☉江蘇省蘇州市第四中學(xué) 陳廣山

數(shù)學(xué)教學(xué)是教師引導(dǎo)（指導(dǎo)）下學(xué)生的學(xué)習(xí)過程．這個(gè)過程學(xué)生學(xué)什么？在1982年舉行的第四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME4，美國）上，波利亞做了題為“數(shù)學(xué)有助于思考”的報(bào)告．在報(bào)告中，他強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)最重要的目的是學(xué)會(huì)更聰明的思考問題．眾所周知，學(xué)生認(rèn)知有不同的水平和層次．而范希爾（VanHiele，1986）通過多年的實(shí)踐和研究認(rèn)為，思維層次的發(fā)展不是自然而然的，學(xué)生只有通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)才能依次從較低層次過渡到較高層次．因此，為了學(xué)生“學(xué)會(huì)更聰明的思考問題”，發(fā)展學(xué)生高層次認(rèn)知能力，在教學(xué)活動(dòng)過程中必須引起學(xué)生積極主動(dòng)的思考，特別是有條理的思考，從而實(shí)現(xiàn)思維水平向更高層次發(fā)展的目標(biāo)．正如教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出的那樣：“……數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有特殊的地位，……它使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理……”說明思考有條理不僅是衡量思維能力的一個(gè)重要因素，也是數(shù)學(xué)教學(xué)重要任務(wù)之一．

當(dāng)然，許多因素會(huì)影響學(xué)生思考的條理性，包括個(gè)人、環(huán)境與文化傳統(tǒng)方面的因素，課程和教學(xué)方面的因素等．本文擬在課堂教學(xué)中“思考有條理”的培養(yǎng)策略方面作一些探討，以拋磚引玉．

一、整節(jié)課的流程設(shè)計(jì)要合理，主線要清晰流暢

在實(shí)際教學(xué)中，常?？吹接行?shù)學(xué)課每個(gè)情境都很精彩、每個(gè)例題講得都很透徹、學(xué)生活動(dòng)一個(gè)接一個(gè)、基本理論分析也很清楚，但課后，學(xué)生總有在云里霧里的感覺，不知道目標(biāo)是什么，整節(jié)課的線索是什么，由于學(xué)生一直被牽著走，有種“堆砌”“凌亂”感，覺得不順暢．

例如，在《幾何概型》的教學(xué)中，經(jīng)?？吹饺缦碌慕虒W(xué)設(shè)計(jì)：

“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了古典概型，但是現(xiàn)實(shí)生活中，常常會(huì)遇到試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，這時(shí)就不能用古典概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率了，我們可以用幾何概型來計(jì)算事件發(fā)生的概率”．……“我們舉個(gè)例子來說明相應(yīng)概率的求法”……．解決這個(gè)例子，并給出幾何概型的定義和概率計(jì)算公式．最后鞏固練習(xí)．

該設(shè)計(jì)流程主線為：?jiǎn)栴}（告知）→舉例說明→產(chǎn)生新理論→鞏固練習(xí)．這樣的教學(xué)雖然學(xué)生能夠靠模仿去解決問題，但教學(xué)中出現(xiàn)的諸如：?jiǎn)栴}產(chǎn)生的“突?！?、理論生成的“斷層”等現(xiàn)象，使得學(xué)生更多的是被告知、進(jìn)行操作模仿，這種重視數(shù)學(xué)知識(shí)本身的價(jià)值而忽視知識(shí)產(chǎn)生的過程、思維活動(dòng)的過程價(jià)值的教學(xué)，本身是枯燥無味的、“冰冷”的，與新課程理念相悖，數(shù)學(xué)的教育價(jià)值很低，壓制了學(xué)生“火熱”的思考．

研究指出：組織教學(xué)內(nèi)容時(shí)，教師根據(jù)不同對(duì)象的發(fā)展水平，有步驟的提高所呈現(xiàn)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)化程度，組織好從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的有序積累過程是提高知識(shí)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化效率的基礎(chǔ)［1］．也就是說，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要充分考慮數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯順序（也包括知識(shí)的背景）、考慮數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)的自然向上的態(tài)勢(shì)（所學(xué)知識(shí)如何產(chǎn)生、怎樣建構(gòu)、如何運(yùn)用）和學(xué)生的心理情感發(fā)展的特點(diǎn)，對(duì)教材上提供的材料和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行反復(fù)梳理，把這些素材的組織和調(diào)用與學(xué)生的思維層次的整體發(fā)展和不斷提高協(xié)調(diào)整合起來，不斷優(yōu)化整體流程設(shè)計(jì)．這表明，教學(xué)設(shè)計(jì)要有一條，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由低級(jí)到高級(jí)、結(jié)構(gòu)科學(xué)、流暢自然、條理清晰、方向明確的主線，這條主線要協(xié)調(diào)好各個(gè)要素的關(guān)系，這樣學(xué)生才能注意到問題是怎么提出來的、怎樣分析和怎樣解決的，才能更積極主動(dòng)地、興趣盎然地參與教學(xué)活動(dòng)過程．具體的說，在備課時(shí)，應(yīng)注重分析學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和生活經(jīng)驗(yàn)，在引入新課時(shí)，深入思考以下問題：運(yùn)用什么樣的例子、采用什么樣的的方式和方法提出問題？在新知識(shí)和新理論教學(xué)時(shí)，要為學(xué)生搭建怎樣的“腳手架”？如何恰當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥鋪墊？學(xué)生探究問題時(shí)可能出什么情況？例題如何組織？使用什么樣的變式？如何練習(xí)鞏固？如何反思？等等．只有當(dāng)學(xué)生獲得了有條理的教學(xué)事件，思考才能有條理，才能保證思維的參與度，才能保證思維不斷向高層次發(fā)展.基于上述觀點(diǎn)，將教學(xué)流程設(shè)計(jì)為：情境→提出問題→嘗試解決→驗(yàn)證→生成理論→運(yùn)用→反思提高.整體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

