方霞，席金菊

湖南文理學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南常德 415000

基于變異和啟發(fā)式選擇的蟻群優(yōu)化算法

方霞，席金菊

湖南文理學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南常德 415000

蟻群算法是一種較好地解決組合優(yōu)化問(wèn)題的新型進(jìn)化算法，是繼模擬退火、遺傳算法、禁忌搜索等之后的又一啟發(fā)式智能優(yōu)化算法。20世紀(jì)90年代初期，它由意大利學(xué)者M(jìn).Dorigo等人首先提出[1]，并成功應(yīng)用于求解TSP、二次分配、圖著色、車輛調(diào)度、集成電路設(shè)計(jì)及通信網(wǎng)絡(luò)負(fù)載等問(wèn)題[2-5]。

由于蟻群算法具有良好的魯棒性、正反饋、分布式及并行計(jì)算等特點(diǎn)，所以受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注，蟻群算法的理論框架頁(yè)日趨成熟。但是隨著問(wèn)題規(guī)模n上升，蟻群算法暴露出收斂速度慢，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，易于過(guò)早陷入局部最優(yōu)，難以滿足實(shí)際需求的不足。針對(duì)這些問(wèn)題，王穎提出了自適應(yīng)蟻群算法[6]，黃國(guó)銳使用信息素?cái)U(kuò)散等辦法來(lái)提高全局搜索能力和搜索速度[7]，丁建立等提出了GAAA算法融合遺傳算法和蟻群算法的各自優(yōu)點(diǎn)，來(lái)取長(zhǎng)補(bǔ)短[8]。結(jié)合信息素的更新和搜索機(jī)制的改進(jìn)是目前優(yōu)化蟻群算法的集中方略，如文獻(xiàn)[9]提出分段優(yōu)化策略加速解的構(gòu)造；文獻(xiàn)[10]通過(guò)視覺反饋與行為記憶加快局部收斂；文獻(xiàn)[11]進(jìn)行啟發(fā)式修正來(lái)加速收斂；文獻(xiàn)[12]通過(guò)不同的螞蟻種群構(gòu)造解的多樣性，使得收斂平衡。文獻(xiàn)[13-14]分別對(duì)于蟻群算法進(jìn)行了綜述以及各項(xiàng)參數(shù)對(duì)于算法的影響。這些改進(jìn)蟻群算法都進(jìn)一步提高了算法的收斂速度，改進(jìn)了求解質(zhì)量，這些學(xué)者的研究都在一定程度上改善了蟻群算法的性能，但是收斂速度慢、求解質(zhì)量和求解效率的矛盾等問(wèn)題仍然是制約蟻群算法廣泛應(yīng)用特別是在較大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題中應(yīng)用的主要瓶頸。因此，本文從一些經(jīng)典TSP問(wèn)題出發(fā)，提出了一種基于變異和啟發(fā)式選擇的蟻群優(yōu)化算法（ACO algorithm based on Mutation Features and Selected Heuristic，MFSHACO）。首先利用較優(yōu)路徑中城市相互之間的鄰接特點(diǎn)，產(chǎn)生較好的初始解，極大提高了算法的效率，在不同階段進(jìn)行變異，既提高了變異效率，也改進(jìn)了變異質(zhì)量，在一些經(jīng)典TSP問(wèn)題上新算法表現(xiàn)出很好的性能。

1 TSP問(wèn)題描述

已知n個(gè)城市及各城市之間的距離，求一條經(jīng)過(guò)各城市一次且僅一次的最短回路。圖論描述為G=(V,A)，V={v1,v2,…,vn}是n個(gè)城市的頂點(diǎn)集，vi,vj∈V}是V中各頂點(diǎn)相互連接組成的弧集，已知各城市間的距離dij，求一條最短的Hamilton回路，即在點(diǎn)集V= {v1,v2,…,vn}中，對(duì)n個(gè)城市遍歷且只遍歷一次的最短封閉曲線。本文算法采用具備dij=dji特征的TSP問(wèn)題進(jìn)行探討。

