☉廣東省佛山市高明區(qū)第一中學(xué) 林建雯

我們知道雙曲線(xiàn)有很多的性質(zhì)及應(yīng)用，其實(shí)雙曲線(xiàn)的方程與不等式之間也有聯(lián)系，這種聯(lián)系對(duì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題、研究問(wèn)題帶來(lái)了很大的方便.下面筆者試著探索和研究這方面的內(nèi)容，以供參考.

因此a2-b2≤x2+y2-2xy=（x-y）2，

即a2-b2≤（x-y）2.

由不等式①我們很容易獲得下面兩個(gè)有趣的推論：

又因?yàn)閍2-b2≥0，λ0≥λ，

所以λ（a2-b2）≤（x-y）2.

上述3個(gè)不等式的應(yīng)用非常廣泛，特別是用來(lái)求二元函數(shù)最值或值域問(wèn)題時(shí)，顯得更加簡(jiǎn)潔和方便.

一、求滿(mǎn)足整式方程未知數(shù)的代數(shù)式的最值或范圍

例1 已知x，y滿(mǎn)足x2-y2-2x-4y=0，求x-2y的范圍.

由推論1得

解得x-2y≤2或x-2y≥8.

所以x-2y的取值范圍為（-∞，2］∪［8，+∞）.

例2 已知a，b∈R，且2a+b-2=0，求（a-2）2-（b-3）2的最大值.

由推論1得

二、求滿(mǎn)足三元一次方程及三元二次方程的未知數(shù)的最值

三、求滿(mǎn)足整式方程未知數(shù)的分式的最值或范圍

由推論1得（3k2-3）≤［（k+kx）-y）］2=k2，

四、求滿(mǎn)足不等式的未知數(shù)的最值

例7 如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式（x+1）2-y2≥3，求2x-y的取值范圍.

解：由已知不等式（x+1）2-y2≥3可得

由推論2得（12-3）≤［（2x+2）-y）］2=（2x-y+2）2，即9≤（2x-y+2）2，-5≤2x-y≤1，從而2x-y的最大值為1，最小值為-5.

五、求無(wú)理函數(shù)的值域

解：由2x-3≥0且x-2≥0得x≥2.

六、求滿(mǎn)足分式方程未知數(shù)的代數(shù)式的最值