龍騰飛，焦偉利，王 威

1.中國(guó)科學(xué)院 遙感與數(shù)字地球研究所，北京 100094；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049

1 引 言

傳統(tǒng)的遙感圖像幾何校正模型是基于控制點(diǎn)建立的，當(dāng)能夠準(zhǔn)確獲取地面控制點(diǎn)時(shí)，采用地面控制點(diǎn)進(jìn)行幾何校正能夠較好地改善圖像的定位精度；然而在很多困難地區(qū)的衛(wèi)星影像上，如沙漠、山區(qū)等，很難辨認(rèn)出準(zhǔn)確的物理點(diǎn)特征，因此難以獲得足夠數(shù)量和足夠準(zhǔn)確的地面控制點(diǎn)，而線特征、面特征則更易獲得（如已知的道路、水體等）。另一方面，在以不同分辨率影像作為參考數(shù)據(jù)源時(shí)，點(diǎn)的位置坐標(biāo)也難以準(zhǔn)確確定。事實(shí)上，就特征提取而言，提取有意義的面特征比提取有意義的點(diǎn)特征更容易，而且，無(wú)論自然環(huán)境還是人工環(huán)境中都存在豐富的面狀地物，如建筑物、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、公園、湖泊等。參考影像、數(shù)字線劃地圖（DLG）、GIS矢量數(shù)據(jù)中存在大量的面特征，使用面特征進(jìn)行幾何校正能夠充分地利用這些數(shù)據(jù)。

長(zhǎng)期以來(lái)，人們主要關(guān)注基于點(diǎn)［1－3］、直線［4－6］和曲線［7］的圖像配準(zhǔn)與幾何校正方法，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外的學(xué)者針對(duì)面狀特征的提?。?－9］、面狀特征的相 似性度 量［10－11］以 及 面 狀 特 征 的 匹 配 策 略［12］等方面進(jìn)行了一些研究，基于面狀地物的圖像配準(zhǔn)方法已經(jīng)應(yīng)用于光學(xué)影像與SAR影像［13－14］、遙感影像與GIS數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)［15］，但是這些方法主要側(cè)重于面狀地物的提取和配準(zhǔn)，很少涉及利用面特征來(lái)建立校正模型，進(jìn)行圖像幾何校正。目前，已有的方法往往將面特征轉(zhuǎn)化為點(diǎn)特征使用（如提取多邊形的重心作為控制點(diǎn)［13，15］），最終基于點(diǎn)特征進(jìn)行幾何校正，并未充分利用面特征的信息。由于傳感器的成像方式、側(cè)視角、地形等的影響，影像上的面狀地物會(huì)發(fā)生不同程度的變形，重心的位置也會(huì)發(fā)生改變，因此使用面狀地物的重心作為控制點(diǎn)的方法存在缺陷。本文從面狀特征的距離度量出發(fā)，直接利用面狀特征的輪廓信息，提出一種基于面特征的圖像幾何校正方法。

2 基于面特征的幾何校正模型

本文方法的關(guān)鍵技術(shù)是利用面特征建立和求解誤差方程，其中誤差方程的建立需要計(jì)算控制面多邊形與像平面多邊形之間的距離，多邊形之間的距離以多邊形上的點(diǎn)到多邊形的距離為基礎(chǔ)。因此，下面依次介紹點(diǎn)到多邊形的距離計(jì)算方法、多邊形到多邊形的距離計(jì)算方法以及基于面特征的幾何校正模型建立方法。

2.1 點(diǎn)到多邊形的距離計(jì)算方法

首先給出點(diǎn)到多邊形距離的定義：同一平面內(nèi)，點(diǎn)p到多邊形A的距離為多邊形A所有邊界點(diǎn)到點(diǎn)p的最小距離，特別的，當(dāng)點(diǎn)p在多邊形A內(nèi)部時(shí)，距離為0。

