☉湖北省宜昌市田家炳高級(jí)中學(xué) 蔡傳海 李成德

“數(shù)學(xué)是自然的”，這是人教版數(shù)學(xué)新課程教材《主編寄語(yǔ)》中令人印象最深的一句話.通過(guò)近幾年的教學(xué)實(shí)踐，筆者深切感受到這句話不僅是數(shù)學(xué)教師教學(xué)的基本理念和指導(dǎo)思想，更是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基本方法，它是數(shù)學(xué)新課程教與學(xué)的“點(diǎn)睛”之筆.

如果我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)的預(yù)設(shè)、生成、轉(zhuǎn)換和變化等過(guò)程中，多關(guān)注和研究一些學(xué)生思維發(fā)展過(guò)程中的自然生成狀態(tài)，使教學(xué)更貼近學(xué)生，使師生的思維對(duì)接點(diǎn)更流暢自然，這樣不僅能使學(xué)生明白思維發(fā)展變化的規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心和能力，而且會(huì)獲得意想不到的效果.

一、“自然生成”的課堂案例

當(dāng)學(xué)生對(duì)（a+b+c）3-27abc≥0的證明陷入困境時(shí)，筆者適時(shí)提醒學(xué)生能否用“函數(shù)思想”解決問(wèn)題，這一提議立即得到學(xué)生的熱烈響應(yīng)，因?yàn)楹瘮?shù)是學(xué)生最熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且剛剛學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)更讓他們?cè)诤瘮?shù)問(wèn)題的處理上如虎添翼.學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求戰(zhàn)欲望，為本堂課后續(xù)的探究教學(xué)做好了充分的情緒鋪墊.我們順勢(shì)而為，另辟溪徑地完成了如下的解法：

不妨設(shè)函數(shù)f（x）=（x+b+c）3-27xbc（b＞0，c＞0，x＞0），

所以f（a）＞0，（a+b+c）3＞27abc成立.

得證f（a）=（a+b+c）3-27abc≥0（a，b，c∈R+）成立，當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

綜合（1）（2）得定理3成立.

這次成功的探索體驗(yàn)，解決了學(xué)生在課堂中自然生成的想法和疑惑，讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的作用，生動(dòng)地展現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用過(guò)程，也讓學(xué)生切身感受到學(xué)習(xí)過(guò)程中的“成功感”，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.這遠(yuǎn)比那種照本宣科、生搬硬套式地講授課本預(yù)設(shè)思路來(lái)得生動(dòng)、自然和高效！

二、“意想不到”的生成效果

這種自然生成的教學(xué)狀態(tài)讓筆者印象深刻，然而它所產(chǎn)生的后果很“嚴(yán)重”，它對(duì)學(xué)生影響之“深遠(yuǎn)”，在后續(xù)的高三復(fù)習(xí)中是筆者意想不到的.

（1）求F（x）=f（x）-g（x）的極值，并證明：若x1，x2∈（0，+∞），有f（x2）-f（x1）≥f′（x1）（x2-x1）.

（2）設(shè)λ1，λ2＞0，且λ1+λ2=1，x1＞0，x2＞0，證明：λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）.

若λi＞0，xi＞0，（i=1，2，…，n），由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需證明）.（3）略.

本題的關(guān)鍵是第（2）題的證明部分，參考答案為：

令x3=λ1x1+λ2x2，則x3＞0且

由（1）得

由λ1×①+λ2×②，得λ1f（x1）+λ2f（x2）-（λ1+λ2）f（x3）≥0，

即λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2）成立.

這種預(yù)設(shè)的解題思路技巧性強(qiáng)，解題前的思維探索過(guò)程復(fù)雜，對(duì)學(xué)生而言是不自然的，難以完成.而學(xué)生的思維方式有些讓筆者感到“意外”.

學(xué)生解：要證λ1f（x1）+λ2f（x2）≥f（λ1x1+λ2x2），即證λ1lnx1+λ2lnx2-ln（λ1x1+λ2x2）≤0，令h（x）=λ1lnx+λ2lnx2-ln（λ1x+λ2x2），

當(dāng)x∈（0，x2）時(shí)，h′（x）＞0；

當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，h′（x）＜0；

所以hmax（x）=h（x2）=0，即h（x）≤0，

所以結(jié)論成立.

案例2 （2013年某市四月調(diào)研考試第22題）（1）已知函數(shù)f（x）=（1+x）α-αx（x＞-1，0＜α＜1），求f（x）的最大值；

筆者在與學(xué)生的交流過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生這種自然生成的“函數(shù)思想”應(yīng)用意識(shí)，一方面與他們較扎實(shí)的函數(shù)知識(shí)有關(guān)，另一方面與筆者在教學(xué)過(guò)程幾次順勢(shì)而為的靈機(jī)觸發(fā)有很大的關(guān)系，其中就有前面談到的讓他們印象深刻的那堂課.“種瓜得瓜，種豆得豆”，筆者不經(jīng)意種下的“種子”，竟在某個(gè)時(shí)刻發(fā)芽了！

三、“茅塞頓開(kāi)”的感悟啟迪

1.教師要精心呵護(hù)、研究、培育學(xué)生自然生成的思想和方法，讓學(xué)生那些稚嫩的思維萌芽，有生存的土壤，有壯大的空間.讓數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程自然一點(diǎn)，再自然一點(diǎn)；讓師生的思維狀態(tài)貼近一點(diǎn)，再貼近一點(diǎn).在教學(xué)的預(yù)設(shè)和生成過(guò)程中，少一點(diǎn)“守”，多一點(diǎn)“放”；少一點(diǎn)“循舊”，多一點(diǎn)“出新”；少一點(diǎn)“假大空”，多一點(diǎn)“自然性”.

2.敬畏學(xué)生思維成長(zhǎng)的力量，做一個(gè)順勢(shì)而為的善導(dǎo)者.教師要與學(xué)生一起組成一個(gè)順勢(shì)而研的研究團(tuán)隊(duì)，讓學(xué)生思維的敏銳生長(zhǎng)狀態(tài)與教師的豐富經(jīng)驗(yàn)和開(kāi)闊眼界有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生學(xué)得通暢、不留疑惑，讓學(xué)生的思維呈現(xiàn)出生動(dòng)的勃發(fā)狀態(tài).

3.教師也是學(xué)習(xí)者.“自主合作學(xué)習(xí)”模式不應(yīng)只是學(xué)生間的自主合作學(xué)習(xí)，而應(yīng)是更高質(zhì)量的師生合作學(xué)習(xí).教師應(yīng)多關(guān)注、研究、整理學(xué)生自然生發(fā)出來(lái)的各種思路、想法，更多地尊重、理解學(xué)生思維產(chǎn)生的背景和過(guò)程，讓“金子”發(fā)光，讓“渣子”過(guò)濾，最后收獲的不僅是學(xué)生，可能更多的還是我們！