景慧麗，趙偉舟，屈 娜，劉 華

（第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710025）

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和方法探討

景慧麗，趙偉舟，屈 娜，劉 華

（第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710025）

為了幫助學(xué)員更熟練地掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的方法，本文對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的方法進(jìn)行了探討，提出可以利用定義、利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)等四種常用方法來求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；求和；方法

1 利用定義

定義[1]如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{sn}有極限s，即則稱無窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和，并寫成

如果{sn}沒有極限，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.

所以

2 利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)

所以收斂半徑R=2，收斂區(qū)間為(-2,2).

當(dāng)x=2時(shí)，級(jí)數(shù)為，顯然該級(jí)數(shù)發(fā)散；

注2 該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是無法用定義求的，但利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是很容易求出的.

注3 利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是一種非常常用的方法，該方法的關(guān)鍵是求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，當(dāng)然冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)我們可以利用定義，即來求，但這種方法我們基本不用，因?yàn)樗謿w屬于求“數(shù)列的前n項(xiàng)和”.

注4 我們常用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，即在收斂域內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)可以逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分來求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).一般方法是把冪級(jí)數(shù)化成常見函數(shù)的冪級(jí)數(shù)，且最常用的方法是把冪級(jí)數(shù)化成等比級(jí)數(shù).

注5 一般地如果冪級(jí)數(shù)是的形式，我們常用先逐項(xiàng)微分再積分的方法來求和函數(shù)，即就是把分母中的n消去，再利用等比級(jí)數(shù)求和公式；如果冪級(jí)數(shù)是的形式，則我們是先逐項(xiàng)積分再微分的方法來求和函數(shù)，即就是把分子中的n消去，再利用等比級(jí)數(shù)求和公式.

3 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

定義[1]冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒級(jí)數(shù).

注6 該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是無法用定義求的，但利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式是很容易求出的，當(dāng)然該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和也可以通過構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)來求.

注7 利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是一種常用的方法，該方法的關(guān)鍵是求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，常用的求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開式的方法就是間接法.且這類題目一般是先求某個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，然后借助該冪級(jí)數(shù)展開式再求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.

4 利用傅里葉級(jí)數(shù)

定理[1]設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

例4[2]將函數(shù)f(x)=x2在(0,π)上展為余弦級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.

解 將函數(shù)f(x)進(jìn)行偶延拓，則有

在x=π處，級(jí)數(shù)收斂于π2，所以

注8 對(duì)于初學(xué)者來說，利用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是比較困難的，因?yàn)槌鯇W(xué)者很難想到可以利用哪個(gè)函數(shù)的傅里葉展開式.但是，這類題目一般是先求某個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，然后再借助該傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，那么學(xué)員只需明確該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是函數(shù)在哪一點(diǎn)的傅里葉級(jí)數(shù)即可.

總之，求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)問題，除了上述四種方法外，還有微分方程法等其它方法，但最常用的就是利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)來求，學(xué)員一定要明確可以把數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)看成是哪個(gè)冪級(jí)數(shù)在哪一點(diǎn)的值.另外，學(xué)員一定靈活運(yùn)用上述四種計(jì)算方法，注意不同解法的適用范圍．

〔1〕同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下)[M].北京：高等教育出版社,2007.249～316.

〔2〕張?zhí)斓?，蔣曉蕓.吉米多維奇高等數(shù)學(xué)習(xí)題精選精解[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010.428.

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A

1673-260X（2013）10-0007-02在高等數(shù)學(xué)課程中，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問題是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)問題，但是，眾多高等數(shù)學(xué)教材中關(guān)于求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的方法講得比較簡(jiǎn)略.在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)員往往對(duì)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和這一問題感到束手無策、無從下手.筆者認(rèn)為對(duì)于求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和可以主要利用下列四種方法.