☉江蘇省啟東市東海中學 顧曉東

我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”.

一、原題呈現(xiàn)

題目 （2013年安徽卷第23題）如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”，其中∠B=∠C.

（1）在圖1所示的“準等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）.

（3）在由不平行于BC的直線截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，若EB=EC，請問當點E在四邊形ABCD內(nèi)部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何？寫出你的結(jié)論（不必說明理由）.

圖1

圖2

圖3

二、試題特色

本題是一道新定義的開放探究題，題目立意新穎，構(gòu)造精巧，設(shè)問梯度合理，入手較易，通過截等腰三角形的兩腰得“準等腰梯形”，把觀察、操作、探究、證明融于一體，需要綜合運用平行線、等腰三角形、相似三角形、全等三角形、角平分線等核心知識靈活地解決問題，有效考查了學生對核心知識的理解及學生的閱讀理解能力、數(shù)學建模能力、深入探究能力，綜合性較強，有較好的區(qū)分度，較高的信度和效度.

1.重視基礎(chǔ)，體現(xiàn)能力

本題雖為壓軸題，但仍注重對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查.第（1）問，通過過一點作平行線，考查學生作圖的基本技能，并為第（2）問的解決做好心理和知識鋪墊；第（2）問考查學生對三角形相似的判定這個核心知識的掌握情況，要解決的問題具體，注重基礎(chǔ)性；第（3）問通過改變點E的位置，探索∠ABC與∠DCB的數(shù)量關(guān)系，使問題更具開放性，富有探究價值.通過添加適當?shù)妮o助線，考查學生靈活運用知識的能力.尤其是第（3）問的后一小問，不呈現(xiàn)圖形，而讓學生根據(jù)題意畫出圖形再寫出結(jié)論，更體現(xiàn)了本題對學生能力的考查.

2.關(guān)注過程，引領(lǐng)教學

本題不僅關(guān)注學習的結(jié)果，更關(guān)注教與學的過程，本題首先定義了一個教材中從未出現(xiàn)的新概念——準等腰梯形，然后圍繞準等腰梯形設(shè)計了三個問題，各問題層次分明，逐級遞進，引導(dǎo)學生不斷思考，變考試的過程為學習、研究的過程.學生在解決以上問題的過程中，可以表現(xiàn)出自己的作圖、觀察、證明、猜想等數(shù)學活動方面的能力，有效考查學生的數(shù)學素養(yǎng).從而促使教師在平時的數(shù)學教學中重視過程的教學，啟發(fā)學生及時進行歸納總結(jié)和反思，積累解決問題的策略及經(jīng)驗，不斷提升數(shù)學能力.本題出現(xiàn)的“等腰三角形、準等腰梯形”的基本圖形，通過點的位置的變化引起圖形相應(yīng)的變化，從而探索相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，學生在平時的學習中都經(jīng)常遇到，在教學中如何讓學生更好地理解基本圖形的教學功能？如何在平時的教學中立足課標，夯實基礎(chǔ)，注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系？這些問題都會促使教師不斷地深入研究、思考，改進教學方法，不斷提升自己的教學水平等.

3.探究選擇，突出思維

基本的數(shù)學活動經(jīng)驗告訴我們，當題目的要求與你所用的知識或設(shè)想距離較遠時，就涉及探究思路、方法的選擇問題，對于本題的第（3）問難度較高，探究思路的選擇至關(guān)重要，不仿可以采用如下探究環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：四邊形ABCD是否為“準等腰梯形”，取決于什么條件？由BE=BC，可以得∠1=∠2（如圖4），若得∠ABC=∠DCB，還需哪兩個角相等.

圖4

環(huán)節(jié)2：若要得∠3=∠4，面臨選擇，嘗試發(fā)現(xiàn)∠3、∠4不能夠直接證明相等，條件不足，必須添加適當?shù)妮o助線，由條件AE、DE分別平分∠BAD與∠ADC，想到過點E向角的兩邊作垂線段，得EF=EH，通過△BEF≌△CEH，得∠3=∠4.

環(huán)節(jié)3：若點E不在四邊形ABCD的內(nèi)部，根據(jù)點與平面圖形的位置關(guān)系，點E與四邊形ABCD還存在怎樣的位置關(guān)系，相應(yīng)的圖形又會發(fā)生怎樣的變化呢？

環(huán)節(jié)4：∠1、∠2、∠3、∠4隨著點E位置的改變，大小發(fā)生變化，但它們之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然存在呢？剛才的證明思路、方法是否還可行呢？

上述探究環(huán)節(jié)凸顯學生的數(shù)學思維水平和數(shù)學活動的經(jīng)驗水平，也可實現(xiàn)新的活動經(jīng)驗的結(jié)累，本題中基本圖形的交融將解題思路隱藏，增大了題目的挑戰(zhàn)性，要靠學生的嘗試和調(diào)整解題策略向前推進.這種看似“山重水復(fù)”的情境設(shè)置，實則為“柳暗花明”的到來做足了鋪墊，學生將會體驗到解決問題的妙趣橫生.

4.體現(xiàn)公平，尊重差異

本題以學生熟悉的三角形、四邊形為背景，通過文字語言的描述，圖形語言的說明給出了“準等腰梯形”的概念，問題的調(diào)置由易到難，層層推進，環(huán)環(huán)相扣；第（1）問絕大部分學生都能解決，體現(xiàn)了試題的人文關(guān)懷，第（3）問具有開放性，具有很高的區(qū)分度，體現(xiàn)了中考試卷的選拔功能.

如果把本題當作一杯茶來品嘗的話，那么品味到它的滋味是幽香撲鼻，醇厚爽口，回味無窮，當我們頭品此題時，給人以“霧里看花，水中望月”感覺，但細細品味，又“似曾相似”，體現(xiàn)命題者的高超立意，感覺到的是香高；當我們二品此題，理解此題在立意、導(dǎo)向、選拔等功能后，感覺到的是味濃；當我們?nèi)?、四品這道“大餐”時，認真體會此題的豐富內(nèi)涵，去進一步探究、拓展時，感覺到的則是幽香猶存.