☉浙江省杭州第十一中學(xué) 蔡小雄（特級教師）

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)離不開問題和解，習(xí)題是“問題和解”的主要載體，習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié).通過習(xí)題教學(xué)可以幫助學(xué)生鞏固知識、糾正偏差、強化技能、提高思維能力.思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心.筆者認為，啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要.教師應(yīng)該在習(xí)題教學(xué)中，注重啟迪思維，完善學(xué)生的思維品質(zhì).

蘇霍姆林斯基曾告誡我們：“讓學(xué)生體驗到一種自己親自參加與掌握知識的情感，乃是喚起少年特有的對知識的興趣的重要條件.”啟迪思維就是要喚起學(xué)生的求知欲望，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使其快樂學(xué)習(xí)、“高思維量”地學(xué)習(xí).

一、整體把握，重視系統(tǒng)思維能力

系統(tǒng)思維是指以系統(tǒng)論為思維基本模式的思維形態(tài)，在分析和處理問題的過程中，始終從整體出發(fā)，把整體放在第一位.

在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中運用系統(tǒng)思維，就是要求我們應(yīng)著眼在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)編選習(xí)題，系統(tǒng)地設(shè)計習(xí)題的考查目標(biāo)、知識覆蓋、題型題量、難度情況，做到適量適度，恰到好處，讓學(xué)生跳一跳就可摘得到.

如對于簡單知識的鞏固，可選擇有針對性的習(xí)題“對號入座”；對于較復(fù)雜、較綜合的知識與技能的鞏固與訓(xùn)練，則應(yīng)遵循循序漸進的原則，先分解成簡單的，然后再過渡到復(fù)雜的、綜合的技能訓(xùn)練.圍繞目標(biāo)要求，可把眾多的題目歸類、整理，設(shè)計成有序性的復(fù)習(xí)題組.對于某些重點知識，可以從多個側(cè)面選配習(xí)題，促進學(xué)生對重點知識的理解，獲得有關(guān)的解題技能.選題的內(nèi)容、形式與解題方法要盡量體現(xiàn)多樣性.

對于同一道題的解答，也可發(fā)揮系統(tǒng)思維的優(yōu)勢，從整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，巧妙過渡，準(zhǔn)確尋得解題突破口.下面以知名大學(xué)的自主招生題為例.

二、問題驅(qū)動，形成辯證思維能力

辯證思維是指以變化發(fā)展的視角認識事物的思維方式.辯證思維是對思維對象作多方面、多角度、多側(cè)面、多方位的考察的一種觀點方法，是唯物辯證法在思維中的運用.習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)辯證思維就是要求我們在觀察問題和分析問題時，以動態(tài)發(fā)展的眼光來看待學(xué)生，看待課堂教學(xué)，強調(diào)課堂教學(xué)方式的非預(yù)設(shè)性、教學(xué)路徑的非直線性和教學(xué)內(nèi)容的開放性等.

具體表現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容上，要實行多樣化的、具有彈性的課程結(jié)構(gòu)，突破知識壁壘，向所有相關(guān)知識開放，實行問題驅(qū)動、整合教學(xué).在教學(xué)方法上，要從學(xué)生的元認知出發(fā)，巧妙設(shè)問，優(yōu)化組合各種教學(xué)方法，辯證統(tǒng)一，啟迪思維.

三、輻射拓展，提高發(fā)散思維能力

發(fā)散思維又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維.它是從一點出發(fā)，運用已有的基礎(chǔ)理論進行發(fā)散聯(lián)想，追求多樣性的解題方法和答案，并可以由此及彼、由表及里、觸類旁通，它的本質(zhì)是活躍學(xué)生思維、拓寬學(xué)生視野，引導(dǎo)學(xué)生在問題的深度和廣度上進行探索.發(fā)散思維具有求異性、探索性、多發(fā)性等特點.

習(xí)題課教學(xué)是課堂教學(xué)的補充和深化，它的內(nèi)容應(yīng)是豐富多彩的，不受教學(xué)內(nèi)容、教材的限制，教學(xué)方法應(yīng)是靈活多樣的，如解題方法的探索，可以鼓勵學(xué)生一題多解、巧解，也可以鼓勵學(xué)生拓寬思維，嘗試一題多變、一題多用，引導(dǎo)學(xué)生通過改變敘述方式、數(shù)量關(guān)系、設(shè)問角度或因果關(guān)系、已知條件、題目類型等形式，從比較中尋找一類題的解題規(guī)律，促使學(xué)生從順、逆、側(cè)等不同角度去思考問題，有效地訓(xùn)練學(xué)生思維的完備性、深刻性和創(chuàng)造性.

四、創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)直覺思維能力

數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性離不開直覺思維.直覺思維活動本質(zhì)上就是一種潛意識與顯意識之間相互作用、相互貫通的整體性創(chuàng)造過程.夸美紐斯有個重要觀點，就是一切知識生于感覺，一切知識都是從感官的知覺開始的.美國心理學(xué)家布魯納認為在學(xué)習(xí)的過程中，提出假設(shè)的階段主要依賴于直覺思維的作用.直覺思維的主要形式有直覺判斷、直覺猜測等.直覺思維能力的高低，很大程度上決定于學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗和觀察、思維的能力程度.一般說來，知識廣博、經(jīng)驗豐富、觀察力強、思維靈活迅速的學(xué)生，其直覺思維能力較強.

