☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

數學一考完，就有學生興奮地告訴我：“今年的數學很簡單，填空題全部會做，就連最后一題，也感到很親切！這次高考是所有考試中考得最好的一次！”帶著疑問，我把試題做了一遍，確實沒有什么磕磕碰碰的地方.對經過無數次考試的考生們來說，的確可以做得很順利，當然，個別題除外，比如填空題的第13、14題，大題的第17、18、19、20題，想拿到滿分，還是需要一定的數學功底的.

筆者認為，這是一份立足基礎，以人為本的好試卷.數學試題不偏不怪，讓中上等的學生得高分成為可能，中間的學生得100～120分成為可能，讓成績較弱的學生爭取及格或在及格邊緣成為可能.全卷堅持從學科的整體意義上選材立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，在充分考查數學基本知識、基本技能和基本思想方法的前提下，突出考查學生的數學能力和數學素養(yǎng).試題的設計堅持能力立意，堅持以知識為載體，多層次，多角度地考查各種能力，凸顯對數學本質的考查，能較好的實現高校公正科學的選拔人才.筆者認為，試題主要有以下幾個亮點：

一、立足基礎，凸顯主干，滲透數學思想

試卷充分關注學生必須掌握的核心觀念、思想方法、基本概念和基本技能，強化主干知識，基礎與能力并重，做到了重點內容重點考查.全卷對三角函數（如1題，15題，18題），解析幾何（如3題，9題，12題，17題），立體幾何（如8題，16題），函數（如11題，13題，18題），導數（如20題），數列（如14題，19題）等主要內容的考查占有相當的比例.大多數題重基礎，只要概念清晰，解答規(guī)范，基礎知識牢固就能得到該得的分數；多數解答題雖有一定的綜合性，但也是由若干個基礎題整合而成.

另外，在考查知識點的同時也滲透了大綱要求的重要數學思想.例如，數形結合思想滲透在線性規(guī)劃（第9題）、函數（第13題、第20題）等題目中；函數與方程的思想則體現在第13題、第18題等題目中；試卷對分類討論的思想（第13題、第20題等）做了深入考查.轉化與化歸思想貫穿整份試卷，例如，用來壓軸的第20題，用常規(guī)的題目背景——導數，而且題目的表述簡潔明了，考生一看就是常規(guī)題，因為相似問題在平時模擬考試中做過很多；但接下來的第Ⅱ問如何實施等價轉化、分類討論，沒有較強的運算能力和深厚的數學功底是難以做出最終結果的.

（1）若a≤2，則當t=2時，ymin=（a-2）2+a2-2=8，解得a=-1（a=3舍去）；

本題以函數為載體，主要考查函數的最值及簡單建模，借助換元將問題轉化為關于t的二次函數，再根據定區(qū)間和動對稱軸進行分類討論.對考生的抽象度、靈活性、深刻性等思維品質提出很高要求.

解析2：注意到本題背景實際是源自圓錐曲線，學生學過變換后，知道反比例函數圖像也稱為雙曲線，而且是等軸雙曲線，有焦點、準線、離心率、漸近線等，只是其對稱軸是將以前學習過的雙曲線的對稱軸逆時針旋轉45°得到的，中心仍然是原點，所以原題就可以轉化成：

看似簡單的一次函數和反比例函數，卻是圓錐曲線中的一類問題，考查學生們在高中階段數學的基本功是否過硬，在數學學習上能否做到“做一題通一類”，“看出問題本質，追本溯源”.

二、以人為本，體現人文關懷

以人為本，就是要不斷滿足人的全面需求、促進人的全面發(fā)展；以人為本，不僅要以好生、中等生為本，也要以差生為本，要照顧到各個方面，讓好生有發(fā)揮的余地，讓差生有成功的體驗，讓中等生努力后也能得到理想的分數.例如，試卷的13，14題，17，19，20題就是具有挑戰(zhàn)性的問題，對中等生而言，也有發(fā)揮的余地，如，17（2）以圓為載體，可以轉化為存在性問題，即為方程有解問題，或者轉化為兩圓有公共點問題，即兩圓相交或相切.不同的思考有不同途徑，可以反映學生的差異，利于中等生的發(fā)揮.下面舉幾例說明.

此題來源于考生比較熟悉的數列知識，考查了學生的估算和轉化能力，綜合性較強.若是死算，或是一一試根，很難解出或是過程非常煩瑣.

例3 （2013年江蘇卷17題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.

圖1

設圓C的半徑為1，圓心在l上.

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

解析：（1）設點C（a，2a-4），又點C在直線y=x-1上，所以2a-4=a-1，即a=3，所以圓C：（x-3）2+（y-2）2=1.

