☉浙江省紹興魯迅中學(xué) 章顯聯(lián)

新《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》的基本概念有10個部分，其中在第3部分倡導(dǎo)積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方式中強調(diào)高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，發(fā)展他們自主創(chuàng)新意識.紹興市數(shù)學(xué)骨干教師培訓(xùn)期間安排了兩節(jié)同課異構(gòu)的課，課題是《圓的標準方程》，筆者有幸聽了兩節(jié)精彩的課，頗有收獲，兩位教師在教學(xué)中體現(xiàn)了先進正確的教學(xué)理念：“以學(xué)生為本”、“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”、“教與學(xué)重心前移”、“教會學(xué)生數(shù)學(xué)地思維”、“改進教學(xué)方式”、“促進學(xué)生主動，探究學(xué)習(xí)”等.但由于準備時間倉促，兩節(jié)課中或多或少有些不自然，那么如何探究更自然呢？下面結(jié)合教學(xué)實例談一下自己對這個問題粗淺的認識.

一、在理解教材，理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生上多下功夫

兩位教師的引課方式如下：

教師1：

問題1：如何判斷兩直線平行？叫了5位學(xué)生回答，有用平面幾何知識，也有通過直線方程判斷.

問題2：共同回顧求直線方程的主要過程.

兩個問題共花費了近20分鐘時間，后繼學(xué)習(xí)肯定時間不夠.

教師2：已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？

創(chuàng)設(shè)“探究”的問題情境，首先是問題要典型，要有思想.其次是問題的設(shè)計要結(jié)合學(xué)生認知規(guī)律.按照這兩條原則.教師1的問題1是否可以這樣，利用幾何畫板畫兩條不重合直線，問學(xué)生這兩條直線平行嗎？追問學(xué)生憑什么說它們平行（或不平行）？從而引出結(jié)論：α1=α2?l1∥l2.再追問還有其他的方法嗎？從而引出結(jié)論：k1=k2?l1∥l2，這樣學(xué)生共同回顧從代數(shù)（斜率）與幾何（傾斜角）兩個角度研究兩直線的平行，而這正是解析幾何研究的兩條主線；問題2沒必要此時拋出，若學(xué)生在研究圓的方程有困難時可引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)研究直線方程的方法.

教師2通過引導(dǎo)學(xué)生對這個實際問題的探究，把學(xué)生的思維由用勾股定理求線段CD的長度轉(zhuǎn)移為用曲線的方程來解決，在得到汽車不能通過的結(jié)論的同時學(xué)生自己推導(dǎo)出了圓心在原點，半徑為4的圓的標準方程，從而很自然的進入了本課的主題.用實際問題創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生感受到問題來源于實際，應(yīng)用于實際，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)欲望.這樣獲取的知識，不但易于保持，而且易于遷移.該引入符合學(xué)生的認知規(guī)律，激發(fā)了學(xué)生的探究問題的欲望，思維達到了一定的高度和深度.但解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題：也就是建立直角坐標系，在坐標系中把一個幾何問題轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)問題，利用點的坐標，曲線的方程，經(jīng)過代數(shù)運算來解決問題，這就是坐標系的思想.另外本節(jié)還應(yīng)讓學(xué)生明白這樣建立的方程為什么是圓的方程，因此本節(jié)的核心思想是坐標法的思想，核心概念是圓的標準方程.

筆者深刻理解了本節(jié)以上的核心概念和思想后，采用了以下直奔主題的引入：同學(xué)們，前面我們在平面直角坐標系中是怎樣研究直線的方程？那么圓是否也可以用一個方程來表示呢？如果能，這個方程有什么特征？

按照奧蘇伯爾的觀點，“先行組織者”有其嚴格的定義，即在正式材料學(xué)習(xí)之前，向?qū)W生介紹的與其原有的認知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R相聯(lián)系的概括和包攝性引導(dǎo)材料，它在抽象、概括和包攝水平上應(yīng)高于正式的學(xué)習(xí)材料，并用學(xué)生熟悉的術(shù)語呈現(xiàn)，即先于新學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，設(shè)計“組織者”的目的，是幫助學(xué)生穩(wěn)定地納入和保持正式學(xué)習(xí)材料中更詳細和分化的內(nèi)容，給學(xué)習(xí)者在已知與未知之間架起一道橋梁，從而更有效地學(xué)習(xí)新材料.筆者采用的引入方式是基于學(xué)生已有的認知，在深刻理解數(shù)學(xué)，理解教材的基礎(chǔ)上提出的，能在“已經(jīng)掌握的知識”和“需要掌握的知識”之間架起溝通的橋梁，因此學(xué)生在課堂上的探究是自然的，有效的.

