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        用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾個技巧

        2013-07-25 09:28:02湖北省武漢市新洲一中
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2013年13期
        關(guān)鍵詞:正數(shù)最值單調(diào)

        ☉湖北省武漢市新洲一中 李 俊

        利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,是高考的常考題型,尤其是證明函數(shù)背景下的不等式.筆者在教學(xué)中有一點(diǎn)心得體會,下面通過例題展示一下用導(dǎo)數(shù)證明不等式的技巧,供讀者參考.

        一、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明

        當(dāng)-1<x<0時,f′(x)>0;當(dāng)x>0時,f′(x)<0.

        函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).

        于是函數(shù)f(x)在x=0處取得最大值f(0)=0.

        因此,當(dāng)x>-1時,f(x)≤f(0)=0,即ln(x+1)-x≤0,所以ln(x+1)≤x.

        當(dāng)x∈(-1,0)時,g′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,g′(x)>0,g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).

        故函數(shù)g(x)在x=0處取得最小值g(0)=0.

        當(dāng)x>-1時,g(x)≥g(0)=0,

        點(diǎn)評:用導(dǎo)數(shù)證明不等式最基本方法就是將不等式的一邊移到另一邊,然后令這個式子為一個函數(shù),通過求導(dǎo)判斷單調(diào)性,然后證明函數(shù)的最值大于(或小于)0.

        二、利用已知函數(shù)的最值進(jìn)行證明

        例2 (Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函數(shù)f(x)的最大值.

        (Ⅱ)設(shè)ak,bk(k=1,2,3,…,n)均為正數(shù),證明:

        (2)若b1+b2+…+bn=1,則

        當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0;當(dāng)x>1時,f′(x)<0.

        f(x)在(0,1)上是增函數(shù),f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).

        故函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值f(1)=0.

        (Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,當(dāng)x∈(0,+∞)時,有f(x)≤f(1)=0,即lnx≤x-1.

        因?yàn)閍k,bk均為正數(shù),從而有l(wèi)nak≤ak-1,得

        三、做商構(gòu)造函數(shù)證明

        四、取對數(shù)后構(gòu)造函數(shù)證明

        例4a,b∈R且b>a>e,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

        證明:ab>ba.

        證明:原不等式兩邊同時取自然對數(shù),可知

        因?yàn)閤>e時,f′(x)<0,所以f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減.

        故原不等式成立.

        點(diǎn)評:將待證不等式兩邊同時取對數(shù),轉(zhuǎn)化為合理的輔助函數(shù).

        五、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明

        (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

        解:(1)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),

        故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        (ii)若a-1<1,而a>1,故1<a<2,則當(dāng)x∈(a-1,1)時,f′(x)<0;

        當(dāng)x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.

        故f(x)在(a-1,1)上單調(diào)遞減,在(0,a-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增.

        (iii)若a-1>1,即a>2,同理可得f(x)在(1,a-1)上單調(diào)遞減,在(0,1)和(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.

        所以原不等式成立.

        六、換元法后作差構(gòu)造函數(shù)證明

        故原不等式成立.

        點(diǎn)評:當(dāng)待證不等式比較復(fù)雜時,可以通過換元的方法轉(zhuǎn)化為較熟悉或比較簡單的不等式.

        七、利用兩個函數(shù)的最值證明

        例7 函數(shù)f(x)=-x-ln(-x),x∈[-e,0).

        所以當(dāng)-e≤x<-1時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減;

        當(dāng)-1<x<0時,f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增,

        所以f(x)極小值為f(-1)=1,即f(x)在區(qū)間[-e,0)上的最小值為1,所以f(x)>1.

        當(dāng)-e≤x<0時,h′(x)≤0,故h(x)在[-e,0]上單調(diào)遞減.

        故原不等式成立.

        點(diǎn)評:分別轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù),利用函數(shù)h(x)max<f(x)min進(jìn)行證明.

        近幾年來,高考中對函數(shù)背景下不等式的考查要求比較高,學(xué)生得分情況不容樂觀.通過上述幾道例題,掌握不等式證明的幾個常見技巧,不僅能保證解題的正確性,還能有效地降低試題難度,縮短解題時間.

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