☉江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 陸建根

在人類的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，包括兩種不同類型的學(xué)習(xí)方式——“接受性學(xué)習(xí)”和“探究式學(xué)習(xí)”.“探究式學(xué)習(xí)”能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)與技能的形成與鞏固過程，經(jīng)歷思維的發(fā)展過程，經(jīng)歷問題的解決過程，從而將知識(shí)、技能、情感內(nèi)化為生命中的財(cái)富.“探究式學(xué)習(xí)”能使學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望得到激發(fā)，學(xué)習(xí)潛力得到拓展，真正成為知識(shí)建構(gòu)的“筑路者”，在積累直接經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力等方面有獨(dú)到之處.探究式學(xué)習(xí)需要探究式教學(xué)的引導(dǎo)，數(shù)學(xué)課堂采取探究式教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生在探究的過程中獲取知識(shí)形成的體驗(yàn)，更重要的是能為學(xué)生解決相關(guān)問題提供強(qiáng)有力的支撐，觸類旁通，舉一反三，并對(duì)后續(xù)發(fā)展產(chǎn)生影響.筆者依托自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)高中數(shù)學(xué)探究式教與學(xué)進(jìn)行了積極地探索，特作總結(jié)以供商榷.

一、類比求新，探求數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)結(jié)性

類比思維是依據(jù)兩個(gè)或兩類數(shù)學(xué)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同推演出其他方面也相似或相同的一種重要思維與推理方式.通過類比思維，在類比中聯(lián)想，可以達(dá)到創(chuàng)新知識(shí)、升華思維的目的.

圖1

圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)：有關(guān)類比遷移的研究表明，類比遷移是學(xué)習(xí)新技能、學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)、進(jìn)行科學(xué)發(fā)現(xiàn)和探索、培養(yǎng)創(chuàng)造性的一個(gè)重要途徑.這是因?yàn)閷W(xué)習(xí)不僅僅是簡單地增加新知識(shí)、掌握抽象規(guī)則，成功的學(xué)習(xí)經(jīng)常依靠我們從記憶中提取相關(guān)的知識(shí)和技能，并以此為出發(fā)點(diǎn)去學(xué)習(xí)新的知識(shí)和技能，即類比遷移.因此，類比遷移的研究必將為我們學(xué)習(xí)新知識(shí)和技能、教育的改革和發(fā)展提供重要的實(shí)踐意義和指導(dǎo)意義.

二、歸納求同，探求數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的廣闊性

從不同情境問題的解法中總結(jié)共同的原理，不僅能加深對(duì)定理的理解，強(qiáng)化定理的應(yīng)用，同時(shí)也較好地培養(yǎng)了學(xué)生有方向、有范圍、有條理的收斂性思維方式.

案例2 在《兩角和與差的正弦》教學(xué)中設(shè)計(jì)如下探究題：

題1：求sin 75°.

探究1：引導(dǎo)學(xué)生從題型角度思考（問題的表象）

探究2：從公式的字母意義角度思考（問題的表征）

探究3：從思維角度思考（問題的本征）

探究4：遷移到方程（問題的內(nèi)涵與外延）

點(diǎn)評(píng)：為挖掘公式、定理的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)中通過對(duì)上述題組的探究，從顯性到隱性再到自覺性的應(yīng)用，就能逐步深化，有效地加深學(xué)生對(duì)公式、定理的理解與運(yùn)用.教師在教學(xué)中通過引導(dǎo)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，最終探尋出問題生成、發(fā)展、延伸的“根”，讓學(xué)生很好地把握了問題的本質(zhì).

三、發(fā)散求異，探求數(shù)學(xué)問題解決的多樣性

發(fā)散性思維，又稱求異思維，它是一種從不同的方向、途徑和角度去設(shè)想，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法.發(fā)散性思維可以鍛煉學(xué)生思維視野的廣闊性，提高學(xué)生的創(chuàng)造力.

案例3 已知向量a=（cos θ，sin θ），向量b=（，-1），求的最大值與最小值.

方法1：通過對(duì)向量的平方求模的最值

方法2：利用模的不等量關(guān)系求模的最值

方法3：利用向量的幾何含義求模的最值

圖4

點(diǎn)評(píng)：傳統(tǒng)教育只強(qiáng)調(diào)聚合思維（集中思維、求同思維、正向思維），而不強(qiáng)調(diào)發(fā)散思維（求異思維、逆向思維、多向思維），這是有其深刻的教育思想根源的.聚合思維要求學(xué)生對(duì)一切問題的認(rèn)識(shí)理解都必須集中、統(tǒng)一到學(xué)科的理論體系和基本概念上來，其弊端是容易造成學(xué)生對(duì)書本、對(duì)教師、對(duì)權(quán)威的迷信，很難產(chǎn)生新的想法、新的思想.發(fā)散性思維，是一種從不同的方向、途徑和角度去設(shè)想，探求多種渠道，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法.沒有發(fā)散思維就不會(huì)有任何創(chuàng)造性的萌芽和創(chuàng)造性的成果，因此發(fā)散性思維可以鍛煉學(xué)生思維視野的廣闊性，提高學(xué)生的創(chuàng)造力.