二、在課堂有效提問上多下功夫

問題是數(shù)學(xué)的心臟，有效的提問才能保證探究的順利自然.課堂提問的有效性應(yīng)具有以個幾個特征：（1）可及性.問題的設(shè)計要結(jié)合學(xué)生一般認知律，身心發(fā)展規(guī)律；（2）開發(fā)性.問題富有層次感，入手較易，開發(fā)性強，解決方案多，學(xué)生思維與創(chuàng)造的空間多；（3）挑戰(zhàn)性.能引起學(xué)生的認知沖突與學(xué)習(xí)欲望，能激發(fā)興趣，促進學(xué)生積極參與，接受問題的挑戰(zhàn)；（4）體驗性.能給學(xué)生提供深刻體驗，人人有所得，包括操作、探究的機會或替代性實驗，學(xué)生能感受、體驗數(shù)學(xué).

如兩位老師在分析點與圓位置關(guān)系時都設(shè)計了以下例題：

例1寫出圓心為A（2，3）半徑長等于5的圓的方程，并判斷點M1（5，7）和M2（，1）否在這個圓上.

對這個問題大都學(xué)生都能利用點到圓心的距離與半徑大小來判斷.從而得出一般性結(jié)論：點M（x0，y0）與圓（x-a）2+（y-b）2=r2的位置關(guān)系的判斷方法：

（1）（x0-a）2+（y0-b）2＞r2，點在圓外；

（2）（x0-a）2+（y0-b）2=r2，點在圓上；

（3）（x0-a）2+（y0-b）2＜r2，點在圓內(nèi).

筆者認為該問題不符合開放性、挑戰(zhàn)性、體驗性的原則.維果茨基認為，在確定發(fā)展與教學(xué)的可能關(guān)系時，要使教育對學(xué)生的發(fā)展起主導(dǎo)和促進作用，就必須確立學(xué)生發(fā)展的兩種水平，一是已經(jīng)達到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為學(xué)生能夠獨立解決問題的智力水平；二是可以達到的發(fā)展水平，但要借助別人的幫助，在集體活動中，通過模仿才能達到解決問題的水平.在新課程實施過程中，教師的幫助常以問題形式出現(xiàn)，通過設(shè)置“問題鏈”，搭建“腳手架”，利用問題驅(qū)動，促使學(xué)生達到發(fā)展水平.不過問題通常是由教師提出來的，不是由學(xué)生提出來的，至于為什么要提出這些問題，而不提另一些問題？學(xué)生沒有去想.這樣學(xué)生成為了解決問題的主體，而不是提出問題的主人，他們問題意識淡薄，不知道怎樣提問，也不知道如何表述問題，更不知道在什么時候應(yīng)該提出什么問題.這是可悲的，也是可怕的，這種探究也是無效的，必須通過我們的努力改變這種狀況.

基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”加強從“數(shù)”到“形”的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題，是否可這樣設(shè)計該問題：每人寫一個圓的標準方程與幾個點，要求你的同桌判斷點與圓是什么關(guān)系？如何判斷？這一開放性問題，有一定的思維空間，不同層次的學(xué)生都能在這個問題上有不同層次的施展，一方面培養(yǎng)了應(yīng)用知識解決問題能力，另一面也培養(yǎng)了學(xué)生提出問題，發(fā)現(xiàn)問題的能力.課堂提問要保證提問的質(zhì)量，又不能讓學(xué)生有生畏之感，也不能讓學(xué)生不動腦筋就能輕易答出的懈怠，從而激發(fā)學(xué)生探究的動力.

