☉安徽省樅陽(yáng)縣會(huì)宮中學(xué) 王懷明 汪玉生

圖1

一、試題推廣

該題的長(zhǎng)半軸與短半軸的平方和為a2+1-a2=1是定值，當(dāng)長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度變化時(shí)，點(diǎn)P在定直線x+y=1上.那么對(duì)于任意橢圓，滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P是否在定直線上？經(jīng)過探究，得到如下結(jié)論：

若點(diǎn)P在其他象限，也有類似結(jié)論，這里不贅述.類比橢圓，在雙曲線中是否也有類似結(jié)論呢？經(jīng)過探究，得到如下結(jié)論：

證明類似結(jié)論1，略.

二、背景分析

問題探究到此似乎應(yīng)告一段落，但憑直覺，我們覺得對(duì)這個(gè)問題探討還不夠，認(rèn)識(shí)還不深刻.安徽省近幾年解幾高考題都與切點(diǎn)、切線有關(guān)，而結(jié)論1和結(jié)論2中的兩條直線恰好是曲線在點(diǎn)P處的切線.為了說明這道高考題與以前的高考題以及圓錐曲線切點(diǎn)、切線之間的關(guān)系，下面以橢圓為例，先介紹有關(guān)知識(shí).

1.圓錐曲線切點(diǎn)、切線的部分性質(zhì)

若改變條件和結(jié)論的順序，得到

限于篇幅，以上性質(zhì)的證明從略.

2.試題背景

圖2

圖3

（1）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，4）；求橢圓C的方程；

（2）證明：直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn).

這道高考題的一般情形即為1中的性質(zhì)②.我們?cè)賮?lái)看2013年的高考題（如圖3），若延長(zhǎng)QF1交橢圓左準(zhǔn)線于點(diǎn)M，則條件F1P⊥F1Q相當(dāng)于F1M⊥F1Q.這道題相當(dāng)于：

當(dāng)然，還可以換成其他的敘述方式，這里不再一一列舉，同樣的，結(jié)論1和結(jié)論2也有多種敘述方式.無(wú)論怎樣的敘述，都能求得2013年高考題中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a2，1-a2）.當(dāng)然，這道題增加了一點(diǎn)難度，“證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上”.

通過對(duì)高考題分析發(fā)現(xiàn)，這道高考題保持了安徽省前五年解析幾何解答題的命題特色，即以“切點(diǎn)（極點(diǎn)）”、“切線（極線）”為背景，用初等數(shù)學(xué)知識(shí)方法解決具有高等數(shù)學(xué)背景的試題.可以預(yù)測(cè)，今后的安徽解析幾何解答題很有可能變換角度繼續(xù)考查與“切點(diǎn)（極點(diǎn)）”、“切線（極線）”有關(guān)的知識(shí)，希望引起大家的重視.這啟示我們，在高考復(fù)習(xí)中要反對(duì)搞題海戰(zhàn)術(shù)，要充分發(fā)揮高考試題的指導(dǎo)價(jià)值，選取有代表性的試題，深入研究，舉一反三，觸類旁通，理解本質(zhì)，以不變應(yīng)萬(wàn)變.同時(shí)，這些試題又具有高等數(shù)學(xué)知識(shí)背景，試題之間也存在著緊密的聯(lián)系.作為教師，只有具備扎實(shí)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，才能高屋建瓴，研究命題思路，把握命題規(guī)律，注重通性通法.

1.方章慧，王懷明.一道解析幾何高考題的推廣及背景［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2012（12）.

2.梅向明，等.高等幾何［M］.北京：高等教育出版社，2000.

3.李文林.數(shù)學(xué)史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.