2 基本蟻群算法

常規(guī)蟻群算法求解TSP問(wèn)題描述：

將m只螞蟻隨機(jī)放置在n個(gè)城市上，設(shè)初始時(shí)刻城市之間每一條邊上信息素τs(0)=const，const是一個(gè)常量，tabuk是禁忌表，用來(lái)記錄螞蟻k所遍歷城市節(jié)點(diǎn)，初始時(shí)刻是第一個(gè)城市節(jié)點(diǎn)，隨著tabuk進(jìn)化作動(dòng)態(tài)調(diào)整，凡是寫入禁忌表tabuk中城市節(jié)點(diǎn)，螞蟻不允許再遍歷該城市節(jié)點(diǎn)。當(dāng)n個(gè)城市節(jié)點(diǎn)都寫入禁忌表tabuk中，表示螞蟻完成一次循環(huán)。當(dāng)本次循環(huán)完成后，禁忌表tabuk被清空，該螞蟻又可以重新自由地進(jìn)行選擇。在路徑搜索過(guò)程中，螞蟻根據(jù)各條路徑上的信息量及路徑的啟發(fā)信息來(lái)計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。如果(t)＜p0（0＜p0＜1，為轉(zhuǎn)移概率門檻值），在t時(shí)刻，螞蟻k在城市i選擇城市j的轉(zhuǎn)移概率(t)按公式（1）來(lái)求解：

其中τij(t)表示t時(shí)刻在節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j路徑上的信息素。螞蟻k(k=1,2,…,n)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，根據(jù)各條路徑上的信息素的濃度決定轉(zhuǎn)移方向；(t)表示在t時(shí)刻螞蟻k從節(jié)點(diǎn)i轉(zhuǎn)移到節(jié)點(diǎn)j的概率；dij(i,j=1,2,…,n)表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間的距離，ηij為能見度啟發(fā)因子，表示目標(biāo)點(diǎn)的能見度，它與距離因子dij成反比，ηij=1/dij；allowedk={1,2,…,n}表示螞蟻k下一步允許選擇的城市，轉(zhuǎn)移概率成正比。

經(jīng)過(guò)n個(gè)時(shí)刻，螞蟻完成一次循環(huán)，各路徑上信息量根據(jù)公式（2）調(diào)整：

Δτij(t,t+1)表示本次循環(huán)中路徑(i,j)的信息素的增量，計(jì)算方法根據(jù)計(jì)算模型而定，本文算法采用蟻周系統(tǒng)模型（Ant Cycle System）：

Lk是節(jié)點(diǎn)i與j之間的距離?；镜南伻核惴ㄓ袃蓚€(gè)基本缺陷：搜索時(shí)間過(guò)長(zhǎng)和容易陷入局部解。新算法采用MMAS（最大最小螞蟻系統(tǒng)，MAX-MIN Ant System）在很大程度上克服了這兩個(gè)缺陷，取得了良好的結(jié)果。

3 MFSHACO算法

3.1 MFSHACO算法原理

3.1.1 緊鄰信息優(yōu)先機(jī)制

大量的實(shí)驗(yàn)表明，實(shí)際優(yōu)化回路中城市i的鄰接節(jié)點(diǎn)僅僅是離城市i較近的有限幾個(gè)城市，結(jié)合視覺能見度分析，可以有選擇地進(jìn)行，由此提出緊鄰信息優(yōu)先機(jī)制：螞蟻k以當(dāng)前節(jié)點(diǎn)i為中心，按照距離路徑長(zhǎng)短dij的非遞減排序，選取一定數(shù)量的節(jié)點(diǎn)作為有限的能見城市，作為下一個(gè)節(jié)點(diǎn)j的可選范圍，具體數(shù)量可以根據(jù)情況動(dòng)態(tài)設(shè)定，也可簡(jiǎn)單設(shè)定有限視覺數(shù)量為w=n/r，r=1,2,…,20（r的值根據(jù)問(wèn)題規(guī)模n的大小進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整），即從w個(gè)節(jié)點(diǎn)中找出還未經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)加入禁忌表tabuk。