三、不干擾學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

兩節(jié)課聽下來，總體感覺是現(xiàn)在做老師的“累“，老師上課時“滔滔不絕”地講，而學(xué)生很“輕松”，基本上不用動筆，動口，看上去無所事事.事實上，課堂教學(xué)中老師的“喋喋不休”不經(jīng)意間干擾了學(xué)生思維的時間與空間，因為有深度的思考需要充分的時間.如兩位老師是這樣分析例2的：

例2 設(shè)△ABC的三個頂點坐標是A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圓的方程.

學(xué)生思考了一會兒，老師就叫學(xué)生回答.

學(xué)生：設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，

教師1：用這種方法比較麻煩，還有其他方法嗎？

教師2：如何解？

學(xué)生：①-②得a-2b=8，

②-③得a+b=-1，

所以a=2，b=-3，r2=25.

（結(jié)果是老師幫她算出來的）接下去兩位老師又分析了解法二，即先求線段AB，AC直線的交點（即外接圓圓心），然后求出半徑，就可得圓的標準方程.表面上都很好地完成了教學(xué)任務(wù)，實際上還是老師講得多，學(xué)生思考時間少.實際上本例題可留一定時間讓學(xué)生思考，然后請兩位不同思路的學(xué)生講思路，講解法，最后請其他同學(xué)們評價兩種方法的優(yōu)缺點.又如在推導(dǎo)圓的標準方程過程中，第一步是建立適當(dāng)直角坐標系，兩位老師也都是“取而代之”學(xué)生的思考直接給出答案，實際上若讓學(xué)生思考，肯定有不同的結(jié)果.學(xué)習(xí)是什么？它是學(xué)習(xí)者的體驗感受，動嘴說的過程，因此課堂要留一定的時間與空間給學(xué)生.

四、將黑板還給學(xué)生

在傳統(tǒng)教學(xué)中黑板是老師的“專利”，學(xué)生上黑板板演得不到應(yīng)有的重視.這與傳統(tǒng)教學(xué)觀有關(guān)：教師是演員，也是導(dǎo)演，而學(xué)生是聽（觀）眾，沒有體現(xiàn)學(xué)生的主體作用.另外一個問題是板演后誰來評價？當(dāng)然是學(xué)生來相互評價.但實際上往往是老師自己評價.筆者要呼吁的是：還黑板給學(xué)生，讓學(xué)生擁有自己的活動空間，展示平臺，在活動中生產(chǎn)數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)智慧，讓探究來得更自然些，讓學(xué)生探究有更好的載體.兩位老師上課都沒有安排學(xué)生到黑板上板演.學(xué)生回答問題時，也是學(xué)生邊說老師邊在黑板上寫，認認真真做了回學(xué)生的“秘書”.實際上本節(jié)課有很多機會讓學(xué)主上黑板板演.如例2中圓的標準方程推導(dǎo)過程中如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼档?這樣學(xué)生以“稿紙”、“黑板”為“實驗田”進行畫圖實驗，對不夠充分的，錯誤的進行補充、糾正，這樣在合作學(xué)習(xí)中，既調(diào)動了全體學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生分析問題，解決問題的能力，這樣探究是自然的、有效的.還黑板給學(xué)生還可避免老師滿堂灌（包括人灌和機灌），學(xué)生“被學(xué)習(xí)”，“被告知結(jié)果”等.

以上是本人聽了兩節(jié)課及平時聽課后的一點感受，要想探究得更自然，老師首先要在理解教材，理解教學(xué)，理解學(xué)生上多下功夫，這是學(xué)生探究問題的前提；教師須在設(shè)計有效問題（引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題，捕捉來自學(xué)生的問題）上下功夫，這是探究的保證；留有時間給學(xué)生思考，還黑板給學(xué)生，這樣才能保證學(xué)生探究問題的時間和空間.

1.章顯聯(lián).探究之路在何方？——立足教材，開展探究教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報，2008（7）：29.

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3.章顯聯(lián).談高一新課程“函數(shù)的零點”教學(xué)的幾個問題［J］.數(shù)學(xué)通報，2007（11）：52.

4.陽志長.還黑板給學(xué)生，構(gòu)造高效課堂［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011（7）：7.