情境一：（1）已知M={0，1，2，3}，若從M中任意取出一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不大于1的概率是多少？［回顧舊知，思維起點(diǎn)］

（2）若M=［0，3］，則從M中任意取出一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不大于1的概率是多少？［條件簡(jiǎn)單變化，產(chǎn)生新的問題，激發(fā)新的思考，思維活動(dòng)真正開啟］

提出問題：對(duì)于（2）能否用古典概型的方法求概率？為什么？這個(gè)問題與古典概型相比有什么異同？［很自然的一些問題，分析比較中，思維活動(dòng)向前推進(jìn)］

學(xué)生活動(dòng)：歸納抽象新模型的特征，并探求解決方法，并與大家交流感受.［明確了問題的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)舊模型的方法不適用，而新模型的解法在直覺中、對(duì)生活的感悟中和同學(xué)之間的交流中慢慢成形，一種解決問題的方案（或者說是假設(shè)）形成了.學(xué)生的思維在碰撞中，不斷深入，火花迸出］

情境二：取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子，豆子落入圓內(nèi)的概率是多少？師生一起用剛才的方法嘗試解決問題.［增加認(rèn)同感，為更加深刻的思維活動(dòng)（綜合和抽象）做鋪墊］

提出問題：這種新方法是否真的合理？怎么檢驗(yàn)？通過計(jì)算機(jī)模擬，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，用隨機(jī)事件的頻率估計(jì)概率.［理性告訴我們，大家都認(rèn)同的也未必靠得住，必須對(duì)即將形成的理論的科學(xué)性做出判斷和評(píng)價(jià)，這種警示又表明思維活動(dòng)達(dá)到更高水平了（思維監(jiān)控）；當(dāng)然這里又經(jīng)歷了一次提出問題、分析問題和解決問題的過程，這種思維活動(dòng)的嵌套說明了思維的復(fù)雜性］

建構(gòu)數(shù)學(xué)：驗(yàn)證成立，上升為理論，歸納總結(jié)計(jì)算這種新模型的概率的方法.［通過提出問題、分析問題、提出假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)等一系列有條理的思維過程，產(chǎn)生思維成果，解決了開始所提出的問題，感受思維活動(dòng)的快樂！］

數(shù)學(xué)運(yùn)用：

例1 在1升高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10毫升，含有麥銹病種子的概率是多少？［學(xué)生認(rèn)識(shí)到基本事件形成的區(qū)域也可能是立體圖形，對(duì)應(yīng)的測(cè)度是體積，完善對(duì)幾何概型的認(rèn)識(shí)］

例2 在直角三角形ABC中，∠CAB=60°，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率.

變式：過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM小于AC的概率.［學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決幾何概型的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)基本事件，及基本事件形成的區(qū)域］

［在實(shí)踐中進(jìn)一步檢驗(yàn)、完善和深化，達(dá)到了更深層次的探索和理解數(shù)學(xué)的作用，對(duì)新理論有了系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)］

二、問題解決過程中的啟發(fā)引導(dǎo)要自然有序

數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的必然產(chǎn)物，解決問題又是思維活動(dòng)的動(dòng)力和目標(biāo).張乃達(dá)先生將解決問題的過程分成如下幾個(gè)層次：一般性解決，功能性解決，特殊性解決（一般性解決和功能性解決統(tǒng)稱概略性解決）.我們知道，當(dāng)人們?cè)诮鉀Q一個(gè)生疏的問題時(shí)，總力求逐步縮小探索的范圍，分層次的探求解決問題的方法和步驟.即解決問題的過程是按照“一般性解決→功能性解決→特殊性解決”的順序分層推進(jìn)的，這也應(yīng)是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維進(jìn)程.為了不讓學(xué)生對(duì)解決問題過程產(chǎn)生“強(qiáng)加”、“灌輸”的感覺，教師必須順應(yīng)這種思維進(jìn)程做好啟發(fā)引導(dǎo).

第一步：停下來想.

師：看來大家不會(huì)做，大家不妨停下筆，想一想，疑惑在哪里？

第二步：后退一步.