記多邊形的邊界點(diǎn)集合為?A，任意點(diǎn)p到多邊形A的距離可表示為

欲求點(diǎn)p到多邊形A邊界的最小距離，首先分別計(jì)算點(diǎn)p到多邊形A各條邊的距離，然后得到其最小值。其中，點(diǎn)p到多邊形A某條邊l的距離分為兩種情況：過(guò)點(diǎn)p作線段l的垂線，若垂足在線段l上，則點(diǎn)p到垂足的距離為點(diǎn)p到l的距離；若垂足不在線段l上，則點(diǎn)p到線段l的兩個(gè)端點(diǎn)的距離的較小值為點(diǎn)p到l的距離。圖1為不同情況下點(diǎn)到線段的示意圖。圖1（a）中，垂足m在線段l上，則Vpm為點(diǎn)p到線段l的距離；圖1（b）中，垂足m在線段l外，且Vpa＜Vpb，則Vpa為點(diǎn)p到線段l的距離。

圖1 不同情況下點(diǎn)到線段的距離Fig.1 Distance from point to line segment in different cases

圖2 不同情況下點(diǎn)到多邊形的距離Fig.2 Distance from point to polygon in different cases

距離為標(biāo)量，用于平差時(shí)缺乏方向性，故引入距離矢量的概念：若式（1）中，距離值在x＝a處取得，則定義點(diǎn)p到點(diǎn)a的矢量為點(diǎn)p到多邊形A的距離矢量，記為ρ（p，A）。特別的，如果ρ（p，A）＝0，則ρ（p，A）＝0。

點(diǎn)p到多邊形A的距離矢量算法如下。

步驟1：令ρ為一個(gè)很大的值max，令l為多邊形A的第1條邊。

步驟2：計(jì)算點(diǎn)p到線段l的距離矢量d及距離d。

步驟3：如果d＜ρ，則令ρ＝d，ρ＝d。

步驟4：如果l是多邊形A的最后一條邊，則轉(zhuǎn)到步驟5；否則，令l為多邊形A的下一條邊，并轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟5：輸出點(diǎn)p到多邊形A的距離矢量ρ。

2.2 多邊形到多邊形的距離計(jì)算方法

在點(diǎn)到多邊形距離的基礎(chǔ)上給出多邊形到多邊形距離的定義：多邊形A到多邊形B的距離為多邊形A所有邊界點(diǎn)到多邊形B的距離中最大者。

特別說(shuō)明，多邊形的邊是由連續(xù)的邊界點(diǎn)組成的，而多邊形的頂點(diǎn)是多邊形邊的端點(diǎn)。圖3說(shuō)明了多邊形的邊界點(diǎn)和頂點(diǎn)的區(qū)別。

圖3 多邊形的邊界點(diǎn)和頂點(diǎn)Fig.3 Boundary points and vertices of a polygon

多邊形A到多邊形B的距離可以表示為

式中，p為多邊形A的邊界點(diǎn)。

利用該定義計(jì)算多邊形之間的距離矢量時(shí)間復(fù)雜度較大，下面給出一個(gè)命題，可以簡(jiǎn)化多邊形距離的計(jì)算。

命題1：多邊形A到多邊形B的距離為多邊形A所有頂點(diǎn)到多邊形B的距離中的最大值。

借助命題1，如果記多邊形的頂點(diǎn)集合為~A，則多邊形A到多邊形B的距離可以表示為

式中，p為多邊形A的頂點(diǎn)；x為多邊形B的邊界點(diǎn)。

式（3）中，若多邊形A到多邊形B的距離值在p＝a，x＝b處取得，則定義點(diǎn)a到點(diǎn)b的矢量為多邊形A到多邊形B的距離矢量，記為ρ（A，B）。特別的，如果ρ（A，B）＝0，則ρ（A，B）＝0。

