☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級中學(xué) 賈 軍

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湖南省2013年高考數(shù)學(xué)理科試題中第8題，是一道考查考生綜合運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造性地解決問題的典型題目，涉及解析法、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法，涉及直線的方程、斜率、兩條直線的垂直、三角形的重心公式、解不等式及光的反射的應(yīng)用，還考查考生對陌生問題靈活轉(zhuǎn)化的遷移能力，是一道能起到高考選拔功能的提高區(qū)分度的好題.

題目 1：（2013年湖南理 8題）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點P（如圖1）.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則AP等于（ ）.

圖1

一、試題求解

分析：題設(shè)條件有：①命題的背景在等腰直角三角形ABC中；②△ABC的重心G；③動點P及P決定的Q、R分別在線段AB、BC、CA上；④∠PQB=∠CQR，∠QRC=∠ARP；⑤RQ過定點G.

待求（目標(biāo)）：AP的長度.

顯然，動點P確定后，根據(jù)條件④，點Q、R唯一確定.條件中的④⑤是解題的關(guān)鍵.條件④與如何翻譯和應(yīng)用直接影響到如何解題.

思路一：解析法——合理建系求坐標(biāo)

看到三角形的重心G，易想到：如果建立坐標(biāo)系，則用三角形的重心坐標(biāo)公式易求出重心G的坐標(biāo)，然后設(shè)出RQ的方程，與AC、BC所在直線的方程聯(lián)立求得點R、Q的坐標(biāo)（與RQ的斜率k有關(guān)），而點P坐標(biāo)的求得就需要條件④的應(yīng)用了.由條件④中“∠QRC=∠ARP”得到RQ與RP的斜率是互為相反數(shù)，從而求得P的坐標(biāo)（與RQ的斜率k有關(guān)）；條件④實際上是光的反射原理的變形，設(shè)∠RPA=θ，則∠PRA=90°-θ=∠QRC，于是結(jié)合等腰直角三角形得∠CQR=45°+θ=∠PQB，從而∠BPQ=90°-θ，所以∠RPQ=90°，即PQ⊥PR.至此，構(gòu)造方程求出k，進(jìn)而求得AP.

圖 2

思路二：平幾法——光的反射與對稱

題設(shè)中光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射，又回到點P，光的反射與數(shù)學(xué)中的對稱是密切相聯(lián)的，從對稱的角度入手，思考反射和重心的應(yīng)用，即條件④⑤的應(yīng)用.

解析2：（如圖3）作出三角形ABC的重心G關(guān)于BC的對稱點G′，P關(guān)于AC的對稱點P′，再作點P′關(guān)于BC的對稱點P″，則P、G′、P″三點共線.作A關(guān)于BC的對稱點D，則A、G、G′、D四點共線，B、D、P″三點共線，PP″與BC的交點為Q，與CD的交點為R關(guān)于BC的對稱點R′.

圖3

注：m=0時，光線從點A出發(fā)，經(jīng)過BC的反射回到A，此時點P、R與A重合，雖然也經(jīng)過三角形ABC的重心G，但與所畫的圖不相符合.與解析1中的k=1情形相同.那么解析1中的k=-1是什么情形？此時，點P在線段BA的延長線上，點Q不存在（在無窮遠(yuǎn)處），也不合題意.

對解析1、解析2可做改進(jìn).既充分運用光的反射與對稱的關(guān)系，又引入坐標(biāo)系，得：

圖4

圖5

二、試題變式

不改變題目的條件，改變設(shè)問的方式，得到

變式1：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點P.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則三角形PQR的周長等于（ ）.

變式2：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點P.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則三角形PQR的面積等于（ ）.

變式3：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點P.若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則 tan∠QPB=（ ）.

不改變題目的背景——等腰直角三角形，去掉RQ經(jīng)過三角形ABC的重心，得到：

變式4：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點P.則三角形PQR周長的范圍是（ ）.

不改變題目的背景——等腰直角三角形，將重心換成內(nèi)心，得到：

變式5：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點P.若光線QR經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，則AP的長為（ ）.

由變式5，可以看到三角形的重心、內(nèi)心并不是命題的本質(zhì)，該題目中的定點只要在三角形內(nèi)部即可.更一般地，得到：

變式6：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到原點P.若光線QR經(jīng)過△ABC內(nèi)的定點M（a，b），則AP的長為________.

為便于計算，可取定點在y=x上，這樣可得到許多非常好的命題.

不改變背景——等腰直角三角形，考查命題的逆命題，得到：

簡證：由解析4，求得點P關(guān)于BC、AC的對稱點坐標(biāo)，證P′、G、P″三點共線.

不改變背景——等腰直角三角形，去掉三角形的重心，改變反射的次數(shù)，得到：

變式8：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，如果光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點P（如圖1），那么稱第一次返回P；如果光線從點P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后到達(dá)線段AB上點P1（不與P重合），再經(jīng)過BC、CA的反射，又回到P（如圖6），那么就稱第二次返回P；……

圖6

（1）若第二次返回P，則AP的長的范圍是________.

（2）若第n次返回P，則AP的長的范圍是________.

本題答案請讀者朋友一起探討.

三、試題探源

2013年的光線反射問題，是2012年全國大綱版理科第12題（以反彈的角度命題）的再創(chuàng)造，可以將2012年全國大綱版理科第12題看作是2013年湖南高考試題的“源”.再向前探源，還有2003年全國高考數(shù)學(xué)理科第10題（文科11題）.

A.16 B.14

C.12 D.10

圖7

圖8

另解：如圖8，根據(jù)光學(xué)原理，入射光線與反射光線關(guān)于鏡面的對稱光線在同一條線上，故題設(shè)相當(dāng)于直線EF與小正方形邊長的交點個數(shù)問題.要尋找直線EF與某小正方形的一個水平邊的交點（首次分為3∶4兩部分），數(shù)一下交點個數(shù)為14，故當(dāng)點P首次回到E時，與正方形的邊碰撞了14次，選B.

題目3：（2003年全國高考理科第10題）如圖9，已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角），設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若 1＜x4＜2，則 tanθ的取值范圍是（ ）.

圖9

解析：根據(jù)對稱性作圖，如圖10，

圖10

以上題目的解答都充分重視了對稱性的運用，這是由光的特性決定的，而且，應(yīng)用對稱性求解是較快的方法.

在教材中，也有光線的反射入射問題.

蘇教版必修2第94項習(xí)題2.1（3）中第15、16題，都是有關(guān)光線的反射入射問題.

題目 4：已知光線通過點A（2，3），經(jīng)過x軸反射，其反射光線通過點B（5，7），求入射光線和反射光線所在直線的方程.

題目 5：已知光線通過點A（2，3），經(jīng)過直線x+y+1=0反射，其反射光線通過點B（1，1），求入射光線和反射光線所在直線的方程.

選修2-1中也涉及光線的反射問題（在研究或介紹圓錐曲線的性質(zhì)）.

可見，這道高考題，教材中也有其“源”.

從以上的內(nèi)容可以看出，研究教材、研究歷年的高考試題，對我們的高中教學(xué)有著重要的意義.高考是高中教學(xué)的指揮棒，教材是高考命題的重要參考，重視教材與歷年高考試題的研讀，必有助于高中的教學(xué)活動.