☉湖北省潛江市江漢油田高級中學(xué) 舒云水

先介紹筆者在文［1］給出的兩個(gè)結(jié)論：

得出上面兩個(gè)結(jié)論后，筆者感到意猶未盡，繼續(xù)探究，得出了許多二項(xiàng)式系數(shù)的值，其中有幾個(gè)特殊數(shù)引起了筆者的好奇與注意，它們是：

由上面二項(xiàng)式系數(shù)可以構(gòu)成下面五組等差數(shù)列：

第2、3、4、5組等差數(shù)列背后是否像第1組一樣背后隱藏著一般的規(guī)律呢？提出4個(gè)問題：

經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)上面4個(gè)問題都有無數(shù)組解，可以求出通解.得到下面4個(gè)結(jié)論：

化簡整理得n=3k+2.

化簡整理得n2-3（k+1）n+k2+2=0，

因?yàn)?（k+1）與5k2+18k+17的奇偶性相同，當(dāng)5k2+18k+17為完全平方數(shù)時(shí)，n為正整數(shù)，滿足要求.

設(shè)5k2+18k+17=y2（k∈N*，y∈N*），變形得：

令5k+9=x，上面方程變?yōu)椋?/p>

方程①為類pell方程，根據(jù)文［2］知方程①的正整數(shù)解為

下面給出筆者求出的前十組解：

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同樣，可以得到結(jié)論5，6.

證：設(shè)m=2t，t∈N，t≥2，

感謝同事吳有明、陳雷兩位老師對本文研究的幫助！

2.趙玉博，郝保國.pell方程遞歸解的冪型因子性質(zhì)及其在不定方程中的應(yīng)用.首屆（2008.12.24）丘成桐中學(xué)生數(shù)學(xué)獎(jiǎng)銅獎(jiǎng)?wù)撐?