☉

對(duì)于不等式有解或者方程在給定范圍有解問題是高中常見題型，由于平時(shí)訓(xùn)練得較多，對(duì)學(xué)生已不是難點(diǎn).但近來各地的高三測(cè)試題的客觀壓軸題多次出現(xiàn)不等式或方程有若干個(gè)整數(shù)解求參數(shù)問題，學(xué)生感到對(duì)整數(shù)這個(gè)限制條件如何轉(zhuǎn)化比較困難，得分率較低.因此本文選擇部分代表性題目加以闡述.

例1 （連云港市2013屆高三二模）關(guān)于x的不等式x2－ax+2a＜0的解集為A，若集合A中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

法一：根據(jù)二次函數(shù)圖像的特征求解

解：由題意知Δ=a2－8a＞0，得a＞8或a＜0.

評(píng)注：由于題目所給的條件是以二次不等式的形式出現(xiàn)，因此可直接構(gòu)造二次函數(shù).但要挖掘出二次函數(shù)的隱含條件.如本題在a＞8前提下，由對(duì)稱軸x＞4，f（4）＜0，且A中恰有兩個(gè)整數(shù)，因此f（3）＜0不成立（否則由二次函數(shù)對(duì)稱性，f（5）＜0，至少有三個(gè)整數(shù)滿足不等式，不符合題意），即滿足條件的整數(shù)只能為4與5，而得到相應(yīng)條件.

法二：分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)圖像確定應(yīng)該整數(shù)解

解：由x2－ax+2a＜0得x2＜a（x－2），若x－2=0，顯然不成立；

同理，當(dāng)x－2＜0時(shí)，

圖1

例2 （2009年天津文）若關(guān)于x的不等式（2x－1）2＜ax2的解集中整數(shù)恰有三個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

解法1：由（2x－1）2＜ax2得（4－a）x2－4x+1＜0，由題意知該不等式有解，

沒有整數(shù)解滿足不等式（4－a）x2－4x+1＜0.

評(píng)注：本題構(gòu)造出函數(shù)f（x）=（4-a）x2-4x+1后，無法確實(shí)f（x）＜0某一個(gè)具體對(duì)應(yīng)的整數(shù)值，就必須嘗試具體函數(shù)值與對(duì)稱軸相對(duì)位置關(guān)系.此法的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出f（1）＜0必然成立.

解法2：由（2x-1）2＜ax2得（4-a）x2-4x+1＜0，由題意知該不等式有解，

因?yàn)闈M足該不等式的整數(shù)解恰有三個(gè)，若x≤-1，則a＞4，不成立.

因此滿足該不等式整數(shù)解恰有三個(gè)，則必為1，2，3，

總結(jié)：由上面的解法可以看出，二次不等式有有限個(gè)整數(shù)問題，常用方法有兩種.一是構(gòu)造二次函數(shù)，挖掘出某個(gè)特定的整數(shù)變量值滿足要求后，結(jié)合二次函數(shù)圖像，根據(jù)所得的特定整數(shù)解以及與對(duì)稱軸位置關(guān)系，確定滿足條件的所有解，寫出條件；另一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的圖像或所具有的函數(shù)性質(zhì)，確定整數(shù)應(yīng)該是哪幾個(gè)，從而得到參數(shù)的范圍.對(duì)于這類問題一般不需要求出不等式的解集，除非有一根是常數(shù).因此文［1］對(duì)例2的解法顯然不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模矣捎跊]有注意區(qū)間開閉，結(jié)果也是錯(cuò)誤的.

例3 （2009年天津理）設(shè)0＜b＜1+a.若關(guān)于x的不等式（x-b）2＞（ax）2的解集中的整數(shù)恰有三個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

解：由已知得（a2-1）x2+2bx-b2＜0恰有三個(gè)整數(shù)解，

則a2-1＞0，而a+1＞0，得a＞1，此時(shí)顯然Δ＞0.

而（f0）=-b2＜0，（f1）=a2-1+2b-b2=（a+b-1）（a-b+1）＞0，

圖2

作出其可行域，如圖2，而直線a+1=b與直線2a=b+2的交點(diǎn)為（3，4），可知a∈（1，3）.

評(píng)注：本題與例1類似，構(gòu)造出二次函數(shù)，在得到f（0）＜0，f（1）＞0后，根據(jù)其對(duì)稱軸小于0，因此滿足題意的整數(shù)解必然是-1，-2，-3，從而得到相應(yīng)的條件.而對(duì)于二元不等式組求某一變量的范圍，用線性規(guī)劃知識(shí)得到a的范圍，十分自然，明顯比文［1］解法好得多.

例4（南通市通州區(qū)2013屆高三寒假調(diào)研卷）已知使函數(shù)（fx）=x3-ax2-1（0≤a≤M0）存在整數(shù)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)a恰有3個(gè)，則M0的取值范圍是______.

解：由題意知x3-ax2-1=0對(duì)0≤a≤M0有三個(gè)整數(shù)解，

均符合a∈（0，10］.

不符合a∈（0，10］，因此當(dāng)x≥16時(shí)也均不符合.

所以使（fx）=1000有整數(shù)解的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為4個(gè).

總結(jié)：例4是根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定a的范圍，而例5是由a的范圍確定整數(shù)的個(gè)數(shù)（即a的個(gè)數(shù)），其實(shí)本質(zhì)一樣，即分離出常數(shù)后，構(gòu)造的函數(shù)在一定范圍內(nèi)具有單調(diào)性，則滿足要求的一個(gè)整數(shù)解必對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)值.因此對(duì)于高次方程有整數(shù)解或高次函數(shù)有整數(shù)零點(diǎn)問題，由于涉及到參數(shù)，直接畫圖像會(huì)比較繁瑣，不如分離參數(shù)后，考察所構(gòu)造函數(shù)具有性質(zhì)及相應(yīng)圖像，從而把握整數(shù)解與參數(shù)之間的聯(lián)系，達(dá)到解題的目的.

1.任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略·數(shù)學(xué)［M］.?？冢耗戏匠霭嫔?，2009.