張玉梅

（赤峰學(xué)院建筑與機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

基于半徑變化量測(cè)量的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法研究

張玉梅

（赤峰學(xué)院建筑與機(jī)械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

最小外接圓法是一種工程中常用的圓度誤差評(píng)定方法.文章給出了基于半徑變化量測(cè)量的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法的數(shù)學(xué)模型和最小外接圓的判定方法和條件.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，給出的數(shù)學(xué)模型是正確的，判定條件是合理可行的.

最小外接圓法；半徑變化量測(cè)量；圓度誤差

1 前言

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB/T7235-2004，圓度誤差主要有四種評(píng)定方法，分別是最小區(qū)域圓法、最小二乘圓法和切接圓法（包括最小外接圓法和最大內(nèi)接圓法）[1].其中最小外接圓法是工程中常用的一種方法，主要用于軸類零件的圓度誤差評(píng)定，相當(dāng)于基孔制的軸孔配合情況[2].

按采樣方式不同，圓度誤差的精密測(cè)量有坐標(biāo)測(cè)量法和半徑變化量測(cè)量法[3].本文將在最小二乘圓法的基礎(chǔ)上，研究基于半徑變化量測(cè)量方式的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法的數(shù)學(xué)模型，討論最小外接圓的判定條件.

2 最小外接圓法圓度誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型

最小外接圓法圓度誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型在最小二乘圓法基礎(chǔ)上給出.

所謂最小二乘圓法，是指根據(jù)實(shí)際被測(cè)輪廓上各測(cè)量點(diǎn)到最小二乘圓的徑向距離平方和最小的原則，首先確定最小二乘圓，據(jù)此確定的圓度誤差值等于實(shí)際被測(cè)點(diǎn)到最小二乘圓的徑向距離最大值（正）與最小值（負(fù)）的差值，如圖1所示.

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，基于半徑變化量測(cè)量的最小二乘圓圓心坐標(biāo)O0(x0，y0)和最小二乘圓半徑R0分別為：

式中M表示測(cè)量一周的采樣點(diǎn)數(shù)；

j表示采樣點(diǎn)序號(hào)，j=1,2,…,M；

r0表示第一個(gè)測(cè)量點(diǎn)至回轉(zhuǎn)中心的距離；

ΔRj表示任一測(cè)量點(diǎn)相對(duì)于第一個(gè)測(cè)量點(diǎn)的半徑變化量.

θj表示任意測(cè)量點(diǎn)與第一個(gè)測(cè)量點(diǎn)間的夾角；

任意測(cè)量點(diǎn)Pj相對(duì)最小二乘圓的徑向偏差值δj為：

最小二乘圓法評(píng)定的圓度誤差E0的數(shù)學(xué)模型為：

式中ΔRmax，ΔRmin分別表示實(shí)際被測(cè)點(diǎn)到最小二乘圓的最大偏差值點(diǎn)和最小偏差值點(diǎn)相對(duì)于第一測(cè)量點(diǎn)的半徑變化量；

θmax，θmin則表示與ΔRmax，ΔRmin相對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)角坐標(biāo).

圖1 最小二乘圓法圓度誤差評(píng)定原理圖

最小外接圓法的評(píng)定過程是：先作實(shí)際被測(cè)輪廓的最小外接圓，然后作與最小外接圓同心的被測(cè)輪廓的最大內(nèi)包容圓，兩同心圓的半徑差，就是最小外接圓法評(píng)定的圓度誤差，如圖2所示.O1是最小外接圓圓心，R1是最小外接圓半徑，Rmin是與最小外接圓同心的被測(cè)輪廓最大內(nèi)包容圓的半徑，即被測(cè)點(diǎn)中到最小外接圓徑向距離最大點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的半徑.按此方法評(píng)定圓度誤差E1計(jì)算式為：

圖2 最小外接圓法圓度誤差評(píng)定原理圖

按照確定最小二乘圓的方法，加上最小外接圓的判斷條件來確定最小外接圓，得到基于半徑變化量測(cè)量的最小外接圓法圓度誤差評(píng)定數(shù)學(xué)模型為：

式中M、j、ΔRj同上；

(x1,y1)表示最小外接圓的圓心坐標(biāo)；

ΔRmin表示位于同心最大內(nèi)包容圓上的測(cè)量點(diǎn)的半徑變化量測(cè)量值；

θmin表示與ΔRmin相應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的角坐標(biāo)值.

ΔRmax表示位于最小外接圓上的測(cè)量點(diǎn)的半徑變化量測(cè)量值；

θmax表示與ΔRmax相應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的角坐標(biāo)值；

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，最小外接圓的判斷準(zhǔn)則有兩種，分別為：

（1）對(duì)徑準(zhǔn)則.外接圓與被測(cè)輪廓兩點(diǎn)相接，且此兩點(diǎn)連線為外接圓直徑.