多邊形A到多邊形B的距離矢量算法如下。

步驟1：令ρ＝0，令p為多邊形A的第一個(gè)頂點(diǎn)。

步驟2：計(jì)算點(diǎn)p到多邊形B的距離矢量d及距離d。

步驟3：如果d＞ρ，則令ρ＝d，ρ＝d。

步驟4：如果p是多邊形A的最后一個(gè)頂點(diǎn)，則轉(zhuǎn)到步驟5，否則，令p為多邊形A的下一個(gè)頂點(diǎn)，并轉(zhuǎn)到步驟2。

步驟5：輸出多邊形A到多邊形B的距離矢量ρ。

2.3 基于面特征的幾何校正模型建立方法

經(jīng)典的成像幾何模型用來(lái)建立地面點(diǎn)三維空間坐標(biāo)與相應(yīng)像點(diǎn)二維平面坐標(biāo)之間的關(guān)系，一般的，通用模型可表示為

式中，t＝［t1，t2，…，tn］T表示傳感器幾何校正模型的n個(gè)參數(shù)；（X，Y，Z）表示控制點(diǎn)的地面坐標(biāo)；（x，y）表示控制點(diǎn)在影像上的量測(cè)坐標(biāo)。目前，常用的幾何校正模型有嚴(yán)格成像模型、仿射變換模型、多項(xiàng)式模型、有理函數(shù)模型等，這些模型均可用式（4）來(lái)表示［6］，本文的方法可用于各種幾何校正模型。下面說(shuō)明利用控制面特征建立誤差方程的過(guò)程。

式（5）表示多邊形A到多邊形A0的距離矢量為0。由上節(jié)的定義可知，多邊形A到多邊形A0的距離必在多邊形A的某一頂點(diǎn)處取得，不妨記為ak（xk，yk）∈~A，其中，k為整數(shù)，且1≤k≤m，則

式中，A0為常量，矢量ρ（ak，A0）具有水平方向和垂直方向的兩個(gè)分量，可記ρ（ak，A0）＝（ρx，ρy），且根據(jù)式（4）有

式中，（Xk，Yk，Zk）為地面多邊形A′的第k個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，則式（6）等價(jià)于式（8）

對(duì)式（8）進(jìn)行線性化可以得到控制面特征的誤差方程

式中，vx和vy為隨機(jī)誤差；lx＝－ρx（fx，fy），ly＝－ρy（fx，fy）；Δt＝［Δt1，Δt2，…，Δtn］T表示t的改正向量。

這里ρx和ρy沒(méi)有解析形式，可采用數(shù)值微分［16］的方法來(lái)逼近各函數(shù)偏導(dǎo)，如

一個(gè)控制面特征可以導(dǎo)出如式（9）的兩個(gè)誤差方程，因此利用不少于n／2個(gè)控制面特征即可求解出模型中的n個(gè)未知參數(shù)t，參數(shù)的求解可使用 LM 算法［17－18］。

3 試驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證上述方法的有效性，本文選用Landsat TM、ALOS PRISM和QuickBird 3種影像進(jìn)行了試驗(yàn)。Landsat影像為安徽地區(qū)影像，攝于2008年4月，影像大小為6856像素×5733像素，分辨率為30m，影像范圍內(nèi)最大高程差為400m左右；ALOS影像為吉林地區(qū)影像，攝于2010年9月，影像大小為29 493像素×16 000像素，分辨率為2.5m，影像范圍內(nèi)最大高程差為400m左右；QuickBird影像為西寧地區(qū)的影像，攝于2010年10月，影像大小為24 523像素×33 549像素，分辨率為0.6m，影像范圍內(nèi)海拔均在2000m以上，最大高程差為1000m左右。

