周巧喜，郭業(yè)才

1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南 232001

2.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，南京 210044

變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)的判決反饋盲均衡算法

周巧喜1，郭業(yè)才2

1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南 232001

2.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，南京 210044

1 引言

水下通信系統(tǒng)中，帶寬受限和多徑傳播引起的碼間干擾（ISI）是影響通信質(zhì)量的一個重要因素，需要有效的信道均衡技術(shù)來消除。目前，在不需要訓(xùn)練序列的盲均衡算法中，線性均衡算法結(jié)構(gòu)簡單、性能穩(wěn)定，但只適用于干擾不太嚴(yán)重的水聲信道均衡[1-2]。判決反饋均衡器（DFE）由于反饋濾波器部件具有非線性特性，可以補(bǔ)償具有深譜零點的水聲信道[3-6]，在信道選擇性衰落較為嚴(yán)重時具有良好的性能，被廣泛使用。然而同線性均衡算法固有的缺陷一樣，非線性均衡算法也通常采用LMS準(zhǔn)則進(jìn)行迭代，誤差函數(shù)是均衡器權(quán)向量更新因子的一部分[7-8]。誤差函數(shù)不同，所得均衡器的權(quán)向量不同，進(jìn)而所得均衡器的性能也不同。因此，誤差函數(shù)的形式和特點對算法的性能有著重要的影響。

由誤差函數(shù)的特性可知，誤差函數(shù)的不對稱性和不可調(diào)性是導(dǎo)致收斂速度慢和穩(wěn)態(tài)誤差大的主要原因之一。針對這種情況，關(guān)于誤差函數(shù)的改進(jìn)在文獻(xiàn)[9-10]中都給出了具體的改進(jìn)方法，改進(jìn)后的算法均衡效果都很好。但是它們的改進(jìn)，前者是針對的某一種誤差函數(shù)，后者是構(gòu)造了一種新誤差函數(shù)。但是，對于各種形式的誤差函數(shù)，若都改進(jìn)為奇對稱形式以提高均衡的性能，則改進(jìn)后的函數(shù)形式比較繁瑣，迭代過程也較復(fù)雜。

因此，本文在分析DFE結(jié)構(gòu)以及幾種常用誤差函數(shù)特點的基礎(chǔ)上，提出了基于變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)的判決反饋盲均衡算法。該算法可以改進(jìn)各種誤差函數(shù)，提高它們的均衡效果，理論分析和仿真實驗證明了上述新誤差函數(shù)的有效性。

2 基于傳統(tǒng)誤差函數(shù)的判決反饋盲均衡算法

2.1 判決反饋均衡器系統(tǒng)模型

判決反饋濾波器一般包括兩個濾波器：前饋橫向濾波器和反饋橫向濾波器。前饋濾波器直接以信道的輸出作為輸入；而反饋濾波器則以均衡器本身的判決信號作為輸入，這個濾波器的輸出被用以抵消來自前面符號的部分干擾[11]。判決反饋均衡器的結(jié)構(gòu)，如圖1所示。其中，a(k)是發(fā)射信號序列，c(k)是信道的沖激響應(yīng)，n(k)是高斯白噪聲序列，y(k)是信道的輸出，f(k)和b(k)分別是前饋橫向濾波器和反饋橫向濾波器的抽頭系數(shù)，長度分別為Nf和Nb，z(k)為均衡器的輸出，a?(k)是判決器Q(·)對z(k)的判決信號。

圖1 具有DFE結(jié)構(gòu)的盲均衡原理

其中，“T”表示轉(zhuǎn)置，則判決反饋均衡器的判決器輸入為：

式（1）中，*表示共軛，“H”表示共軛轉(zhuǎn)置。

2.2 算法介紹

DFE系統(tǒng)采用應(yīng)用最廣泛的盲均衡算法——常數(shù)模算法[12]（CMA）進(jìn)行均衡。

CMA的代價函數(shù)定義為：其中，R2=E{|a(k)|4}/E{|a(k)|2}，表示發(fā)射序列a(k)的模。各種誤差函數(shù)曲線，如圖2所示（設(shè)采用的發(fā)射序列是4QAM信號，R=）。