算法根據(jù)dij距離矩陣信息進(jìn)行排序得到一個(gè)n行w列的有序矩陣，以及對(duì)應(yīng)的城市編號(hào)信息矩陣。則在t時(shí)刻螞蟻k在當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，至多需要檢測(cè)編號(hào)信息矩陣中w個(gè)節(jié)點(diǎn)與禁忌表中信息進(jìn)行比較，從而亦能降低可行節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，隨之可行節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率計(jì)算量也大大下降，總體時(shí)間復(fù)雜度由O(mn2)變?yōu)镺(w·mn)，而w是一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的常量，不會(huì)隨著問(wèn)題規(guī)模n的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，亦可記為O(mn)，蟻群算法的計(jì)算速度大大提高，同時(shí)初始解的螞蟻群較好，排除了出現(xiàn)大量較差解的可能。

大量的實(shí)例計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，蟻群算法選擇下一個(gè)城市時(shí)，往往是選擇最近的幾個(gè)，也就是從allowedk所列的城市中，僅選擇符合dij較小的幾個(gè)城市。隨著每一只螞蟻?zhàn)咄甏蟀肼窂胶?，備選城市越來(lái)越少，很有可能被迫從一個(gè)邊區(qū)跳躍至另一個(gè)邊區(qū)，出現(xiàn)路徑交叉，產(chǎn)生較差的解，影響整個(gè)蟻群算法的搜索效率。最明顯的情況就是每一只螞蟻搜索到最后兩三個(gè)城市時(shí)，這幾個(gè)城市間距又很遠(yuǎn)，螞蟻已經(jīng)無(wú)法進(jìn)行更多的選擇，出現(xiàn)這種情況主要是因?yàn)锳CS中螞蟻選擇路徑是沒有考慮所有剩下城市的布局，這就出現(xiàn)了選擇的沖突。從ACS的搜索過(guò)程中，查看一些螞蟻歷經(jīng)的城市連線，絕大部分都不可避免地存在這個(gè)問(wèn)題，而到目前為止尚無(wú)合適的解決方案。本文算法采用變異策略解決該沖突。

3.1.2 變異機(jī)制

新算法采用變異策略解決該沖突：當(dāng)w個(gè)備用節(jié)點(diǎn)均和禁忌表tabuk相沖突時(shí)，則突破w個(gè)視覺范疇，轉(zhuǎn)向全部的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)來(lái)和禁忌表檢測(cè)，找到合理的節(jié)點(diǎn)作為下一節(jié)點(diǎn)。一般這時(shí)找到的節(jié)點(diǎn)不能得到較好的解，為了保證尋找到較優(yōu)的解，隨即采用一定的概率進(jìn)行變異，變異時(shí)只對(duì)路徑后面發(fā)生沖突的部分采用2-opt變異，同時(shí)檢測(cè)以防止出現(xiàn)路徑交叉的現(xiàn)象，得到比較理想的解。變異策略如下：

其中c為變異次數(shù)，一般取為(n+1)/8，t為當(dāng)前發(fā)生沖突時(shí)在當(dāng)前搜索路徑中所處的位置，n為路徑長(zhǎng)度。

在所有螞蟻進(jìn)行一次周游完成以后，全局也進(jìn)行一次2-opt變異，充分利用其簡(jiǎn)潔高效的特點(diǎn)，使每一輪能得到較好解，有效提高收斂速度，期望得到全局最優(yōu)解。

3.1.3 啟發(fā)式選擇調(diào)整

在基本蟻群算法中，啟發(fā)式信息在指導(dǎo)螞蟻的路徑搜索方面會(huì)產(chǎn)生一定的影響，但是隨著搜索過(guò)程的不斷深入，較好路徑上的信息素累積越來(lái)越多，啟發(fā)式信息的影響程度越來(lái)越弱；在算法后期，啟發(fā)式信息對(duì)搜索過(guò)程的影響已經(jīng)微乎其微。因此，為了更加有效地利用啟發(fā)式信息，本文在算法后期通過(guò)動(dòng)態(tài)調(diào)整啟發(fā)式信息來(lái)保證算法快速收斂于最優(yōu)解。