又點M在圓C上，所以（x0-a）2+（y0-2a+4）2=1， ②

這樣，問題就轉化為存在點M（x0，y0），使得①②成立.

解法2：（幾何方法）從①②的式子特點可以看出，均表示圓，所以要存在點使得①②成立，只要兩圓有公共點，即相交或相切即可.

本題主要考查直線與圓、圓與圓之間位置關系等問題，如果沒有較好的數學基礎，良好的數學素養(yǎng)，看不出①②反應的幾何意義，就會陷入煩瑣的計算，很難拿到滿分.本題中的第（2）小題主要根據題意將問題“要使得圓C上存在點M，使MA=2MO”轉化為“動圓C與阿波羅尼斯圓的位置關系（相交或相切）”，通過圓心C（a，2a-4），進而將問題轉化為關于a的一元二次不等式有解問題來處理，考查考生利用數形結合思想以及函數、方程、不等式之間相互轉化來解決問題的能力.

對差生而言，有很多是考查基本概念，基本運算，基本方法的題目，比如1，2，3，4，5，6，7，15，16，17（1）都是送分題.

三、注重通性通法，考查數學能力

2013年高考數學江蘇卷著重考查了教學大綱中所要求的幾種重要的數學思想方法，淡化特殊技巧，如函數與方程的思想，數形結合的思想，分類與整合的思想，化歸與轉化的思想等.數學思想與方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，它的掌握和應用也是形成數學能力的重要根基.即使是考查基礎知識的常規(guī)試題，也是?？汲Ｐ?，似曾相識中有一定新的內容，不曾相識的可以轉化為熟悉的問題.如用來壓軸的第20題第Ⅰ問就不屬于難題，把函數的單調性問題轉化為討論導函數的符號，這里考查了學生分類討論和分離參數的重要數學方法，而這些都是平時學生比較熟練的方法.所以，只要按照規(guī)范的步驟去做，要拿到滿分不是難事.

例4（2013年江蘇卷20題）設函數f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實數.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論.

綜上a的取值范圍為a＞e.

（2）本題先根據g（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，來確定a的范圍.

下面要求f（x）的零點個數，即考查f（x）=0的根的個數.

（1）若a≤0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增.此時f（x）=0有一個零點.

且當x→0時，f（x）→-∞；當x→+∞時，f（x）→-∞；

圖2

解法3：（數形結合）轉化為考查函數y1=lnx與y2=ax的交點個數問題.

（1）當a=0時，y1=lnx與y2=0有一個交點；

（2）當a＜0時，顯然只有一個交點（如圖2）；

圖3

圖4

（3）當a＞0時，先求處直線y=ax與y=lnx相切時的情況：

本題第二問，主要考查學生如何實施等價轉化、分類討論、數形結合，沒有較強的運算能力和深厚的數學功底還是難以做出最終結果的.彰顯了注重通性通法，考查數學能力的命題意圖，有利于高校對人才的選拔需要.

四、命題于知識的交匯處，突出數學知識之間的聯(lián)系

本次考題沒有追求知識的覆蓋面，但在各個知識點交匯處命題.力求從整體的高度去設計試題，以重點知識為核心，努力在幾個知識層面的交匯處命題，以檢驗學生能否形成一個有序的網絡化知識體系，并從中提取相關信息，靈活解決問題.例如15題以向量為紐帶，涉及三角函數、不等式，意在考查學生的基本概念，基本運算、化簡能力.

五、聯(lián)系實際，考查數學的實際應用

試題中第7題，18題是關于概率，三角函數的實際應用問題，主要考查學生對具體問題中的事件能否具體處理，并如何轉化為相關的數學模型.

例如18題，以游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處的兩種路徑為背景，考查學生能否運用學過的解三角形知識來解決實際問題，以及將距離最短的問題轉化為二次函數最值問題等.本題第一問主要考查學生解題的目標意識，只要在三角形中運用正弦定理即可解決，對于第二問要求考生既要有良好的建模意識，又要具備探索、演算能力；第三問要求考生既要有聯(lián)想的直覺能力，又要有轉化和論證的抽象思維能力.

這些問題貼近學生的實際生活，對數學的建模要求適當，難度與運算適度，較好的體現了考查數學應用的意識，對學生的閱讀理解有一定要求，同時檢測學生理解新事物，接受新信息的能力，充分體現了對學生實踐能力的要求，從而引導學生關心生活，關心時事.

總之，一份試卷要承載太多的功能，讓每個人都滿意確實是一件不容易的事，若是太簡單了，好生覺得拉不開差距；太難了，差生都不會做，也就失去了考試的意義，所以找到一個平衡點很重要.筆者認為，總體應該偏重中等生，讓好生、差生都有自己發(fā)揮的空間.由此看來，2013年江蘇高考卷是一份成功的、值得肯定的試卷.