圖2 幾種常用傳統(tǒng)誤差函數(shù)的曲線圖

圖2表明，當(dāng)e1(k)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于常數(shù)模R值時，這時e1(k)是一個較大的正值。由梯度下降法可知，迭代公式中含有e1(k)，所以在自適應(yīng)過程的開始收斂速度比較快，而當(dāng)接近收斂點時，對于大小相等符號相反的幅度偏差，誤差函數(shù)卻不能提供相同的補(bǔ)償。這種不對稱性，使得接近收斂點時，收斂速度比起始階段慢。e2(k)關(guān)于零誤差點(R,0)對稱，在接近收斂點時，誤差函數(shù)可以提供相同的補(bǔ)償。這種對稱性，使系統(tǒng)獲得較好的性能，但是它的收斂速度慢。e3(k)在接近收斂點時，與e2(k)具有類似的特點，但初始收斂速度比e2(k)慢。e4(k)是為了避免對噪聲的敏感性設(shè)計的，而且當(dāng)它遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于常數(shù)模R值時，提供了比e2(k)和e3(k)更大的初始收斂速率。然而，在收斂點附近，e4(k)的誤差值比其他三種都大，因此，系統(tǒng)獲得的性能較差。由此可以看出，誤差值越大，收斂越快，但均衡性能差，反之亦然。

把四種常用誤差函數(shù)代入式（4）和式（3）中，可得其迭代公式為：

式中，gc(k)為誤差函數(shù)項。對應(yīng)于每一種誤差函數(shù)的誤差項見表1所示。不同的盲均衡算法在于不同的gc(k)，由于對應(yīng)于四種類型的gc(k)項是各不相同的，因此不同誤差函數(shù)設(shè)計的均衡器性能也不同。

表1 對應(yīng)于幾種常用傳統(tǒng)誤差函數(shù)的誤差項

3 基于變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)的判決反饋盲均衡算法

3.1 變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)的推導(dǎo)

由各類誤差函數(shù)的特性可知，迭代初期的ei(k)(i=1、 2、3、4)數(shù)值愈大，則收斂速度愈快；而當(dāng)接近收斂點時，ei(k)數(shù)值愈小，則可以獲得更好的穩(wěn)態(tài)誤差。因此，把以上的優(yōu)點進(jìn)行結(jié)合，誤差函數(shù)進(jìn)行分段處理。即，在迭代初期，用一個數(shù)值大于1的系數(shù)對誤差函數(shù)進(jìn)行加權(quán)，使誤差值始終保持比原來的誤差值大，即進(jìn)一步加快收斂速度；而對于接近收斂點時，用一個數(shù)值小于1的系數(shù)加權(quán)，使誤差值變得更小，以獲得較好的均衡效果。而且，這兩個系數(shù)都要隨著迭代的進(jìn)行（即迭代次數(shù)的增加）而逐漸變小，以使誤差值隨著迭代的進(jìn)行而逐步減小。由于系數(shù)的數(shù)值一直在變化，所以稱之為變系數(shù)?；谶@種思想對前文所述四種常用的誤差函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，且零誤差點(R,0)仍然保持不變，則變系數(shù)加權(quán)后的ei(k)（記為evi(k)）統(tǒng)一用式（10）表示。

由于改進(jìn)的誤差函數(shù)比常模誤差函數(shù)多了一個變系數(shù)，所以把evi(k)稱為變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)。把四種常用的誤差函數(shù)代入式（10），就可得到四種變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)。

3.2 變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)的性能分析

由函數(shù)的推導(dǎo)過程可知，漸變因子只是起到使誤差值逐漸減小的作用，真正控制均衡效果的因素是何時切換lk，以及切換前后它的數(shù)值大小如何。即，突變因子取值的大小和切換點位置如何，是決定算法性能優(yōu)劣的主要因素。因此，應(yīng)從這兩方面進(jìn)行性能分析。

（1）切換點

切換點的位置是決定改善收斂速度還是穩(wěn)態(tài)誤差的分界點。如果過早切換，則收斂速度提高不多，穩(wěn)態(tài)誤差會有所改善；切換過遲，則收斂速度提高較快，但穩(wěn)態(tài)誤差可能會增大。所以，要綜合考慮收斂速度和均方誤差這兩個方面，以確定何時進(jìn)行切換。

（2）突變因子的取值

突變因子的數(shù)值大小直接影響著收斂速度的提高和均方誤差的改進(jìn)程度，下面從梯度范數(shù)的角度來證明。

從隨機(jī)梯度下降法得知，算法梯度范數(shù)的大小反映了算法收斂速度的快慢以及在“碗底”來回振蕩的幅度（穩(wěn)態(tài)誤差）的大小。梯度范數(shù)越大則收斂越快，誤差越大；反之，收斂慢，誤差小。由于變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)是在常模誤差函數(shù)的基礎(chǔ)上改進(jìn)的，從兩者的權(quán)迭代公式很容易得知，兩者的梯度范數(shù)之比為一比例系數(shù)，如式（11）。