四、變式求深，探求數(shù)學(xué)方法的完備性

變式是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.如果我們能對(duì)已有的例、習(xí)題進(jìn)行拓展、變式、引申，那么一方面可以培養(yǎng)學(xué)生積極思考的習(xí)慣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；同時(shí)也達(dá)到深化理解數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想的目的.

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)x=-1∈（0，1）時(shí)取等號(hào).

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等式號(hào).

點(diǎn)評(píng)：變式教學(xué)通過變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，但不改變問題的本質(zhì)，使本質(zhì)的東西更凸顯、更全面.變式教學(xué)注意從事物之間的聯(lián)系和矛盾上來理解事物的本質(zhì)，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學(xué)的內(nèi)容.

五、質(zhì)疑求真，探求數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性

教師以“認(rèn)知沖突”為誘因創(chuàng)造問題情境，揭示學(xué)生認(rèn)識(shí)上的矛盾，使之處于一種“心理失衡”狀態(tài)，促使學(xué)生為了達(dá)到新的“知識(shí)結(jié)構(gòu)平衡”，不得不去尋找探求新的理論和知識(shí)點(diǎn)，以彌補(bǔ)這種不穩(wěn)定的狀態(tài).這樣一方面可以糾正學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，另一方面可以對(duì)學(xué)生的心理智力產(chǎn)生刺激，喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也是知識(shí)建構(gòu)、思維縝密遞進(jìn)的需要.

圖5

結(jié)果顯示范圍擴(kuò)大了，為什么？

學(xué)生討論得出：由-3＜a＜-1-＜b＜-1，得-4-＜a+b＜-2-，擴(kuò)大了a+b的取值范圍.原因是什么呢？原來a，b是有聯(lián)系的，即a向-3靠近時(shí)，b并不是向-1-靠近.為此，求a+b的范圍還應(yīng)從a，b的關(guān)系入手，那么，a，b間存在什么樣的聯(lián)系呢？

由a2+b2=2-2（a+b）變形為（a+1）2+（b+1）2=4，即為圓的方程，從而產(chǎn)生如下解法：

圖6

設(shè)t=a+b，由線性規(guī)劃知識(shí)可得t∈（-2-2，-4），所以ab+a+b的范圍為（-1，1）.

解法2：（參數(shù)法）由（a+1）2+（b+1）2=4及（a＜b＜-1）可設(shè)

故ab+a+b=（a+1）（b+1）-1=2sin θ·2cos θ-1=2sin2θ-1，

所以得ab+a+b的范圍為（-1，1）.

解法3：（不等式法）由（a+1）2+（b+1）2=4＞2（a+1）（b+1），其中（a＜b＜-1），所以0＜（a+1）（b+1）＜2，而ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，所以ab+a+b的范圍為（-1，1）.

考慮到：由圖像可知，當(dāng)a向-3靠近時(shí)，b正好向-1靠近；同樣當(dāng)a向-1-靠近時(shí)，b正好也向-1-靠近，因而可得：

解法4：由-3＜a＜-1-＜b＜-1，得-2＜a-b＜0，

從而得ab+a+b的范圍為（-1，1），這樣使運(yùn)算過程簡捷，思維明了.

點(diǎn)評(píng)：思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)在能運(yùn)用唯物辨證觀點(diǎn)來觀察、分析事物，能用對(duì)立統(tǒng)一的觀點(diǎn)看問題，既要看到事物之間的對(duì)立，也要看到事物之間的統(tǒng)一和在一定條件下事物之間的相互轉(zhuǎn)化，既要看到事物的正面，也要看到反面.唯物辯證法作為馬克思主義哲學(xué)的宇宙觀、方法論，是使人類思維具有全面性、深刻性和洞察力的根本保證，因此，在整個(gè)思維過程中只有運(yùn)用唯物辨證觀點(diǎn)作指導(dǎo)，才有可能使人類的基本思維形式最有效地滿足思維目的的要求.

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，能動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并得到全面的發(fā)展.數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)是激發(fā)學(xué)生潛能，教會(huì)學(xué)生思考，讓學(xué)生變得聰明，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，具有創(chuàng)新品質(zhì)，具備數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).