☉江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 王廣余（特級(jí)教師）

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，選擇課本中的典型例題（或習(xí)題），恰當(dāng)實(shí)施探究與拓展是新課程背景下富有實(shí)效的創(chuàng)新教學(xué)，是提高學(xué)生思維水平、追求高效課堂的重要途徑，是變“教教材”為“用教材”、變“教結(jié)論”為“教過程”、創(chuàng)造性地使用教材的根本體現(xiàn).下面呈現(xiàn)給大家的正是筆者研讀教材、悉心備課時(shí)，對(duì)一道不等式證明題進(jìn)行變式探究、拓展創(chuàng)新的過程.

題目：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（蘇教版）選修2-2第84頁練習(xí)第3題（直接證明與間接證明練習(xí)題）：

一、剖析原題證法，為后繼猜想奠基

由于要證的不等式是四個(gè)無理數(shù)的和式，用綜合法證明感覺困難，因而課本采取了分析法證明：

若注意到3-2=6-5的特點(diǎn)，可得到如下簡(jiǎn)捷證法：

二、關(guān)注原題特征，猜想一般結(jié)論

題目看似簡(jiǎn)單，但證明后總覺意猶未盡，從證法2可知隱含條件 3-2=6-5（即 2+6=3+5）及 2＜3＜5＜6 起到了關(guān)鍵作用，由此我們可想到把不等式一般化，猜想其一般結(jié)論.

即ad＜bc.

令a+d=b+c=k＞0，

則ad-bc=a（k-a）-b（k-b）=（a-b）［k-（a+b）］，

由a+b＜a+d=k，知k-（a+b）＞0，又a-b＜0，

所以ad＜bc，故原不等式成立.

證法 3：同證法 2，即證ad＜bc，令b-a=d-c=t＞0，得

ad-bc=（b-t）（c+t）-bc=（b-c）t-t2，

因b-c＜0，故ad-bc＜0，即ad＜bc，

故原不等式成立.

證法4：由a+d=b+c平方得a2+2ad+d2=b2+2bc+c2，

（a2+d2）-（b2+c2）=（a+b）（a-b）+（d+c）（d-c）

由題設(shè)知a-b=c-d＜0，a+b-d-c=（a-c）+（b-d）＜0，

故（a2+d2）-（b2+c2）=（a-b）（a+b-d-c）＞0，

2（bc-ad）=（a2+d2）-（b2+c2）＞0，即ad＜bc，故原不等式成立.

證法 5：同證法 1，即證ad＜bc，令a+d=b+c=2k，a=kt1，d=k+t1，

b=k-t2，c=k+t2，由a＜b＜c＜d知t1＞t2＞0，

ad=k2-2-，故原不等式成立.

證法 6：同證法 1，即證ad＜bc，由于 0＜a＜b＜c＜d，故只

故原不等式成立.

三、拓寬思維途徑，深化結(jié)論形式

猜想1的六種證法都是從欲證不等式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，通過變更形式，并結(jié)合分子有理化、平方作差、引參換元等手段使問題得證，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的重要作用.但六種方法有一個(gè)共同特點(diǎn)，即它們都得益于條件等式a+d=b+c的有效應(yīng)用.因此，數(shù)學(xué)問題的求解與論證中，條件的運(yùn)用是至關(guān)重要的.深入剖析等式a+d=b+c形式，它與等差數(shù)列有著內(nèi)在的聯(lián)系，由此可得到如下的猜想：

注意到等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m+n=k+l時(shí)am+an=ak+al成立，故只需證

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＞0，公差為d≠0.

法 1：aman-akal=［a1+（m-1）d］·［a1+（n-1）d］-［a1+（k-1）d］·［a1+（l-1）d］=［（m+n-2）-（k+l-2）］a1d+［（m-1）（n-1）-（k-1）（l-1）］d2.

因?yàn)閙+n=k+l，所以由猜想1證法2知mn＜kl，

所以am an-akal=（mn-kl）d2＜0，所以am an＜ak al，

若改等差數(shù)列為等比數(shù)列，通過類比我們又可得到：

注意到等比數(shù)列{an}中，當(dāng)m+n=k+l時(shí)aman=akal成立，故只需證am+an＞ak+al.

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＞0、公比為q＞0，且q≠1.

由m+n=k+l知n-l=k-m，故有

若q＞1，則由k-m＞0，l-m＞0 得qk-m＞1，ql-m＞1，從而（1-qk-m）（1-ql-m）＞0；

若 0＜q＜1，同理可得（1-qk-m）（1-ql-m）＞0，

所以am+an＞ak+al，

若深入思考，類比聯(lián)想，可進(jìn)一步探究等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到：

猜想4：設(shè){an}是正項(xiàng)等差數(shù)列，公差不為零，其前n項(xiàng)和為Sn.若正整數(shù)m，k，l，n滿足：m+n=k+l且m＜k＜l＜n，則Sm Sn＜SkSl.

證明：由等差數(shù)列的求和公式知要證SmSn＜SkSl，

即證mn（a1+am）（a1+an）＜kl（a1+ak）（a1+al）.

因?yàn)閙+n=k+l且m＜k＜l＜n，

所以由猜想1的證法2可知mn＜kl，只需證

（a1+am）（a1+an）＜（a1+ak）（a1+al）.

又因?yàn)閍m+an=ak+al且aman＜akal，

所以（a1+am）（a1+an）-（a1+ak）（a1+al）=am an-akal＜0，

由此可知SmSn＜SkSl成立.

猜想5：設(shè){an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，公比不為1，其前n項(xiàng)和為Sn.若正整數(shù)m，k，l，n滿足：m+n=k+l且m＜k＜l＜n，則Sm Sn＜SkSl.

證明：由等比數(shù)列的求和公式得

因?yàn)閙+n=k+l且m＜k＜l＜n，

所以由猜想 3 知am+an＞ak+al且qm+n=qk+l，

從而有SmSn-SkSl＜0，即SmSn＜SkSl.

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材在“以人為本”這一新課程核心理念的引領(lǐng)下，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了多元化、多層次、有梯度、有意義的選擇資源，也為教者增添了擴(kuò)充拓展、變式出彩的教學(xué)空間，因此教材中具有豐富的可供變式探究、拓展深化的素材，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們應(yīng)充分運(yùn)用這些素材，有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生開展自主探索，通過一題多解達(dá)到追求簡(jiǎn)潔結(jié)果、優(yōu)化解法的目的，通過一題多變達(dá)到舉一反三、觸類旁通、促進(jìn)良好遷移之功效.