趙 磊 鞏 巖

中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春，130033

0 引言

柔性鉸鏈利用其自身的彈性變形而非剛性元件的運(yùn)動(dòng)來(lái)傳遞或轉(zhuǎn)換運(yùn)動(dòng)、力或能量，相對(duì)于傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)鉸鏈，具有運(yùn)動(dòng)分辨率高、無(wú)摩擦、無(wú)需潤(rùn)滑、制造工藝簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于光刻物鏡［1－4］、微動(dòng)工作臺(tái)［5－8］、電子掃描顯微鏡［9］、超精密加工機(jī)床［10－12］等領(lǐng)域。

理想鉸鏈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)中心是固定不動(dòng)的，而柔性鉸鏈依靠自身彈性變形產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)中心隨著載荷變化而移動(dòng)，因此會(huì)引起轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。其轉(zhuǎn)動(dòng)誤差可以通過(guò)柔性鉸鏈幾何中心的偏移量表示。國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞柔性鉸鏈的精度進(jìn)行了相關(guān)研究工作。文獻(xiàn)［13－14］基于卡氏第一、第二定理建立了圓弧型、橢圓型、拋物線型、雙曲線型以及直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的理論模型，但其模型中沒(méi)有考慮剪切引起的應(yīng)變能。文獻(xiàn)［15］同樣基于卡氏第一、第二定理給出了直梁圓角型、拋物線型以及正割曲線型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的解析計(jì)算公式，但其推導(dǎo)過(guò)程中同樣沒(méi)有考慮剪切引起的應(yīng)變能的影響。文獻(xiàn)［16］采用有限元法分析了圓弧型、直梁圓角型和橢圓型柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度，結(jié)果表明：當(dāng)鉸鏈的長(zhǎng)度、寬度和最小厚度相等，且施加的外載荷和鉸鏈偏轉(zhuǎn)相同時(shí)，直梁圓角型柔性鉸鏈相對(duì)回轉(zhuǎn)精度最高。文獻(xiàn)［17］分析了加工誤差對(duì)柔性鉸鏈精度的影響。

上述針對(duì)柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的分析大都是基于卡氏第一、第二定理采用能量法進(jìn)行的推導(dǎo)，本文則根據(jù)材料力學(xué)懸臂梁理論，在考慮軸向拉伸、彎曲和剪切等作用下，針對(duì)直梁圓角型柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度進(jìn)行了分析。首先，基于懸臂梁理論推導(dǎo)了柔性鉸鏈幾何中心平面內(nèi)線性變形量Δx、Δy的解析計(jì)算方法，建立了柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度矩陣的閉環(huán)解析模型，并給出了當(dāng)r?t時(shí)回轉(zhuǎn)精度矩陣各項(xiàng)參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。然后，建立了直梁圓角型柔性鉸鏈的有限元模型，通過(guò)比較解析值和有限元仿真值，驗(yàn)證了回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)解析模型的正確性。最后，分析了柔性鉸鏈的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其回轉(zhuǎn)精度的影響。

1 直梁圓角型柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度

直梁圓角型柔性鉸鏈如圖1所示，鉸鏈為直梁片狀結(jié)構(gòu)，兩端與基體采用圓角方式連接。直梁圓角型柔性鉸鏈的主要幾何參數(shù)有鉸鏈高度h、鉸鏈長(zhǎng)度l、鉸鏈厚度t及圓角半徑r。建模時(shí)將柔性鉸鏈的右端固定，左端為自由端，x軸正方向從柔性鉸鏈的固定端指向變形端，y軸垂直于直梁薄片平面。

圖1 直梁圓角型柔性鉸鏈

圖2所示為直梁圓角型柔性鉸鏈的截面圖。圖中0－1段和3－4段為圓角部分，1－3段為直梁部分。直梁圓角型柔性鉸鏈?zhǔn)呛穸萾隨x變化的變截面梁，其函數(shù)表達(dá)式為

圖2 直梁圓角型柔性鉸鏈截面圖

柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度是指在自由端4點(diǎn)處外載荷Fx、Fy、Mz作用下柔性鉸鏈幾何中心2點(diǎn)處的位姿變化量Δx、Δy。當(dāng)柔性鉸鏈的變形量較小時(shí)，可以認(rèn)為其變形為線彈性變形，建模時(shí)應(yīng)考慮軸向拉壓、彎曲和剪切的影響。

