78－80.）

［21］ DAVID T G C.Terrain Reconstruction from Contours by Skeleton Construction ［J］.GeoInformatica，2000，4（4）：349－373.

［22］ MASAYUKI H，ALEXANDER G B，TOSIYASU L K.A Skeleton－based Approach for Detection of Perceptually Salient Features on Polygonal Surfaces ［J］.Computer Graphics，2002，21（4）：689－700.

［23］ DOMINIQUE A，JEAN DANIEL B，HERBERT E.Stability and Computation of Medial Axes：A State－of－the－Art Report［C］∥Conference on Mathematics and Visualization.Berlin：Springer Verlag，2008.

［24］ ZHU Weisong.A Study of Distance Transform Based Fiber Skeleton Determination Algorithm［D］.Nanchang：Donghua University，2008.（朱維松.基于距離變換的纖維骨架提取算法研究［D］.南昌：東華大學(xué)，2008.）

［25］ EFTEKHARIAN A A，HOREA T I.Distance Functions and Skeletal Representations of Rigid and Non－rigid Planar Shapes ［J］.Computer－Aided Design，2009，41（12）：865－876.

［26］ GAO Wei，ZHANG Jianbo.The Algorithm and Its Application of Best Route Analysis Based on Raster Data Mode［J］.Journal of Heilongjiang Institute of Technology，2006，18（1）：22－24.（高偉，張劍波.基于柵格數(shù)據(jù)模型的最優(yōu)路徑分析算法及實(shí)現(xiàn)［J］.黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，18（1）：22－24.）

［27］ VASILIS M，ANDRONIKI X，BYRON N，VASILIS V.The Use of Epsilon－Convex Area for Attributing Bends along a Cartographic Line［C］∥Proceedings of 12th International Cartographic Conference.Coruna：［s.n.］，2005.

［28］ IVANOV D，KUZMIN E，BURTSEV S.An Efficient Integer－based Skeletonization Algorithm ［J］.Computers and Graphics，2000，1（24）：41－51.

［29］ WANG Tao，WU Heihai.Extraction of Hierarchical Skeleton of Areal Object Based on Multivariate Analysis［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2004，29（6）：533－536.（王濤，毋河海.顧及多因素的面狀目標(biāo)多層次骨架線提?。跩］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2004，29（6）：533－536.