☉廣東省東莞市茶山中學(xué) 唐續(xù)運(yùn)

以能力立意命題，將知識(shí)、能力與素質(zhì)融為一體，全面檢測考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)是高考數(shù)學(xué)命題的指導(dǎo)思想，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)考題是高考命題的新特點(diǎn)和大方向.而平面向量及其運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，平面向量融數(shù)、形于一體，它具有代數(shù)與幾何的雙重特點(diǎn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn).以這一知識(shí)和方法為媒介可以和高中數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)板塊如函數(shù)、方程、數(shù)列、平面幾何、三角、解析幾何的內(nèi)容建立緊密的聯(lián)系，并貫穿其中、交匯滲透，使數(shù)學(xué)問題的情境新穎別致.

一、平面向量與平面幾何的交匯

點(diǎn)評(píng)：本題是在三角形中考查向量的基向量的解題思想，關(guān)鍵是抓住基向量.

點(diǎn)評(píng)：本題在四邊形的背景下考查向量垂直的判斷以及向量的模長.

圖1

又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1.

同理由x2+（y-b）2=1，得x2≤1，即x2+y2≤2. ②

點(diǎn)評(píng)：本題就是在矩形中考查向量的模、向量的表示及不等式的綜合應(yīng)用，學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)要靈活轉(zhuǎn)化，才能將問題解出.

二、平面向量與三角函數(shù)的交匯

（1）求f（x）的最小正周期.

點(diǎn)評(píng)：本題借向量的數(shù)量積，考查三角函數(shù)的周期、圖像、化簡、最值等問題的綜合應(yīng)用.

例5 （2013年高考江蘇卷）已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π.

（2）設(shè)c=（0，1），若a+b=c，求α，β的值.

點(diǎn)評(píng)：本小題主要借助向量的模，數(shù)量積考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力.

三、平面向量與圓錐曲線的交匯

例6（2013年湖南高考理科數(shù)學(xué)第21題）過拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1+k2=2.l1與E相交于點(diǎn)A，B，l2與E相交于C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N（M，N為圓心）的公共弦所在的直線記為l.

設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

從而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1（x1+x2）+p=2pk12+p.

由題設(shè)，k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以

圓M的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0，

圓N的方程為（x-x3）（x-x4）+（y-y3）（y-y4）=0，

兩式相減得公共弦的方程為

2p（k2-k1）x+2p（k22-k12）y=0.

又k2-k1≠0，k2+k1=2，則l的方程為x+2y=0.

因?yàn)閜＞0，所以點(diǎn)M到直線l的距離

故所求的拋物線E的方程為x2=16y.

點(diǎn)評(píng)：本題是在圓錐曲線的背景下，借助向量考查圓錐曲線中必須要掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，并且通過圓錐曲線和直線聯(lián)立，利用設(shè)而不求，避繁就簡，解出所需的結(jié)果.因此我們必須要狠抓基礎(chǔ)知識(shí)，重視知識(shí)間的聯(lián)系，才能真正地提高分析問題和解決問題的能力、在高考中做到游刃有余.

四、平面向量與線性規(guī)劃的交匯

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題通過向量考查了平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、線性規(guī)劃問題，同時(shí)也涉及對兩條直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離的考查，通過向量來考查學(xué)生對學(xué)過的知識(shí)的綜合應(yīng)用.

五、平面向量與不等式的交匯

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

解法1：（基本不等式）

解法2：（坐標(biāo)法）

如圖3，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（a，0），B（b，0），C（0，c），P（x，0），則

圖3

解法3：（用基向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是一個(gè)常規(guī)的考題，但是由于涉及動(dòng)點(diǎn)變化的不等式恒成立，致使難度有所增大.需要考生熟練掌握向量數(shù)量積運(yùn)算的方法，這正是問題的突破口.而實(shí)際上，數(shù)量積的運(yùn)算一般有三個(gè)角度，一是直接利用數(shù)量積的定義；二是建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算；三是利用基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

向量知識(shí)作為一個(gè)全新的知識(shí)，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到了溝通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，向量是既有大小又有方向的量，它很好地體現(xiàn)了數(shù)與形的統(tǒng)一，使我們在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)能“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，借用了向量的工具性、溝通性將各種數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為向量的幾何運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到解決.