1.1 Fx引起的x方向線性變形

柔性鉸鏈幾何中心2點(diǎn)處x方向的線性變形主要是由力Fx拉壓引起的。

根據(jù)拉壓胡克定律，得到0－1段變截面梁的軸向變形量為

式中，E為柔性鉸鏈材料的彈性模量。

根據(jù)拉壓胡克定律，得到1－2段等截面梁的軸向變形量為

柔性鉸鏈幾何中心2點(diǎn)沿x軸方向的變形量為0－1段和1－2段變形量的總和，因此有

當(dāng)r?t時(shí)，式（4）、式（5）分別簡(jiǎn)化為

1.2 Fy引起的y方向線性變形

力Fy引起的沿y方向變形主要由彎矩變形和剪切變形組成。

Fy彎矩引起的0－1段變截面梁沿y方向的變形量為

Fy彎矩引起的1－2段等截面梁沿y方向的變形量為

Fy剪切引起的0－1段變截面梁沿y方向的變形量為

式中，G為柔性鉸鏈材料的切變模量；ν為柔性鉸鏈材料的泊松比。

Fy剪切引起的1－2段等截面梁沿y方向的變形量根據(jù)剪切胡克定律有

于是得到Fy作用下柔性鉸鏈幾何中心2點(diǎn)沿y方向的總變形量為

于是得到柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度矩陣參數(shù)為

當(dāng)r?t時(shí)，式（13）、式（14）可簡(jiǎn)化為

1.3 Mz引起的y方向的線性變形

施加力矩Mz時(shí)，0－1段變截面梁沿y方向的變形量為

施加力矩Mz時(shí)，1－2段等截面梁沿y方向的變形量為

由Mz引起的沿y方向的變形量為0－1段、1－2段變形量的總和，因此有

于是得到柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度矩陣參數(shù)為

當(dāng)r?t時(shí)，式（19）、式（20）可簡(jiǎn)化為

1.4 柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)模型

根據(jù)式（5）、式（13）、式（20）可以得到直梁圓角型柔性鉸鏈幾何中心2點(diǎn)處平面內(nèi)的偏移量Δx、Δy與平面內(nèi)力/力矩Fx、Fy、Mz的關(guān)系，將公式轉(zhuǎn)換成矩陣形式為

式中，C為柔性鉸鏈平面內(nèi)的回轉(zhuǎn)精度矩陣。

2 直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的有限元驗(yàn)證

圖3 直梁圓角型柔性鉸鏈有限元模型

為了驗(yàn)證推導(dǎo)得到的直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度閉環(huán)解析式，采用UG NX NASTRAN軟件對(duì)直梁圓角型柔性鉸鏈進(jìn)行了有限元建模仿真和分析。直梁圓角型柔性鉸鏈的有限元模型如圖3所示。柔性鉸鏈的材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為：彈性模量E＝141GPa，泊松比ν＝0.259，鉸鏈高度h＝11mm，鉸鏈厚度t＝1mm，鉸鏈長(zhǎng)度l＝4mm，圓角半徑r＝0.3mm。建模時(shí)，柔性鉸鏈的右端完全約束，在左側(cè)的直梁自由端4點(diǎn)處施加單位力Fx、Fy和單位力矩Mz，觀察柔性鉸鏈幾何中心2點(diǎn)的偏移量Δx、Δy。圖4為單位力Fx、Fy和單位力矩Mz綜合作用下的直梁圓角型柔性鉸鏈的變形圖，圖中虛線所示為柔性鉸鏈變形前的位置，由圖可知施加單位載荷時(shí)，偏移量Δy遠(yuǎn)大于偏移量Δx。

圖4 直梁圓角型柔性鉸鏈仿真分析結(jié)果

回轉(zhuǎn)精度矩陣各參數(shù)的有限元仿真分析結(jié)果與解析計(jì)算值如表1所示，兩者的相對(duì)誤差控制在5%以?xún)?nèi)，從而驗(yàn)證了直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的閉環(huán)解析式的正確性。

