楊澤斌，汪明濤，孫曉東，朱熀秋

(江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

1 前言

無軸承同步磁阻電動機(jī)(bearingless synchro-nous reluctance motor,BSRM)將磁軸承與同步磁阻電動機(jī)融于一體，實(shí)現(xiàn)電磁轉(zhuǎn)矩與徑向力的集成化與一體化，具有高轉(zhuǎn)速、無磨損、無潤滑和壽命長等普通電動機(jī)不具有的優(yōu)點(diǎn)，在高速機(jī)床、飛輪儲能、渦輪分子泵及離心壓縮機(jī)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用空間[1-2]。

BSRM與其他類型無軸承電動機(jī)相比，由于轉(zhuǎn)子沒有永磁體，也不需要勵磁繞組，結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)行可靠，成本低廉。因其可以實(shí)現(xiàn)較高的凸極比，從而具有轉(zhuǎn)矩密度高、動態(tài)響應(yīng)快、轉(zhuǎn)矩脈動小和功耗低等優(yōu)點(diǎn)，在高速高精應(yīng)用領(lǐng)域具有獨(dú)特優(yōu)勢[3-4]。

BSRM是一個非線性、多變量和強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，要實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮與可控旋轉(zhuǎn)，必須實(shí)施電磁轉(zhuǎn)矩與徑向懸浮力之間的動態(tài)解耦。文獻(xiàn)[3]分析了BSRM的基本結(jié)構(gòu)與運(yùn)行機(jī)理，指出電動機(jī)能穩(wěn)定可靠懸浮工作的核心是控制系統(tǒng)設(shè)計。文獻(xiàn)[4]采用前饋補(bǔ)償設(shè)計了解耦控制系統(tǒng)，由于直接采用給定電流參與解耦計算，解耦精度較差，引起閉環(huán)動態(tài)性能下降。文獻(xiàn)[4]同時指出，BSRM徑向力和電動機(jī)繞組電流的線性關(guān)系受磁飽和影響較大，當(dāng)電動機(jī)繞組中電流達(dá)到一定值后，反而隨電流增加而下降。因此，這種基于線性方法設(shè)計的補(bǔ)償解耦方法，在電動機(jī)飽和運(yùn)行區(qū)域控制性能欠佳。文獻(xiàn)[5]提出一種改進(jìn)的BSRM數(shù)學(xué)模型，通過在線查表與參數(shù)檢測，達(dá)到減小磁飽和及徑向懸浮力和轉(zhuǎn)矩之間耦合的目的。但是上述文獻(xiàn)提出的解耦方法本質(zhì)上只是實(shí)現(xiàn)了懸浮力與電磁轉(zhuǎn)矩的靜態(tài)解耦，并沒有實(shí)現(xiàn)完全意義上的動態(tài)解耦。

近年來，逆系統(tǒng)成為非線性解耦控制的一種有效方法[6]，但是傳統(tǒng)逆系統(tǒng)在實(shí)際工程中碰到2個瓶頸:(1) 逆系統(tǒng)方法要求被控對象數(shù)學(xué)模型與參數(shù)精確已知，這在實(shí)際工程中幾乎是不可能的；(2) 逆系統(tǒng)需要求解出逆模型的解析表達(dá)式，對于復(fù)雜被控對象很難或無法滿足。為此，有學(xué)者將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力與逆系統(tǒng)結(jié)合，在初定逆系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)離線辨識被控對象的逆模型，并實(shí)施在線解耦控制，取得了很好的控制效果[7]。但理論分析與數(shù)據(jù)試驗(yàn)表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢，泛化能力弱，結(jié)構(gòu)確定難，容易陷入局部最小，限制了其使用范圍。與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化準(zhǔn)則的支持向量機(jī)具有小樣本學(xué)習(xí)、訓(xùn)練速度快、泛化能力強(qiáng)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固定等優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際問題中具有更好的應(yīng)用前景[8-10]。下文在建立BRSM數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出了BSRM的LS-SVM逆模型辨識與動態(tài)解耦控制策略?；贗nteractor算法[11]，在分析逆系統(tǒng)存在的基礎(chǔ)上，利用LS-SVM的函數(shù)擬合能力，離線建立了BSRM逆模型；將逆模型與原系統(tǒng)串聯(lián)，將原非線性系統(tǒng)線性化解耦為3輸入3輸出的偽線性系統(tǒng)，并構(gòu)造了PID反饋控制器。