式（13）表明，與常模誤差函數(shù)相比，此時新誤差函數(shù)具有較快的收斂速度，但穩(wěn)態(tài)誤差也較大。

當(dāng)lk取較小的數(shù)值k2，使

式（15）表明，此時新誤差函數(shù)與原常模誤差函數(shù)相比，具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但收斂速度變慢了。

以上證明了lk取值較大k1和較小k2處算法的收斂特性，現(xiàn)證明lk介于這兩者之間時新算法的收斂特性隨lk值變化的規(guī)律。

式（16）表明，變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)梯度范數(shù)的大小是關(guān)于lk值的增函數(shù)，所以在區(qū)間[k1,k2]內(nèi)也總會存在一個數(shù)值，使

式中，k0是lk發(fā)生突變時的迭代次數(shù)。此時，收斂速度先加快，后變慢，均衡的效果可能會比原來好一點。但這并不能保證收斂速度提高的同時，均方誤差一定不會增加；反之亦然。由于對數(shù)是緩慢變化的，所以很難做到兩者的兼顧。若lk大小有所變化，即起始階段取較大數(shù)值，而接近收斂點時取較小值，這樣容易滿足迭代初期的快速收斂和接近收斂點時的均方誤差不會增大。因此，增加一個突變因子可以更好地調(diào)節(jié)均衡的進(jìn)度。

通過上述分析可知，對于特定的信道，通過改變lk的大小和移動切換點可以找到合適的誤差函數(shù)，用于信道均衡。選取較大的lk值或切換過遲可以加快算法的收斂速度，切換過早或較小的lk值可以減小算法的穩(wěn)態(tài)誤差。在實際應(yīng)用中，可采用以下調(diào)節(jié)方法：若著眼于算法收斂速度的提高，則切換時刻可以較晚些，且切換后的lk值較小以確保均方誤差不增大；若著眼于算法穩(wěn)態(tài)誤差的減小，則切換時可以較早一些，首先滿足收斂速度的要求，且切換后選用比前一種情況更小的lk，使均方誤差進(jìn)一步減小。另外，這兩種情況都要求切換前取較大的lk數(shù)值?？傊?lián)合調(diào)整切換點位置和突變因子的大小，才能取得更好的均衡效果。

3.3 VCMDFE的權(quán)迭代公式

利用隨機(jī)梯度下降法，可得：

把常用的四種誤差函數(shù)式代入式（18），可得變系數(shù)誤差函數(shù)的DFE權(quán)迭代公式為：

3.4 VCMDFE的運(yùn)算量分析

由權(quán)迭代公式（19）可知，與CMDFE算法相比，VCMDFE算法只是增加了一個變系數(shù)。由于lk和g均為常數(shù)，因此，VCMDFE算法在每次權(quán)迭代時需要增加一次對數(shù)運(yùn)算和一次實數(shù)乘法運(yùn)算。因此，VCMDFE的計算量增加不多。

圖3 CMDFE和VCMDFE的收斂曲線

4 仿真研究

在實驗參數(shù)相同的條件下，均采用深譜零點的水聲信道對CMDFE和VCMDFE算法的性能進(jìn)行仿真分析。其中，實驗4采用文獻(xiàn)[14]的信道為：c= [0.313 2-0.104 00.890 80.313 4]其余實驗均采用文獻(xiàn)[15]中的信道c=[100.3e-0.7i000.2e-0.8i]。仿真中，信噪比為25 dB，迭代步長取0.001，DFE的前饋濾波器長度為Nf=33，反饋濾波器長度Nb=8，前饋濾波器的權(quán)系數(shù)采用中心抽頭初始化的方法，反饋濾波器的抽頭系數(shù)均初始化為全零值。

實驗1比較由誤差函數(shù)e1(k)和ev1(k)設(shè)計的均衡器性能。其中，信源采用功率歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數(shù)為600處由18.75切換為8.25。此時，可變因子從1.69切換到1.12。仿真結(jié)果如圖3（a）所示。

實驗2比較由誤差函數(shù)e2(k)和ev2(k)設(shè)計的均衡器性能。其中，信源采用非歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數(shù)為550處由25切換為7.87。此時，可變因子由1.96變?yōu)?.10。仿真結(jié)果如圖3（b）所示。

實驗3比較由誤差函數(shù)e3(k)和ev3(k)設(shè)計的均衡器性能。其中，信源采用非歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數(shù)為1 000處由18.75切換為8.75。此時，可變因子由1.63變?yōu)?.11。仿真結(jié)果如圖3（c）所示。