表1 回轉(zhuǎn)精度矩陣各參數(shù)的解析值與仿真值

3 材料參數(shù)和幾何參數(shù)對(duì)柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的影響

柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度是通過(guò)其幾何中心2點(diǎn)的偏移量來(lái)表示的，相同外載荷作用下，幾何中心2點(diǎn)的偏移量越小，其回轉(zhuǎn)精度就越高。為了便于分析，取加載到自由端4點(diǎn)的外載荷為單位力和單位力矩，于是式（23）可以表示為

由式（24）可知，柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度與材料彈性模量E和泊松比ν有關(guān)系，其中，彈性模量E越大，回轉(zhuǎn)精度越高；泊松比ν越大，回轉(zhuǎn)精度越低；柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度與鉸鏈高度h成反比，即柔性鉸鏈高度h越大時(shí)，其回轉(zhuǎn)精度越高。

為了分析鉸鏈厚度t、鉸鏈長(zhǎng)度l及圓角半徑r對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響，以及量綱一參數(shù)s和q對(duì)偏移量Δx、Δy的影響，假設(shè)s＝r/t，q＝l/t，且0≤s≤1，3≤q≤10，如圖5所示。由圖5可知，柔性鉸鏈幾何中心2點(diǎn)的偏移量Δx隨著s的增大而近似線性減小，隨著q的增大而線性增大；Δy隨著s的增大而非線性減小，隨著q的增大而非線性增大。因此，當(dāng)柔性鉸鏈的厚度t確定時(shí)，圓角半徑r越大，鉸鏈長(zhǎng)度l越小，其回轉(zhuǎn)精度就越高。

圖5 回轉(zhuǎn)精度隨量鋼一參數(shù)s和q的變化圖

為了分析柔性鉸鏈的厚度t對(duì)其回轉(zhuǎn)精度的影響，若假定0.5mm≤t≤4mm，h＝11mm，r＝0.3mm，l＝4mm，則Δx、Δy均隨著t的增大而非線性減小，且其減小的速率均隨著t的增大越來(lái)越小，如圖6所示。

4 結(jié)論

本文基于懸臂梁理論推導(dǎo)了直梁圓角型柔性鉸鏈幾何中心點(diǎn)2的偏移量Δx、Δy的解析計(jì)算方法，建立了柔性鉸鏈平面內(nèi)回轉(zhuǎn)精度矩陣的閉環(huán)解析模型，給出了r?t時(shí)回轉(zhuǎn)精度矩陣模型的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。采用與有限元分析結(jié)果相比較的方式對(duì)解析模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明兩者的相對(duì)誤差小于5%，從而驗(yàn)證了回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)解析模型的正確性。分析了柔性鉸鏈的材料參數(shù)（彈性模量E、泊松比ν）以及結(jié)構(gòu)參數(shù)（鉸鏈高度h、鉸鏈厚度t、鉸鏈長(zhǎng)度l和圓角半徑r）對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響，結(jié)果表明：

圖6 回轉(zhuǎn)精度隨柔性鉸鏈厚度t的變化圖

（1）直梁圓角型柔性鉸鏈材料的彈性模量E越大、泊松比ν越小，其回轉(zhuǎn)精度越高。

（2）直梁圓角型柔性鉸鏈的高度h越大時(shí)，其回轉(zhuǎn)精度越高。

（3）當(dāng)量綱一參數(shù)0≤s≤1，3≤q≤10時(shí)，隨著s的增大、q的減小，回轉(zhuǎn)精度越來(lái)越高。因此當(dāng)柔性鉸鏈的厚度t一定時(shí)，圓角半徑r越大，鉸鏈長(zhǎng)度l越小，其回轉(zhuǎn)精度就越高。

（4）當(dāng)柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)參數(shù)h、r、l一定，且0.5mm≤t≤4mm時(shí)，隨著t的增大，回轉(zhuǎn)精度非線性增高，變化速率越來(lái)越小。

本文建立的直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)解析模型，可為柔性鉸鏈以及柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

［1］Shibazaki Y，Shi K.Apparatus for Holding Optical Element，Barrel，Exposure Apparatus and Device Producing：US，0183064［P］.2007－08－09.