師：對(duì)呀，有兩個(gè)未知量，那怎么辦？［后退一步，從一個(gè)更為一般性的層面去審視問題，辨別問題所面臨的類型］

生：對(duì)了，列方程組.［可以看到原來的問題只是一個(gè)更大的問題中的一部分，已經(jīng)延伸到一個(gè)新的問題了，這就是在退后一步發(fā)生的.從思維進(jìn)程看現(xiàn)在已經(jīng)是概略性解決問題了］

第三步：重構(gòu)問題.

不過，接下來學(xué)生還感到困難，我還按照剛才的順序進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo).

師：看看題目中還有什么？［停下來想］

生：“任意實(shí)數(shù)x，都成立”，重點(diǎn)在“任意”上.

師：“任意”一詞在生活中是什么意思？［后退一步］

生：“所有”，“每一個(gè)”，“無一例外的”.

生：老師，我懂了，我知道怎么再列一個(gè)方程了.

可以看出，按這種思維進(jìn)程的順序提出恰當(dāng)?shù)膯栴}，可以自然地讓學(xué)生從具體問題中先退出來，站在更高的位置、更一般性的層面審視問題，先回答解決問題或靠近目標(biāo)的方式是什么.這樣有條理的啟發(fā)引導(dǎo)不僅實(shí)現(xiàn)了按正確的步驟解決問題，也成為了培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法（如案例中的方程和方程組思想，由一般到特殊的思想）的一種重要手段.由于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)具有較強(qiáng)的個(gè)體性和獨(dú)立性，啟發(fā)性提示語必然是動(dòng)態(tài)的，因此啟發(fā)引導(dǎo)應(yīng)強(qiáng)調(diào)追求自然的原則：由遠(yuǎn)及進(jìn)，先宏觀再微觀.只有啟發(fā)性提示語之間自然銜接、富有層次，才能讓不同思維水平的學(xué)生都能受到相應(yīng)的啟發(fā)，從而使思維齒輪在啟發(fā)性提示語的潤(rùn)滑下形成良性運(yùn)轉(zhuǎn).

三、以追問逼反思，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)有條理的思考

其實(shí)很多學(xué)生在面臨一個(gè)題目時(shí)，總是想直接給出具體解題方法，或陷在幾種具體方法中嘗試，而不是習(xí)慣于先找到一個(gè)概略性解題方案，因而常常會(huì)引起思維的混亂.如何讓學(xué)生走出困境，理順關(guān)系？在教學(xué)中可通過追問讓學(xué)生暴露思維過程.

生1：把兩個(gè)式子都展開.

生2：不行，應(yīng)配湊角.

這實(shí)際上已經(jīng)是功能性解決方案了，上面的一般性解決的思維環(huán)節(jié)已經(jīng)被簡(jiǎn)約掉了.這時(shí)教師應(yīng)該追問：為什么要配湊角？配湊的目的是什么？問題逼著學(xué)生反思，讓他回到前一個(gè)思維層次（即一般性解決）中去.

生2：配湊角是為了找到所求角與已知角的關(guān)系.

師：為什么找到所求角與已知角的關(guān)系？

生2：依據(jù)三角公式可由角的關(guān)系得到他們?nèi)呛瘮?shù)值的關(guān)系.

原來配湊角的目的是創(chuàng)造運(yùn)用三角公式的條件，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的、已經(jīng)會(huì)解決的問題.那么配湊角能不能成功呢？這取決于下一個(gè)問題：怎樣配湊？這已經(jīng)是特殊性解決的問題了.

通過追問，逼學(xué)生先確定一個(gè)概略性解決的方案，有了這個(gè)方案，具體的解題操作就有了方向，避免了盲目性；通過追問，復(fù)原了“一般性解決→功能性解決→特殊性解決”的思維過程，引導(dǎo)他們按照行之有效的方式思考；通過追問，強(qiáng)化了學(xué)生在現(xiàn)實(shí)中有序而理性解決問題的觀念.

四、一些思考

對(duì)學(xué)生而言，學(xué)了多少知識(shí)，學(xué)了哪些知識(shí)往往會(huì)隨著時(shí)間的流逝而不斷流逝，但在他們腦海深處留下來的而又終身受用的就是思維方式和思考習(xí)慣.由于數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)、問題解決過程、學(xué)生認(rèn)知水平發(fā)展的有序性，數(shù)學(xué)教學(xué)就是思維活動(dòng)的教學(xué)等方面的原因，使得數(shù)學(xué)課堂成為培養(yǎng)學(xué)生有條理思考的主陣地之一.我們不僅可以在課堂上通過問題解決、啟發(fā)引導(dǎo)、反思等形式來培養(yǎng)學(xué)生有條理思考的習(xí)慣，也可以在板書的條理性、語言表達(dá)的條理性等方面給學(xué)生以熏陶.需要指出的是，我們注重有條理的思考，也不會(huì)忽視直覺、創(chuàng)造性思維的重要性.雖然在現(xiàn)實(shí)中我們并不都是有條理地思考問題，但它卻在背后指導(dǎo)我們.

1.顧泠沅.教學(xué)改革的行動(dòng)與詮釋［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)［M］.南京：江蘇教育出版社，1990.