對(duì)每種影像分別進(jìn)行4組試驗(yàn)。第1組試驗(yàn)中，均勻地選取若干個(gè)控制面特征，用本文方法進(jìn)行幾何校正；第2組試驗(yàn)中，在第1組試驗(yàn)所選的控制面特征上各選取一對(duì)對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)作為控制點(diǎn)，用這些控制點(diǎn)進(jìn)行幾何校正；在1、2組試驗(yàn)的控制面和控制點(diǎn)中人為地加入兩個(gè)粗差（5～15個(gè)像素），對(duì)每種影像的控制面和對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)所加入的粗差相同；第3組試驗(yàn)用含有粗差的控制面進(jìn)行幾何校正；第4組試驗(yàn)用含有粗差的控制點(diǎn)進(jìn)行幾何校正。利用相同的檢查點(diǎn)進(jìn)行四組試驗(yàn)的精度評(píng)價(jià)。Landsat影像的試驗(yàn)采用其衛(wèi)星軌道模型［19］，ALOS影像和QuickBird影像的試驗(yàn)采用基于像方補(bǔ)償?shù)挠欣砗瘮?shù)模型［20］。面狀特征的提取采用基于曲線演化的水平集方法［21］。

圖4～圖6分別顯示了Landsat影像、ALOS影像和QuickBird影像試驗(yàn)中控制點(diǎn)、控制面和檢查點(diǎn)的分布及示意圖。各圖中左邊為控制點(diǎn)、控制面和檢查點(diǎn)在整景影像中的分布圖，其中青色三角形表示檢查點(diǎn)，紅色圓點(diǎn)表示控制點(diǎn)或控制面（圖像縮小后控制面用點(diǎn)代替顯示，與控制點(diǎn)重合）；右圖為局部放大后的控制面和控制點(diǎn)示意圖，控制面用紅色輪廓表示，控制點(diǎn)用紅色圓點(diǎn)表示。

圖4 Landsat影像控制點(diǎn)、控制面及檢查點(diǎn)示意圖Fig.4 GCPs，GCAs and check points of Landsat image

圖5 ALOS影像控制點(diǎn)、控制面及檢查點(diǎn)示意圖Fig.5 GCPs，GCAs and check points of ALOS image

圖6 QuickBird影像控制點(diǎn)、控制面及檢查點(diǎn)示意圖Fig.6 GCPs，GCAs and check points of QuickBird image

表1列出了3種影像的4組試驗(yàn)結(jié)果，包括控制面的擬合精度、控制點(diǎn)的擬合精度以及檢查點(diǎn)的精度。

表1 試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.1 Result comparison of tests

通過(guò)對(duì)表1結(jié)果的分析，可以得出以下結(jié)論。

（1）基于控制面的幾何校正方法可以用于不同的衛(wèi)星影像和不同的成像模型。

（2）當(dāng)控制資料不含粗差時(shí)，使用控制面和控制點(diǎn)建立校正模型，圖像校正精度基本一致。如表1所示，在Landsat、ALOS及QuickBird影像無(wú)粗差的試驗(yàn)中，使用控制面和使用控制點(diǎn)建立校正模型，進(jìn)行幾何校正，控制點(diǎn)和檢查點(diǎn)的精度均能達(dá)到一個(gè)像素以內(nèi)，兩種方式的校正精度基本一致。

（3）試驗(yàn)中控制面的殘差為根據(jù)幾何模型計(jì)算出的多邊形到參考多邊形的距離，由多邊形到多邊形距離的定義可知，殘差為計(jì)算多邊形所有頂點(diǎn)到參考多邊形距離的最大值，因此控制面的殘差一般大于控制點(diǎn)的殘差。

