☉浙江省紹興魯迅中學(xué) 蔣鈺香

“正”“誤”例說類比思想的運用

☉浙江省紹興魯迅中學(xué) 蔣鈺香

*該文為紹興市“揭示錯誤本質(zhì)，提升資源價值”——高中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中有效利用錯誤資源的實踐與研究的階段性研究成果.

類比是根據(jù)兩個（或兩類）對象之間具有（不具有）某些相同或相似的性質(zhì)，而且其中一個（或一類）還具有（或不具有）另一性質(zhì)，由此推出另一個（或另一類）對象也具有（或不具有）這一性質(zhì)，類比法是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法，也是掌握知識的好方法，正如玻利亞所言：“類比是一個偉大的引路人”.在學(xué)習(xí)中正確的類比可起到事半功倍之效，但錯誤的類比也常為我們帶來困惑.

一、“正確”的類比

1．在類比中發(fā)現(xiàn)和諧，簡化記憶

數(shù)學(xué)，是中學(xué)課程中的一門主科，課時最多，內(nèi)容浩瀚，記憶和掌握起來，都比較困難.站在系統(tǒng)的高度，注意知識間的類比，不但有利于抓住問題本質(zhì)，而且可以找出規(guī)律即共性，簡化記憶，便于掌握.數(shù)學(xué)中類比比比皆是，如指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的類比、等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比.

案例1：如在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像時，注意到函數(shù)的圖像是隨函數(shù)解析中常數(shù)k的變化而變，換言之，k決定著直線的位置，在這里，k的符號，決定著直線所在象限的位置；則決定著直線向上的方向和y軸正向夾角的大小.而當(dāng)k值取遍（－∞，+∞）內(nèi)的全體實數(shù)時，直線y=kx則繞原點旋轉(zhuǎn)而掃遍除y軸以外的整個坐標(biāo)平面（若允許k=0）.在學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=ax（2a≠0）時，可以類比y=kx（k≠0），猜想是否常數(shù)a的取值將決定曲線y=ax2的位置？結(jié)果發(fā)現(xiàn)a的符號決定著曲線所在的象限；則決定著曲線與y軸的相對位置；當(dāng)a值取遍（－∞，+∞）內(nèi)全體實數(shù)時，曲線y=ax2將掃過除y軸以外的整個坐標(biāo)平面.這樣在入門伊始，就抓住了學(xué)習(xí)二次函數(shù)的關(guān)鍵，使得利用二次函數(shù)求最大（?。┲?，以及解一元二次不等式等一系列問題，不難得到解決.當(dāng)然，由于y=ax2的圖像是一條曲線，在決定曲線與y軸相對位置的時候，已經(jīng)影響了曲線的形狀.另外對于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)也可類比上面的方法研究.上述討論，從對函數(shù)解析式中常數(shù)作用的類比分析，使我們對函數(shù)性質(zhì)的認識系統(tǒng)化了.

2．在類比中獲得命題的推廣和延伸

類比思想是我們探索規(guī)律的重要途徑.數(shù)學(xué)家利用類比法獲得很多研究成果.在高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)課堂教學(xué)中，可利用類比法來研究問題.

案例2：師：你能類比圓的直徑所對的圓周角是直角，因而圓上動點與直徑兩端點連線的斜率積為定值，kPA·kPB=－1，猜測橢圓、雙曲線上動點與長軸或?qū)嵼S兩端點的連線斜率積為定值嗎？若是，定值為多少？

3.運用類比法編制習(xí)題

用類比法編制習(xí)題，其模式是：

原題有條件a，b，c，結(jié)論d；

新題有條件a，b，c′，結(jié)論d′.

這里的新題的條件c′和結(jié)論d′與原題的條件c和d有著對應(yīng)的相似性，特殊情形下可能有d=d′，由于類比法得到的結(jié)論具有或然性，因此所得的新題的科學(xué)性必須經(jīng)過嚴格的推敲.

案例3：平面上兩條直線同垂直于第三條直線，則這兩條直線平行.

將“平面上”的問題與“空間”的問題進行類比，或?qū)⑵渲械摹皟蓷l直線”與“平面”類比，可得四個命題如下：

（1）空間兩條直線垂直于第三條直線，則這兩條直線平行.（假命題）

（2）空間兩個平面同垂直于一條直線，則這兩個平面平行.（真命題）

（3）空間兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.（真命題）

（4）空間兩個平面同垂直于三個平面，則這兩個平面平行.（假命題）

4.運用類比法進行新知識的探究

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下“再創(chuàng)造”的過程.在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進行新知識的探究，引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，通過觀察，運用歸納、類比的方法首先得出猜想，然后再進行證明，這十分有利于學(xué)生對證明的全面理解.在教學(xué)過程中，為了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識，教師也要有意識地滲透類比思想方法.

案例4：“不等式基本性質(zhì)”的教學(xué)，我們可以這樣提出問題：

不等式的基本性質(zhì)可以類比等式的性質(zhì)探究過程而得到啟發(fā)：

（1）等式有哪些基本性質(zhì)？

（2）從等式的性質(zhì)的表述中，你能發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)是怎樣提出的？（研究等式基本性質(zhì)的思想方法是什么？）——考察等式在運算過程中的不變性；

（3）類比等式基本性質(zhì)的提出過程，你能提出哪些關(guān)于不等式基本性質(zhì)的猜想？這些猜想正確嗎？

二、“錯誤”的類比

類比推理是一種或然推理，其結(jié)論是否正確有待實踐來證明

1．“錯誤”的運算法則的類比

案例5：設(shè)a，b為非零向量，且（a+3b）⊥（7a－5b），（a－4b）⊥（7a－2b），求a與b的夾角θ.

錯解：由已知（a+3b）·（7a－5b）=0，得

①－②得：2a·b=b2，即2a=b，所以a與b的夾角θ=0°.

2．“錯誤”的數(shù)學(xué)思想類比

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認識，是數(shù)學(xué)的靈魂，我們要注重數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，并在運用數(shù)學(xué)思想方法解題時謹防類比負遷移.

案例6：若數(shù)列{n2－kn}共有2012項，且單調(diào)遞增，則k的取值范圍是________.

剖析：數(shù)列是特殊的函數(shù)，極易選取“類比源”，并將數(shù)列的恒成立問題（目標(biāo)函數(shù)）類比遷移為相應(yīng)輔助函數(shù)的恒成立問題（源問題），似乎天衣無縫，可惜錯了.

3．“錯誤”的解題方法的類比

對于教材中非通性解法或高考題中“歪打正著”的解法，教師應(yīng)讓學(xué)生認識到不可隨意類比.

錯解：依照上面例題的解法得單調(diào)遞減區(qū)間不存在（具體過程這里略去）.

兩者僅一字之差，自然想到方法上的類比，但教材上的解法不具有通性解法，因為它要求一個周期上的整個單調(diào)遞增（遞減）區(qū)間在給定區(qū)間（否則就求不出單調(diào)遞增（減）區(qū)間），而具體情況未必都如此.

從以上案例可以看出：類比作為一種推理方法，它既可以成就偉大的發(fā)現(xiàn)，也會導(dǎo)致“美麗”的錯誤，因此我們要“揚長避短”，在數(shù)學(xué)過程中為了培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識，教師要有意識滲透類比思想方法，但也應(yīng)該謹防類比惹的“禍”.

1.孫維剛.孫維剛導(dǎo)學(xué)高中數(shù)學(xué).北京：教育科學(xué)出版社，1999.

2.徐斌艷.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論.杭州：浙江教育出版社，2003.

3.章建躍.對高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教學(xué)的若干建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007，3.