☉湖南省衡陽縣職業(yè)中專 龍向東

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的之一就是能夠用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題.重視從不同的角度認(rèn)識題目，并能夠充分揭示題目中蘊涵的信息，并從中獲得不同的解法，這無疑對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度、深度與靈活性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，訓(xùn)練發(fā)散思維，進(jìn)而對學(xué)生綜合解題能力的提升起著重要的作用.

一、問題提出

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，則xyz的最大值為______.

本題（源自2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B，T9，原題：已知實數(shù)x，y，z滿足：x≥y≥z，x+y+z=1，x2+y2+z2=3，求實數(shù)x的取值范圍）條件簡潔明了，結(jié)構(gòu)對稱優(yōu)美，題意清晰而又內(nèi)涵豐富.

二、解法探究

則①2-②，得2xy=（1-z）2-3+z2=2z2-2z-2，（*）

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取到等號.

評注：目標(biāo)式中有三個元，故從化歸轉(zhuǎn)化的角度看，減元轉(zhuǎn)化為單元函數(shù)的值域問題是方向，減元的技巧則是通過x+y與x2+y2的結(jié)構(gòu)差異聯(lián)想到可用z來表示xy，另一個問題是如何準(zhǔn)確界定z的范圍？解法1是通過（*）和②兩式結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到它們之間隱含的均值不等式，從而得到關(guān)于z的另一個不等式.

解法2：由題意，將z=1-（x+y）代入x2+y2+z2=3，得

評注：本解法與解法1異曲同工，由于觀察的角度不同，所采取的換元思路是不一樣的，本法是用x，y表示z，再根據(jù)x+y與x2+y2的結(jié)構(gòu)特征，用x+y整體表示xyz，而對于新元的范圍界定仍是通過不等式獲得，需要指明的是此類范圍限定中，往往需結(jié)合利用到兩個條件式的不等式才能獲得最終的范圍.

事實上，還有學(xué)生是這樣減元的：1=（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz）=3+2xy+z（x+y），從而xy=-1-z（1-z）=z2-z-1，下同解法1.盡管過程未必簡潔，但卻透露重要的一點：至少學(xué)生發(fā)現(xiàn)了可以利用所學(xué)知識之間的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)系尋求解題的突破口，比如學(xué)生因為發(fā)現(xiàn)（x+y+z）2的展開式中含有xy，所以以此為開端逐步達(dá)到目的.G.波利亞在《怎樣解題》一書中這樣表述：“你應(yīng)該考慮它，如果它看上去很有利，你應(yīng)該考慮得更久一些；如果它看上去很可靠，你就應(yīng)該弄清楚它能引導(dǎo)你到多遠(yuǎn)，由于這個有用的念頭，整個情況已經(jīng)發(fā)生了變化并從不同的方面重新考慮新的情況，尋找你與過去所獲知識之間的聯(lián)系.”或許有這方面的意思吧，教學(xué)中可以從題目的特點、條件結(jié)構(gòu)等方面去指導(dǎo)學(xué)生解題.而對于解法1中函數(shù)f（z）=xyz=z3-z2-z中自變量z的范圍界定，還可以利用條件的結(jié)構(gòu)特征求解.

解法3：由解法1可得

評注：通過x+y，xy與二次函數(shù)中根與系數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)相似性獲得構(gòu)造的靈感，找到了突破口，可謂巧妙.類似地還可以采用解法4.

評注：此法從條件式本身的方程結(jié)構(gòu)上聯(lián)想挖掘出了幾何圖形：直線與圓，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為相關(guān)解析幾何知識求解，巧妙的得到了范圍，其獨特的視角讓人叫好.

當(dāng)然，就本題而言，從條件的結(jié)構(gòu)特征角度觀察，是否還可以轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)系下平面x+y+z=1與球面x2+y2+z2=3有關(guān)的問題來求解，其中xyz是否可以理解為立方體的體積？是否可以通過選修教材中的球坐標(biāo)方程來求解？是否還有其他的解法？這些都值得進(jìn)一步研究.

三、反思

上述解法，體現(xiàn)了化歸思想的運用.化歸轉(zhuǎn)化思想是指運用某種手段或方法把待解決的較為生疏或較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為熟悉的規(guī)范性問題來解決的思想方法.化歸轉(zhuǎn)化思想是考生解決難題時常用的手段，也是高中數(shù)學(xué)思想方法的重要內(nèi)容.在解題實踐中，大部分試題的條件與目標(biāo)的聯(lián)系不明顯，能否根據(jù)問題的特點、條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)和解題中出現(xiàn)的具體情況“隨機(jī)應(yīng)變”，調(diào)整思路、轉(zhuǎn)換策略，是我們能否順利解題的一個關(guān)鍵因素，也是思維靈活性的一個重要體現(xiàn)，強(qiáng)化解題過程中的應(yīng)變能力，有利于提高解決數(shù)學(xué)問題的思維能力.數(shù)學(xué)的符號化、形式化特征，為化歸思想的使用提供了便利條件，因為數(shù)學(xué)的符號語言具有演算性、形式化、符號化的特點，較易找到化歸的目標(biāo)和方向.所以教學(xué)中：一方面，應(yīng)該重視在化歸轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)下啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從題目條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征上去尋求解法，高中解題活動中經(jīng)常能用到這樣的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化，但如何能做到這樣的聯(lián)想呢？“其一能識別結(jié)構(gòu)，特別是特征明顯的結(jié)構(gòu)；其二能建立知識的框架體系，在這個體系下熟悉知識間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、遷移、發(fā)展等，建立函數(shù)、不等式、方程的聯(lián)系，建立向量、幾何、代數(shù)、三角的聯(lián)系，建立求函數(shù)最值的模型結(jié)構(gòu)與匹配的方法間的聯(lián)系等”；另一方面，應(yīng)該鼓勵學(xué)生多角度、全方位地深入探索，“一題多解”作為訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維、培養(yǎng)和提高學(xué)生思維能力是一種很好的方法.另外還應(yīng)注重解題后的反思?xì)w納并注意突出通性通法，主要從解題結(jié)果、解題過程（對已有解法的回顧，包括計算是否正確，推理是否合乎邏輯，思維是否縝密等；探討解法的多樣性）、解題思想方法、習(xí)題特點等方面引導(dǎo)學(xué)生歸納反思，反思是學(xué)生提高解題能力的重要手段，本題解法較多，主要有基本不等式法和函數(shù)轉(zhuǎn)化法，這些方法將函數(shù)、三角、不等式乃至幾何的相關(guān)知識有機(jī)地聯(lián)系起來，這對于完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高思維的靈活性以及解題能力有著重要的意義.進(jìn)一步地可從問題的結(jié)構(gòu)特點、解題的思路和途徑等多種角度引導(dǎo)學(xué)生去觀察、感悟、聯(lián)想、歸納，要多問：解法結(jié)果有無問題？過程是否完整？哪種解法更簡單？哪種解法更常規(guī)，更巧妙，更典型？各解法的特點如何？阻礙解題的難點在哪里？能將上述解法分類么？解法中還涉及哪些知識？是否可以體會到解法中隱含的數(shù)學(xué)思想？

1.邊欣.一道2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的簡解［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012（2）.

2.沈良.略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012（12）.