☉江蘇省淮安市清河中學(xué) 石禮標(biāo)

眾所周知，每一份高考試卷都凝聚了多位命題專(zhuān)家與高中一線頂尖教師的智慧.因此高考試題有的立意新穎，設(shè)計(jì)巧妙，令人叫絕；而有的題目貌似平淡，卻暗藏玄機(jī)，領(lǐng)會(huì)后令人不勝遐想，2012年湖北理科第21題就是這樣的好題！

一、考題再現(xiàn)

例1（2012年湖北理21題）設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿(mǎn)足（m＞0，且m≠1）.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m，使得對(duì)任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

首先解決第（1）問(wèn)：

解：（1）設(shè)M（x，y），A（x0，y0），則由，可得，所以，將（x，y）代入00圓方程得

當(dāng)0＜m＜1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為；當(dāng)m＞1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為

二、課本尋蹤

2008年江蘇教育出版社出版的選修4－2第16頁(yè)有這樣一道例題：

解：設(shè)P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)，在伸壓變換下變?yōu)榱硪稽c(diǎn)P′（x′，y′），

三、橢圓通過(guò)伸壓變換得到圓后的一些基本結(jié)論

（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，則A′，B′，C′三點(diǎn)共線；若AB∥CD，則A′B′∥C′D′；

（2）若AB斜率為k，則A′B′的斜率為mk；若C分線段AB的比為λ，則C′分A′B′的比也為λ；特殊地若C為AB中點(diǎn)，則C′也為A′B′中點(diǎn)；

（4）變化后封閉圖形的面積是變化前對(duì)應(yīng)封閉圖形面積的m倍，如S△A′B′C′=mS△ABC.

上述基本結(jié)論證明較簡(jiǎn)單，證明過(guò)程略.

四、實(shí)際應(yīng)用

1.解決橢圓中直線位置關(guān)系問(wèn)題

如圖1，在xOy平面內(nèi)設(shè)直線PQ的斜率為k，P（s，t），則Q（－s，－t），N（0，t），

圖1

圖2

即存在m=，使其在對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的k>0，都有PQ⊥PH.

評(píng)注：從本題可以看出，橢圓轉(zhuǎn)化為圓后，合理利用了Q′N(xiāo)′⊥P′H′，迅速得到斜率之間關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到原圖形中解決垂直求參問(wèn)題.用此法運(yùn)算量很小，參考答案的運(yùn)算量與之無(wú)法比擬.做完該題，有似曾相識(shí)的感覺(jué)，2011年江蘇高考第18題第（3）問(wèn)與此題如出一轍，僅僅是焦點(diǎn)在x軸上而已，當(dāng)然也可用上面方法解決.

2.解決橢圓中線段比值問(wèn)題

如圖3，設(shè)直線AB斜率為k，則直線A′B′斜率為2k（如圖4），故直線A′B′方程為y′=2k（x′－b），即2kx′－y′－2kb=0.由=3得A′F′=3F′B′，過(guò)點(diǎn)O作ON′⊥A′B′，

圖3

圖4

則N′為線段A′B′中點(diǎn)，則F′為線段N′B′中點(diǎn)，

又k＞0，則k=，故選B.

評(píng)注：本題將橢圓中直線斜率、線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)圓中直線斜率與線段比例關(guān)系充分利用圓的中點(diǎn)弦性質(zhì)，求解顯得十分簡(jiǎn)單.這類(lèi)問(wèn)題雖在橢圓中解決方法很多，但轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題加以解決無(wú)疑是最簡(jiǎn)捷的方法.

3.解決橢圓中面積問(wèn)題

（1）求橢圓方程；

（2）求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程.

圖5

圖6

設(shè)直線A′B′方程為y′=－x′+t，即x′+y′－t=0，

評(píng)注：本題將橢圓轉(zhuǎn)化為圓的好處是：直線A′B′的斜率可直接得到，且線段A′B′的長(zhǎng)度利用圓中求弦長(zhǎng)方法十分簡(jiǎn)單，同時(shí)P′到A′B′距離表示也就簡(jiǎn)單了，因此表示△P′A′B′的面積比在橢圓中表示△PAB面積簡(jiǎn)捷的多.如果涉及到面積具體值或面積比值問(wèn)題用此法更簡(jiǎn)單，如2011年山東理壓軸題最后一問(wèn).

橢圓化圓解決橢圓問(wèn)題，可以讓我們領(lǐng)會(huì)到知識(shí)之間并不是孤立的，促使我們?cè)谘芯繂?wèn)題時(shí)，要善于轉(zhuǎn)化，善于在知識(shí)之間建立合理聯(lián)系，能將較復(fù)雜問(wèn)題合理向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化.但要注意的是：橢圓化圓是一種方法，但畢竟不是萬(wàn)能的，只是對(duì)一些特定的題目可達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.在具體解決橢圓問(wèn)題時(shí)要靈活運(yùn)用，橢圓化圓只是讓我們多了一種選擇，當(dāng)然也就多了一條取勝之路.■