（4）當(dāng)控制資料中含有粗差時(shí)，基于控制面的幾何校正模型比基于控制點(diǎn)的幾何校正模型具有更強(qiáng)的容錯(cuò)能力。如表1所示，在Landsat和QuickBird影像含有粗差的試驗(yàn)中，用控制點(diǎn)進(jìn)行幾何校正后，檢查點(diǎn)的最大殘差超過(guò)了3像素，而用控制面進(jìn)行幾何校正后，檢查點(diǎn)的最大殘差在2像素以內(nèi)；在ALOS影像含有粗差的試驗(yàn)中，用控制點(diǎn)進(jìn)行幾何校正后，檢查點(diǎn)的最大殘差超過(guò)了3像素，而用控制面進(jìn)行幾何校正后，檢查點(diǎn)的最大殘差在1像素以內(nèi)。其主要原因?yàn)椋涸贚andsat和QuickBird的面特征校正試驗(yàn)中，加入粗差后，粗差點(diǎn)參與模型的解算會(huì)導(dǎo)致模型參數(shù)偏離真值，因此，該粗差對(duì)基于面特征的校正模型精度影響力受到限制；而在ALOS的面特征校正試驗(yàn)中，加入粗差后，粗差點(diǎn)落到了參考面多邊形內(nèi)部，其到參考面多邊形的距離為0，對(duì)多邊形距離的計(jì)算沒(méi)有貢獻(xiàn)，因此，該粗差對(duì)基于面特征的校正模型精度幾乎沒(méi)有影響。

（5）在QuickBird影像無(wú)粗差試驗(yàn)中，所選控制面特征的影像多邊形和地面多邊形的邊界有一定的偏差，因此，控制多邊形的擬合精度稍差，超過(guò)了2像素，但使用控制面進(jìn)行幾何校正的精度與使用控制點(diǎn)進(jìn)行幾何校正的精度相差不大，可以達(dá)到1像素左右。這也表明控制面具有較好的容錯(cuò)性。

（6）QuickBird影像范圍海拔均在2000m以上，最大高程差為1000m左右，表1中QuickBird影像試驗(yàn)結(jié)果表明，基于控制面特征可用于高山地區(qū)影像的幾何校正。

4 結(jié) 論

在實(shí)際應(yīng)用中，足夠數(shù)量和足夠準(zhǔn)確的地面控制點(diǎn)有時(shí)難以獲得，而參考影像、數(shù)字線劃地圖、GIS矢量數(shù)據(jù)中存在大量的面特征，借助本文基于面特征的幾何校正方法能夠充分地利用這些數(shù)據(jù)。

（1）本文方法的本質(zhì)仍然是點(diǎn)與點(diǎn)之間的計(jì)算，但其不要求地面多邊形和影像多邊形的頂點(diǎn)間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此對(duì)控制面的約束要求要比傳統(tǒng)的控制點(diǎn)弱的多。尤其是對(duì)于圓弧狀的地物，通常情況下無(wú)法找到對(duì)應(yīng)的特征點(diǎn)，但將它作為一個(gè)整體的控制面，就可以用來(lái)進(jìn)行圖像的幾何校正。

（2）本文方法不受具體成像模型的限制，可以根據(jù)影像自身的特點(diǎn)使用衛(wèi)星軌道模型、有理函數(shù)模型、仿射變換模型等，具有通用性。

（3）由于面特征是由許多點(diǎn)組成的，個(gè)別點(diǎn)的誤差對(duì)于控制面本身來(lái)說(shuō)影響并不大，因此，基于面特征的幾何校正方法比基于點(diǎn)特征的幾何校正方法具有更強(qiáng)的容錯(cuò)能力。試驗(yàn)結(jié)果表明本文的方法可用于不同的衛(wèi)星影像和成像模型，當(dāng)控制資料不含粗差時(shí)，控制面和控制點(diǎn)的校正精度基本一致，可達(dá)到1像素以內(nèi)；當(dāng)控制資料中含有粗差時(shí)，用控制面校正的精度明顯優(yōu)于用控制點(diǎn)校正的精度。

本文方法是基于已有的控制面特征進(jìn)行的，而控制面特征提取和匹配的自動(dòng)化程度較低、耗時(shí)較多，提高控制資料準(zhǔn)備過(guò)程的自動(dòng)化程度是后續(xù)工作的一個(gè)方向。此外，由于成像時(shí)間、成像角度、數(shù)據(jù)源等條件的不同，面特征自動(dòng)提取的方法對(duì)不同影像所提取的同名面特征往往并不具有完全一致的輪廓，這種不一致對(duì)幾何校正結(jié)果的影響還需要進(jìn)一步的研究和分析。

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