2 BSRM數(shù)學(xué)模型與可逆性分析

2.1 BSRM數(shù)學(xué)模型

對于轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，凸極弧度角為30°，轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM=2，懸浮力繞組極對數(shù)PB=1的BRSM，在忽略磁飽和情況下，作用在轉(zhuǎn)子單位表面積上的Maxwell力為

(1)

其沿x，y方向上的Maxwell力分別為

(2)

式中：B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；θ為轉(zhuǎn)子機(jī)械角度；μ0為真空磁導(dǎo)率；A為有效面積；l為電動機(jī)有效鐵芯長度；r為轉(zhuǎn)子凸極半徑。

假定轉(zhuǎn)子偏心位移遠(yuǎn)小于氣隙長度[12]，且僅考慮轉(zhuǎn)子凸極區(qū)域有效部分，在凸極區(qū)域進(jìn)行分段積分。為了進(jìn)一步簡化表達(dá)式，將磁通勢用電流及線圈匝數(shù)表示，將電流矢量轉(zhuǎn)化到d-q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，得到x，y方向徑向力分別為

(3)

式中:id，iq分別為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)矩繞組等效兩相電流;ix，iy分別為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下懸浮力繞組等效兩相電流；N1,N2分別為轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組每相串聯(lián)有效匝數(shù)；δ0為平均氣隙長度。

當(dāng)轉(zhuǎn)子偏心時，受到的Maxwell張力為

(4)

式中：k為與電動機(jī)結(jié)構(gòu)有關(guān)的比例參數(shù)；x，y為轉(zhuǎn)子徑向偏移量。假定轉(zhuǎn)子沿x，y方向施加的徑向載荷分別為Fzx，F(xiàn)zy，m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，則可建立的轉(zhuǎn)子徑向力子系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

(5)

BRSM定子電壓方程為

(6)

定子磁鏈方程為

(7)

轉(zhuǎn)矩方程為

(8)

旋轉(zhuǎn)運(yùn)動方程為

(9)

式中：ud，uq為定子電壓d-q軸分量；Rs為定子每相電阻；Ld，Lq分別為d-q軸電感；Ω為同步角速度；Ψd，Ψq為定子磁鏈d-q軸分量；J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量；pm為電動機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)；Te，TL分別為電動機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2.2 復(fù)合被控對象的狀態(tài)方程

BRSM的完整數(shù)學(xué)模型極其復(fù)雜，但如果將BRSM與供電的三相逆變器及其附加電路看作一個復(fù)合的被控對象，就可以在懸浮力系統(tǒng)運(yùn)動方程與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動方程的基礎(chǔ)上，簡化其數(shù)學(xué)模型，復(fù)合被控對象示意圖如圖1所示。

圖1 BRSM復(fù)合被控對象

在d-q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，選擇BRSM復(fù)合被控對象狀態(tài)變量

ξ=[ξ1ξ2ξ3ξ4ξ5]T=

(10)

系統(tǒng)輸入變量

u=[u1u2u3]T=[iqixiy]T，

(11)

系統(tǒng)輸出變量

η=[η1η2η3]T=[xyω]T，

(12)

建立復(fù)合被控對象的狀態(tài)方程

(13)

系統(tǒng)輸出方程η=h(ξ)，即

(14)

2.3 模型可逆性分析

由系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程可以看出，系統(tǒng)為5階3輸入3輸出的非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，直接線性化并實(shí)施閉環(huán)控制難度很大。如果能使用α階逆系統(tǒng)理論構(gòu)造出原系統(tǒng)的逆系統(tǒng)，并將其串聯(lián)在原系統(tǒng)之前，則原系統(tǒng)被線性化解耦為3個相互獨(dú)立的線性積分系統(tǒng)，再運(yùn)用線性系統(tǒng)理論實(shí)施閉環(huán)控制。

首先計算輸出η=h(ξ)對時間的導(dǎo)數(shù)，直至顯含輸入變量u[11]，得到

(15)

從而得到系統(tǒng)的Jacobi矩陣為

(16)

經(jīng)計算可得

(17)

Jacobi矩陣A非奇異，系統(tǒng)可逆，同時相對階為α=[α1α2α3]T=[2 2 1 ]T，逆解析形式為

(18)

3 BRSM的逆模型辨識與解耦控制

3.1 LS-SVM辨識原理

給定n組訓(xùn)練樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)， 輸入為xi∈Rm，輸出為yi∈R，LS-SVM的目的是確定函數(shù)

y(x)=ωTφ(x)+b，

(19)