（2）三角形準(zhǔn)則.外接圓與被測(cè)輪廓三點(diǎn)相接，此三點(diǎn)相連后形成銳角或直角三角形.

測(cè)量點(diǎn)屬于外接圓和被測(cè)輪廓接觸點(diǎn)的判斷方法是：被測(cè)沾到最小二乘圓偏差值最大且相等.

基于半徑變化量測(cè)量的最大偏差值計(jì)算式為：

式中(xm,ym)表示外接圓圓心坐標(biāo).

3 最小外接圓判定方法

3.1 對(duì)徑準(zhǔn)則的判定方法

若被測(cè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)（A和B）與最小二乘圓的徑向偏差值最大且相等，即

同時(shí)，此兩點(diǎn)的角坐標(biāo)滿足式（6），

則判斷此圓是最小外接圓.否則，按下面方法進(jìn)行判斷.

3.2 三角形準(zhǔn)則的判定方法

若被測(cè)點(diǎn)中有三點(diǎn)（A、B和C）與最小二乘圓徑向偏差最大且相等，即

則首先將三點(diǎn)的角坐標(biāo)θA，θB，θC按由大到小的順序排列，比如θA>θB>θC，然后按照下列條件判斷是否滿足銳角或直角三角形準(zhǔn)則.

條件1若θA-θC=180°，則A、B、C三點(diǎn)連線會(huì)構(gòu)成直角三角形，如圖3所示（設(shè)θC=0°），說明此時(shí)的外接圓是最小外接圓.

圖3 三角形準(zhǔn)則最小外接圓判定條件1

條件2：若同時(shí)成立，則A、B、C三點(diǎn)連線構(gòu)成銳角三角形（如圖4（a））或直角三角形（如圖4（b））（設(shè)θC=0°），可以判定此外接圓為最小外接圓.

圖4 三角形準(zhǔn)則最小外接圓判定條件2

條件3若θA-θC<180°，如圖5所示（設(shè)θC=0°），說明A、B、C連線會(huì)構(gòu)成鈍角三角形，則說明此外接圓不是最小外接圓.

圖5 三角形準(zhǔn)則最小外接圓判定條件3

條件4若θB-θC>180°，如圖6所示，（設(shè)θC=0°），說明A、B、C連線構(gòu)成鈍角三角形，說明此外接圓不是最小外接圓.

圖6 三角形準(zhǔn)則最小外接圓判定條件4

最小外接圓判定條件匯總結(jié)果見表1.

表1 最小外接圓判定條件

3.3 最小外接圓與被測(cè)輪廓接觸點(diǎn)數(shù)多于三點(diǎn)時(shí)的判定方法

當(dāng)外接圓和被測(cè)輪廓接觸點(diǎn)數(shù)量超過三點(diǎn)時(shí)，將所有接觸點(diǎn)的角坐標(biāo)排序，三個(gè)一組，按一個(gè)方向逐次判斷.只要出現(xiàn)一組滿足表1所列最小外接圓成立條件即可.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將圓度誤差的半徑變化量測(cè)量數(shù)據(jù)，經(jīng)過濾波等數(shù)據(jù)處理后，得實(shí)際輪廓，再根據(jù)前文給出的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法數(shù)學(xué)模型和最小外接圓判定條件，通過優(yōu)化算法得到最小外接圓，結(jié)果如圖7所示.A、B、C三點(diǎn)滿足三角形準(zhǔn)則中的判定條件2.

圖7 被測(cè)輪廓與最小外接圓

5 結(jié)論

針對(duì)圓度誤差的半徑變化量測(cè)量法，研究了工程中常用的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法的數(shù)學(xué)模型，并給出了最小外接圓的判定條件.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，給出的基于半徑變化量測(cè)量的圓度誤差最小外接圓評(píng)定法的數(shù)學(xué)模型是正確的，最小外接圓的判定方法和條件是合理可行的.研究結(jié)果對(duì)基于半徑變化量測(cè)量的圓度誤差評(píng)定方法研究有重要的應(yīng)用價(jià)值.

〔1〕GB/T7235—2004,產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范(GPS)評(píng)定圓度誤差的方法[S].中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局，2004.

〔2〕方沁林.圓度誤差評(píng)定的算法研究與軟件設(shè)計(jì)[D].武漢:華中科技大學(xué),2007.

〔3〕甘永立.形狀和位置誤差檢測(cè)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1995.

〔4〕曹麟祥,王丙甲.圓度檢測(cè)技術(shù)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1998.

TB92

A

1673-260X（2013）11-0013-03