實驗4比較由誤差函數(shù)e4(k)和ev4(k)設(shè)計的均衡器性能。其中，信源采用功率歸一化的4QAM信號，lk在迭代次數(shù)為320處由18.75切換為6.25。此時，可變因子從1.76變?yōu)?.02。仿真結(jié)果如圖3（d）所示。

圖3為同一誤差函數(shù)下CMDFE和VCMDFE的收斂曲線。該圖表明，與CMDFE算法相比，VCMDFE算法不同程度地提高了收斂速度或者減小了均方誤差。其中，圖3（a）～圖3（c）的收斂速度均提高了1至2倍，而均方誤差基本沒變；圖3（d）的收斂速度雖然提高的程度最小，但均方誤差減小的程度最大。

以上四種實驗的仿真結(jié)果表明，對于不同傳統(tǒng)的誤差函數(shù)，VCMDFE算法既可以加快收斂速度，又減少了穩(wěn)態(tài)誤差，有效實現(xiàn)了信道的均衡。

另外，上面四個實驗中VCMDFE加快收斂速度的程度有所不同。圖3表明，前三者收斂速度的提高程度較高，而最后一個最小。這是由于前三者的切換較晚，充分發(fā)揮了收斂速度的提高。而最后一個的切換過早，沒有充分加快收斂速度，但均方誤差改善了。因此，在信道均衡中，切換點位置的選取，要綜合考慮均方誤差和收斂速度兩方面的性能。

5 結(jié)束語

本文通過分析常用誤差函數(shù)的特點，構(gòu)造了一種新的誤差函數(shù)，即變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)，并提出了基于該誤差函數(shù)的判決反饋盲均衡算法。在新算法收斂過程中，由突變因子控制誤差數(shù)值的大小，即新誤差函數(shù)具有可調(diào)性。與CMDFE相比，VCMDFE增加的計算量很小，并且具有更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差。因此，具有很強(qiáng)的實用價值。計算機(jī)仿真證明了該切換方法的有效性。

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ZHOU Qiaoxi1,GUO Yecai2

1.College of Electrical and Information Engineering,Anhui University of Science and Technology,Huainan,Anhui 232001,China
2.School of Electronic and Information Engineering,Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China

For overcoming effect of the underwater acoustic channel on communication quality,a new style of error function weighted by a variable coefficient is proposed,on the basis of analyzing the feature of the usual traditional error functions and Decision Feedback Equalizer（DFE）.And a new blind decision feedback equalization algorithm（VCMDFE）based on the new error function is proposed too.In this proposed VCMDFE algorithm,the variable coefficient can adjust the value of the error function according to the progress of equalization,so as to have faster convergence rate and lower residual error than CMDFE. The efficiency of the proposed VCMDFE algorithm is proven by computer simulation with underwater acoustic channels.

variable weighted coefficient;error function;decision feedback

針對嚴(yán)重失真的水聲信道，在分析幾種常用傳統(tǒng)誤差函數(shù)和判決反饋均衡器（DFE）的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)，對DFE權(quán)向量進(jìn)行更新，提出了基于變系數(shù)加權(quán)誤差函數(shù)的判決反饋盲均衡算法（VCMDFE）。與基于傳統(tǒng)誤差函數(shù)的判決反饋盲均衡算法（CMDFE）相比，新算法能夠根據(jù)均衡的進(jìn)度，利用一變系數(shù)去調(diào)節(jié)誤差函數(shù)數(shù)值的大小，以取得比CMDFE算法更快的收斂速度和更低的穩(wěn)態(tài)誤差。水聲信道的仿真結(jié)果驗證了該算法的有效性。

變系數(shù)；誤差函數(shù)；判決反饋

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0067

ZHOU Qiaoxi,GUO Yecai.Decision feedback blind algorithm based on error function with variable weighted coefficient. Computer Engineering and Applications,2013,49（24）：200-204.

全國優(yōu)秀博士學(xué)位論文作者專項基金資助項目（No.200753）；安徽理工大學(xué)青年教師科學(xué)研究基金資助項目（No.2012QNY25）。

周巧喜（1979—），女，講師，研究領(lǐng)域為智能信號處理、小波變換；郭業(yè)才（1962—），男，博士，教授，研究領(lǐng)域為水聲信號處理、高階譜分析和系統(tǒng)仿真。E-mail：qxzhou@aust.edu.cn

2012-11-06

2013-01-08

1002-8331（2013）24-0200-05

CNKI出版日期：2013-02-20http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130220.1611.012.html