☉廣東省佛山市順德區(qū)龍江龍山初級中學 鄧繼雄

以函數(shù)圖像為背景，根據(jù)函數(shù)圖像的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)進行相關的計算或證明，是中考數(shù)學的熱門題目.現(xiàn)提供一道中考填空壓軸題，并提出個人的見解，與同行交流探討，以期在今后的解題教學中有所幫助.

（1）當點O′與點A重合時，點P的坐標是______；

（2）設P（t，0），當O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是________.

圖1

圖2

分析：由題意可知，直線l為題中軸對稱變換過程中的對稱軸，且PM⊥直線OA.

由∠AOB=60°，知：

∠OPM=30°.

由軸對稱變換可知：

∠O′PM=∠OPM=30°.

所以∠OPO′=60°.

所以△OPO′是等邊三角形（如圖2）.

圖3

如果連接BB′，則有△BPB′也是等邊三角形（如圖3）.

根據(jù)以上關系，我們就可以解決該填空題了.

解答：（1）當點O′與點A重合時，如圖2，

因為B點的坐標是（2，0），即OB=2，而∠AOB=60°，所以OA=2OB=4.

因為△OAP是等邊三角形（具體過程不再重復），

所以OP=OA=4，即點P的坐標是（4，0）.

說明：第（1）題因為位置比較特殊，點O′與點A重合，圖形非常直觀，關系比較明顯，答案容易求出，屬于常規(guī)題.

（2）容易求得點A的坐標是（2，2），而雙曲線經(jīng)過點A，可以求出反比例函數(shù)的解析式為①；由圖2中△OPO′是等邊三角形可知，O′、B′所在的直線經(jīng)過點P，且與x軸所成的角等于60°，于是設直線O′B′的解析式是y=－x+b，把點P的坐標（t，0）代入求出直線O′B′的解析式是y=－x+t②.如果僅考慮直線O′B′與雙曲線有交點，則由①、②組成方程組，整理得x2－tx+4=0，方程有解必須滿足Δ≥0，即t2－16≥0，解得t≥4或t≤－4.

考慮本題是線段O′B′與雙曲線有交點的相關問題.借助幾何畫板操作觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，O′B′與雙曲線的交點在第一象限內(nèi)，即圖2中當點O′與點A重合時，對應t取到最小值4；圖3中當點B′剛好落在雙曲線上時，對應t取到最大值.此時過點B′作B′H⊥x軸于點H，在等邊△BPB′中，設BH=a，則B′H=a.于是點B′的坐標為（a+2，a），代入雙曲線的解析式得方程a（a+2）=4，解得a=－1±，這里取a=－1+，負值舍去，所以BP=2BH=2a=－2+2，于是OP=OB+BP=2+（－2+2）=2，此時取得t的最大值為2.

圖4

結論：交點在第一象限內(nèi)時，t的取值范圍是4≤t≤2.當O′B′與雙曲線的交點在第三象限時，如圖4，點O′在雙曲線上時，對應t取到最小值；點B′在雙曲線上，對應t取到最大值.具體數(shù)值可以根據(jù)雙曲線關于原點中心對稱，結合本題的軸對稱的性質(zhì)得到t的最小值為－2，最大值為－4.當然也可以類似于第一象限內(nèi)的求法，有興趣的讀者不妨試試.總之，交點在第三象限內(nèi)t的取值范圍是－2≤t≤－4.

綜上所述，當O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是4≤t≤2或－2≤t≤－4.

說明：第（2）題的解題思路比較復雜，同時又是一個動態(tài)問題，用到了分類討論的思想，解題過程中應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，同時考查對勾股定理、解二元一次方程組、解不等式、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、根的判別式等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解答此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度.

思考：這是一道中考填空題的最后一題，顯然有一定的難度，而對于填空題一般只是提供參考答案，無法得知解題的思路，通過百度文庫搜索，可以查到該份試卷的解析版，讀者可以從網(wǎng)上查閱，其中本題的參考答案中計算量相當大，計算難度較高，所列的直線O′B′的解析式相當復雜，關于判別式Δ≥0的不等式難度更大，如果能較好地結合幾何圖形的性質(zhì)進行解題，將能大大減少計算，起到事半功倍的效果.本文所提供的解法，就能較好地體現(xiàn)解題的優(yōu)越性，同時滲透數(shù)形結合這一重要的數(shù)學思想.