對未知函數(shù)進(jìn)行估計，其中權(quán)向量ω∈Rm，偏置值b∈R。非線性映射φ(x)將樣本從原空間映射到高維特征空間。

LS-SVM的訓(xùn)練可以通過求解以下最優(yōu)化問題來完成

(20)

yi=ωTφ(xi)+b+εi,i=1,2,…，n,

式中：γ為正則化參數(shù)(懲罰因子)；εi為不敏感損失函數(shù)的松弛因子。

引入Lagrange乘子ai，將(20)式的約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題

(21)

其中a=(a1,a2,…，an)T，ω=(ε1,ε2,…，εn)T。

根據(jù)KKT條件，將Lagrange函數(shù)對ω，a，b，ε分別求偏導(dǎo)，可以將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐韵戮€性方程組的求解問題

(22)

其中K(xi,yj) 為滿足Mercer條件的核函數(shù)，常用的有多項(xiàng)式、徑向基函數(shù)(RBF)、Sigmoid 函數(shù)等多種形式?？紤]到RBF 核函數(shù)具有參數(shù)容易選擇、易于實(shí)現(xiàn)和辨識效果好等優(yōu)點(diǎn)，文中選擇RBF核函數(shù)。

(23)

式中：σ為核寬度，反映了邊界封閉包含的半徑。

基于上述最小二乘法(22)式求解a與b，再由(21)式求出ω，就可以得出(xi,yi)擬合方程為

(24)

由 (24)式可知，LS-SVM函數(shù)擬合結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 支持向量機(jī)函數(shù)擬合結(jié)構(gòu)圖

3.2 BRSM的LS-SVM逆模型辨識

采用LS-SVM辨識逆模型，可以突破傳統(tǒng)逆系統(tǒng)控制方法的技術(shù)瓶頸，使得復(fù)雜非線性系統(tǒng)的逆控制成為可能。一方面，用支持向量機(jī)逼近逆模型，可以有效解決解析逆矩陣無法求取的難題，同時可以有效克服神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢，容易陷入局部最小及網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)難以確定等難題。

LS-SVM逆模型辨識步驟如下。

(2) 離線建立逆模型。根據(jù)采樣數(shù)據(jù)建立的訓(xùn)練樣本集，采用最小二乘算法(22)式對3個支持向量機(jī)進(jìn)行離線學(xué)習(xí)，獲得相應(yīng)的a與b，從而建立支持向量機(jī)逆模型。

3.3 BRSM的LS-SVM逆解耦控制

將訓(xùn)練好的逆模型作為前饋控制器與原系統(tǒng)串聯(lián)，構(gòu)成3個相互獨(dú)立的偽線性系統(tǒng)，傳遞函數(shù)分別為Gx(s)=s-2，Gy(s)=s-2，Gω(s)=s-1，如圖3所示。

圖3 支持向量機(jī)逆線性化解耦示意圖

這樣，一個復(fù)雜非線性系統(tǒng)控制問題就轉(zhuǎn)換成簡單的線性系統(tǒng)控制問題。綜合考慮響應(yīng)速度、控制精度、承載能力和穩(wěn)定性等因素，設(shè)計帶微分限制環(huán)節(jié)與積分分離算法的PID控制器作為反饋環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為

(25)

式中：TD為微分時間常數(shù)；KP為比例系數(shù)；TI為積分時間常數(shù)；ε為微分增益；e為輸入靜差；c為設(shè)定閾值。

PID反饋控制器與支持向量機(jī)逆前饋控制器構(gòu)成復(fù)合控制器，與被控對象組成閉環(huán)控制系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 BRSM閉環(huán)控制系統(tǒng)

4 系統(tǒng)仿真與分析

為了驗(yàn)證BRSM支持向量機(jī)逆模型辨識與解耦控制效果，采用Matlab/Simulink搭建仿真平臺，對系統(tǒng)的擬合輸出特性、BRSM轉(zhuǎn)子起浮特性與轉(zhuǎn)速響應(yīng)、轉(zhuǎn)速突變的位移和轉(zhuǎn)速特性進(jìn)行了仿真試驗(yàn)。 無軸承同步磁阻電動機(jī)樣機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組參數(shù)為：極對數(shù)PM=2，Ld=0.035 H，Lq=0.007 H，Rs1=0.25 Ω。懸浮力繞組參數(shù)：PB=1，d-q軸電感Lx=Ly=0.02 H，Rs2=0.15 Ω。轉(zhuǎn)子參數(shù)：質(zhì)量m=1 kg，轉(zhuǎn)動慣量Jz=1.356×10-4kg·m2，Jx=Jy=2×10-3kg·m2，氣隙長度δ0=0.25 mm。