習(xí)題教學(xué)就是要通過創(chuàng)設(shè)情境，喚醒學(xué)生的智慧，鼓勵學(xué)生認真觀察，大膽猜想.然而，實際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生急于求成，一拿到題就急于動手，往往不得要點，久攻不下.事實上，有些問題只要抓住問題的特點，洞悉問題的本質(zhì)，就可快速解決.

如“求所有非負直角三角形ABC，使得tanAtanBtanC≤［tanA］+［tanB］+［tanC］，其中［x］表示不超過x的最大整數(shù).”注意到在三角形ABC中，恒等式“tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC”成立，因此，題中的不等式可化為tanA+tanB+tanC≤［tanA］+［tanB］+［tanC］.根據(jù)取整函數(shù)的定義，易知tanA，tanB，tanC都是整數(shù)，且其中至少有兩個是正整數(shù)，不妨設(shè)tanA，tanB＞0，則由tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC知，tanC也是正整數(shù).所以只要求tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC的正整數(shù)解.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)tanA≥tanB≥tanC≥1，則tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC≤3tanA，所以，tanBtanC≤3，因此，原題只有一組解，即（tanA，tanB，tanC）=（3，2，1）.

五、注重聯(lián)想，完善形象思維能力

形象思維是指以具體的形象或圖像為思維內(nèi)容的思維形態(tài)，形象思維屬于理性認識范疇，也是事物的本質(zhì)和事物之間規(guī)律性的關(guān)系在人們頭腦中間接的、概括性的反映.它具有形象性、概括性、運動性和創(chuàng)造性等特征.形象思維是反映和認識世界的重要思維形式，是培養(yǎng)人、教育人的有力工具.

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家柯爾莫戈羅夫就曾指出：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化.”數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”的學(xué)科，因此，在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中加強形象思維的培養(yǎng)更有基礎(chǔ)、更有必要.

圖1

六、正難則反，關(guān)注逆向思維能力

逆向思維是一種比較特殊的思維方式，簡言之就是反過來思考問題.它要求我們善于從不同的立場、不同的角度、不同的層次和不同的側(cè)面去進行探索，當(dāng)人們習(xí)慣于正向思維，尤其處于“山窮水盡疑無路”的困境時，逆向思維往往會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的境地.逆向思維是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的重要手段，有助于克服思維定勢的局限性，是決策思維的重要方式.解題中的逆向思維方法主要表現(xiàn)形式為“反證法”，此處不贅述.筆者認為，習(xí)題教學(xué)中關(guān)注逆向思維能力的培養(yǎng)不僅僅體現(xiàn)在解題中，還體現(xiàn)在對原問題形式的逆向設(shè)問等方面.

如在講解教材中習(xí)題“過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，過點P和拋物線的頂點的直線交準(zhǔn)線于M，求證：直線MQ平行于拋物線的對稱軸”時，待學(xué)生證完此題后，筆者要求其寫出原命題的逆命題“過拋物線焦點的一條直線與它交于兩點P、Q，過Q作MQ平行于對稱軸，交拋物線的準(zhǔn)線于M點，求證：直線PM經(jīng)過原點O”，并讓學(xué)生證明該命題是否正確.在教師的啟發(fā)下，學(xué)生順利完成了證明.這時，筆者進一步引導(dǎo)“能否將此問題中的拋物線改為橢圓、雙曲線”，學(xué)生們討論后發(fā)現(xiàn)以上問題都可以利用圓錐曲線的第二定義證明，解題過程中只要求比值相等，而和比值的大小無關(guān)，故無論是拋物線，還是橢圓、雙曲線，都有同樣的結(jié)論，還可用平面幾何的方法快速解答.

“數(shù)學(xué)是思維的體操.”啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要，它符合學(xué)生的認知規(guī)律，能體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的實質(zhì)性價值.“水本無華，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊乃發(fā)靈光.”優(yōu)秀教師的魅力就在于挖掘樸實無華的習(xí)題背后所蘊含的豐富思維素材，創(chuàng)設(shè)情境，精心設(shè)計，合理重組，縱橫聯(lián)系，變單一為多元，變封閉為開放，啟迪思維，提高思維能力.

1.蔡小雄.從一個案例談數(shù)學(xué)探究的三重境界［J］.數(shù)學(xué)通報，2009（1）.

2.蔡小雄.習(xí)題教學(xué)中思維定勢負效應(yīng)的校正策略［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2008（3）.

3.蔡小雄.習(xí)題教學(xué)應(yīng)注意跨越簡單的線性思維模式［J］.教學(xué)月刊，2007（7）.

4.蔡小雄.找準(zhǔn)習(xí)題教學(xué)的黃金分割點［J］.教學(xué)月刊，2009（6）.