何濤，李書海

（赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內蒙古赤峰024000）

用算子定義的一類特殊解析函數(shù)

何濤，李書海

（赤峰學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，內蒙古赤峰024000）

本文引進并研究一類用微分算子定義的解析函數(shù).用最大模原理和從屬關系證明該類中函數(shù)的系數(shù)不等式，然后用此定理證明類中函數(shù)的積分算子、單葉半徑、凸半徑和極值點等性質.

解析函數(shù)；單葉；最大模；算子；半徑

1 引言

設-1≤B＜A≤1，0≤α＜1，β≥0，f(z)∈T，函數(shù)f(z)∈Tσ,k(α, β)當且僅當

其中Dσf為[1]中引進的Salagean算子，且具有如下展開式

利用從屬關系可知,當且僅當存在D內滿足條件

本文中討論函數(shù)類Tσ,k(α,β)的系數(shù)不等式、積分算子、單葉半徑、凸半徑和極值點等性質.

2 主要結果及其證明

定理1（系數(shù)不等式）設0≤B＜A≤1，0≤α＜1，β≥0,函數(shù)f(z)∈Tσ,k(α,β)當且僅當

證明充分性,令|z|=1,則

于是,由最大模原理,f(z)∈Tσ,k(α,β)；必要性設f(z)∈Tσ,k(α,β)，那么

|Rez|≤z對于所有的z成立,所以,我們有

推論函數(shù)f(z)∈Tσ,k(α,β),則

定理2（積分算子）設c是實數(shù)且c＞-1 f(z)∈Tσ,k(α, β)，則函數(shù)

證明因為f(z)∈Tσ,k(α,β)，則由F(z)的表達式,得到

因此,F(z)∈Tσ,k(α,β).證畢.

定理3（單葉半徑）設c是實數(shù)且c＞-1又設F(z)∈Tσ,k(α,β)，則由(5)式定義的函數(shù)f(z)在|z|＜R*中是單葉的,其中

為證明f(z)在|z|＜R*中單葉,只需證明在|z|＜R*中有|f' (z)-1|≤1.

由定理1可知

因此,如果

或者

即f(z)在|z|＜R*中單葉.

相同的方法容易證明凸半徑：

定理4（凸半徑）設f(z)∈Tσ,k(α,β),則f(z)在|z|＜R中是凸的,

證明設

則利用定理1，我們有

〔1〕G.S.Salagean,Subclasses of Univalent Functions[J]. Lecture Notes in Mathematics,vol.1013,Springer-Verlag,Berlin,1983,pp.362_372.

〔2〕李書海.特殊解析函數(shù)[M].內蒙古科技出版社,2007.

O174

A

1673-260X（2013）07-0005-02