采用1 500組數(shù)據(jù)對支持向量機(jī)進(jìn)行擬合訓(xùn)練后，用500組數(shù)據(jù)驗(yàn)證支持向量機(jī)逆擬合結(jié)果，擬合相對誤差如圖5所示。最大相對誤差為2.9%， 平均相對誤差為1.8%，達(dá)到了很好的擬合效果。

圖5 支持向量機(jī)逆擬合相對誤差

仿真步驟為，給定轉(zhuǎn)子初始位置后空載啟動，將速度調(diào)至5 000 r/min，研究閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能。在穩(wěn)定懸浮后突變徑向位移給定，驗(yàn)證閉環(huán)解耦效果與魯棒性。

圖6為電動機(jī)靜止?fàn)顟B(tài)下空載啟動至穩(wěn)定懸浮于5 000 r/min時的轉(zhuǎn)子起浮運(yùn)動軌跡，轉(zhuǎn)子質(zhì)心初始位置為x0=-0.1 mm，y0=-0.1 mm。給定位置為x*=0，y*=0。計算得位移調(diào)節(jié)時間小于0.04 s ，超調(diào)量δ小于2%，無穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 轉(zhuǎn)子起浮軌跡

電動機(jī)的速度響應(yīng)曲線如圖7所示，可以看出，速度調(diào)節(jié)時間小于0.2 s，超調(diào)量δ小于1% ，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，動態(tài)性能好。

圖7 轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

為了檢驗(yàn)閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)解耦效果與魯棒性能，轉(zhuǎn)子質(zhì)心初始位置設(shè)定為x0=0，y0=0，轉(zhuǎn)速n0=0，轉(zhuǎn)子位置給定值設(shè)為x*=0.1 mm，y*=0 mm，轉(zhuǎn)速給定值n=5 000 r/min。在t=0.5 s時轉(zhuǎn)子位置給定值突變?yōu)閤*=-0.1 mm，y*=0，轉(zhuǎn)速給定值不變。在t=1 s時轉(zhuǎn)子位置給定值突變?yōu)閤*=-0.1 mm，y*=0.1 mm，轉(zhuǎn)速給定值不變。在t=1.5 s時轉(zhuǎn)子位置給定值不變，轉(zhuǎn)速給定值突變?yōu)閚=6 000 r/min。質(zhì)心移動軌跡和轉(zhuǎn)速軌跡如圖8所示，可以看出，當(dāng)位置給定值突變時，轉(zhuǎn)子在經(jīng)過小幅震蕩以后，很快穩(wěn)定懸浮在給定位置，在此期間，另一方向位置及轉(zhuǎn)速保持不變；當(dāng)轉(zhuǎn)速給定值突變時，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速亦能快速跟蹤到給定值，并保持轉(zhuǎn)子位置不變，表明閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的動態(tài)解耦效果和魯棒性。

圖8 突變給定下的系統(tǒng)響應(yīng)

5 結(jié)論

為有效解決BSRM這一非線性、強(qiáng)耦合的多輸入、多輸出系統(tǒng)的動態(tài)解耦問題，提出了基于LS-SVM逆模型辨識與動態(tài)解耦控制策略，得到以下結(jié)論：

(1) BSRM是一個3輸入3輸出的5階非線性、強(qiáng)耦合復(fù)雜系統(tǒng)，而且BSRM系統(tǒng)是可逆的；

(2) LS-SVM逆模型辨識方法不需要系統(tǒng)的先驗(yàn)知識，可以在不依賴BSRM精確數(shù)學(xué)模型的前提下，很好地完成BSRM逆模型辨識，從而突破了傳統(tǒng)逆系統(tǒng)方法的2個瓶頸；

(3) LS-SVM逆解耦控制方法結(jié)合了LS-SVM的非線性回歸能力與逆系統(tǒng)方法線性化解耦的優(yōu)點(diǎn)，可以將BSRM系統(tǒng)解耦為偽線性系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了BSRM轉(zhuǎn)速、x軸及y軸徑向位移的線性獨(dú)立控制，同時設(shè)計的閉環(huán)控制系統(tǒng)具有超調(diào)量小、控制精度高、響應(yīng)速度快和抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。