［2］Rau J，Schoeppach A，Weber U.Objective with at Least One Optical Element：US，7239462［P］.2007－07－03.

［3］Michael T R H，Hilgers R，Merz E，et al.Optical Imaging Device，Particularly an Objective，with at Least One Optical Element：US，6191898［P］.2001－02－20.

［4］張景和，廖江紅，劉偉，等.二元光學(xué)元件激光直接寫(xiě)入設(shè)備的研制［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2001，22（2）：154－157.

Zhang Jinghe，Liao Jianghong，Liu Wei，et al.Manufacture of Laser Direct Lithography Equipment of Binary Optics Elements［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2001，22（2）：154－157.

［5］Ryu J W，Gweon D，Moon K S.Optimal Design of a Flexure Hinge BasedXYθZWafer Stage［J］.Precision Engineering，1997，21：18－28.

［6］Kuan Y Y，Lu Tienfu.Kinetostatic Modeling of 3－RRR Compliant Micro－motion Stages with Flexure Hinges［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44：1156－1175.

［7］吳鷹飛，李勇，周兆英，等.蠕動(dòng)式X－Y－θ微動(dòng)工作臺(tái)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2001，12（3）：263－266.

Wu Yingfei，Li Yong，Zhou Zhaoying，et al.Design and Develepment of an Inchworm Type ofX－Y－θMicro Stage［J］.China Mechanical Engineering，2001，12（3）：263－266.

［8］王林，李達(dá)成，曹芒.X射線干涉儀中單晶硅微動(dòng)工作臺(tái)的研制［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2000，21（6）：654－656.

Wang Lin，Li Dacheng，Cao Mang.High－accuracy Silicon Translation Stage for X－ray Interferometry［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2000，21（6）：654－656.

［9］Smith S T，Chetwynd D G，Bowen D K.Design and Assessment of Monolithic High Precision Translation Mechanisms［J］.J.Phys.E：Sci.Instrum.，1987，20：977－983.

［10］Kim H S，Kim E J，Song B S.Diamond Turning of Large Off－axis Aspheric Mirrors Using a Fast Tool Servo with On－machine Measurement［J］.Journal of Materials Processing Technology，2004，146：349－355.

［11］吳丹，謝曉丹，王先逵.快速刀具伺服機(jī)構(gòu)研究進(jìn)展［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2008，19（11）：1379－1385.

Wu Dan，Xie Xiaodan，Wang Xiankui.Research Review of Fast Tool Servo［J］.China Mechanical Engineering，2008，19（11）：1379－1385.

［12］戴一帆，楊海寬，王貴林，等.壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)的超精密快刀伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研制［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2009，20（22）：2717－2721.

Dai Yifan，Yang Haikuan，Wang Guilin，et al.Design and Development of an Ultra－precision Fast Tool Servo System Driven by Piezoelectric Ceramic［J］.China Mechanical Engineering，2009，20（22）：2717－2721.

［13］Lobontiu N，Paine J S N，Garcia E，et al.Design of Symmetric Conic－section Flexure Hinges Based on Closed－form Compliance Equations［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37（5）：477－498.

［14］Lobontiu N，Paine J S N.Corner－filleted Flexure Hinges［J］.ASME Mech.Design，2001，123（3）：346－352.

［15］張志杰，袁怡寶，樸偉英.典型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度性能計(jì)算與分析［J］.納米技術(shù)與精密工程，2007，5（3）：200－204.

Zhang Zhijie，Yuan Yibao，Piao Weiying.Rotation Precision Calculation and Analysis of Typical Flexure Hinges［J］.Nanotechnology and Precision Engineering，2007，5（3）：200－204.

［16］Xu W，King T G.Flexure Hinges for Piezo－actuator Displacement Amplifiers：Flexibility，Accuracy and Stress Considerations［J］.Precision Engineering，1996，19（1）：4－10.

［17］Ryu J W，Gweon D G.Error Analysis of a Flexure Hinge Mechanism Induced by Machining Imperfection［J］.Precision Eng.，1999，21（2）：83－89.