信息素指數(shù)β采用模擬退火法進(jìn)行調(diào)整。蟻群完成一次周游后得到路徑長(zhǎng)度的最短路徑Lbest和平均路徑長(zhǎng)度LAver，β值根據(jù)如下公式進(jìn)行計(jì)算：

其中nc為當(dāng)前迭代數(shù)，初始β為一指定常量β0。

相較于文獻(xiàn)[10]中DEAHACO算法定義的路徑期望值PExpect進(jìn)行當(dāng)前路徑調(diào)整，算法計(jì)算數(shù)據(jù)大大下降，時(shí)間復(fù)雜度也相應(yīng)降低。

3.2 MFSHACO算法步驟

步驟1初始化m,α,β0,ρ,Q,NC,w，計(jì)算得到緊鄰矩陣信息D_sort，R_sort。

步驟2隨機(jī)選擇每只螞蟻的初始位置。

步驟3開始周游，首先根據(jù)緊鄰矩陣信息并按照公式（1）找到下一個(gè)城市節(jié)點(diǎn)；如果緊鄰節(jié)點(diǎn)發(fā)生沖突成為不可選，則突破緊鄰矩陣的限制，在全部可選范圍處理，同時(shí)記憶當(dāng)前位置t，該螞蟻周游完成后隨即進(jìn)行變異操作。

步驟4所有螞蟻周游一次完成后，進(jìn)行變異操作。

步驟5根據(jù)公式（2）～（4）更新信息素濃度τij，采用了MMAS算法。

步驟6計(jì)算本次周游得到的最短路徑Lbest和最長(zhǎng)路徑Lworst，根據(jù)公式（5）更新β值。

步驟7判斷是否達(dá)到指定的迭代次數(shù)NC或者所求的解在最近若干代中無(wú)明顯改進(jìn)，若是，則結(jié)束迭代，輸出最后的優(yōu)化結(jié)果；否則轉(zhuǎn)步驟2。

4 實(shí)驗(yàn)分析

為了探索改進(jìn)算法的各項(xiàng)性能指標(biāo)，將MFSHACO算法應(yīng)用于TSPLIB數(shù)據(jù)集（http：//elib，zib，de/pub/mp-testdata/tsp/tsplib）中eil51實(shí)例，結(jié)合Matlab編程實(shí)驗(yàn)環(huán)境，實(shí)驗(yàn)中使用的參數(shù)均通過(guò)驗(yàn)證確認(rèn)。

4.1 MFSHACO算法性能比較

設(shè)置參數(shù)Q=100，τmax=10，τmin=0.1。在每種情況運(yùn)行10次，每次最大迭代次數(shù)NC為100的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果基礎(chǔ)上，得到的平均數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 改進(jìn)算法加入變異和啟發(fā)式選擇機(jī)制的優(yōu)化結(jié)果

從表1中數(shù)據(jù)可以看出：改進(jìn)蟻群算法MFSHACO在求得最優(yōu)解和收斂速度上有明顯優(yōu)勢(shì)，算法通過(guò)引入合理的變異機(jī)制和進(jìn)行啟發(fā)式選擇可以大大提高算法的收斂性能，在求解質(zhì)量方面都得到明顯改善，說(shuō)明MFSHACO算法是有效又實(shí)用的。

為了驗(yàn)證該算法的有效性，根據(jù)不同的緊鄰信息數(shù)據(jù)w，表2為應(yīng)用于eil51實(shí)例在不同參數(shù)下得到的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果。由表2可知將變異機(jī)制、啟發(fā)式選擇機(jī)制、MMAS算法等融合之后算法在全局搜索能力和收斂速度方面得到了較好的平衡，整個(gè)程序的計(jì)算速度得到了大幅提升，隨著問(wèn)題規(guī)模的上升，可以更好地體現(xiàn)其優(yōu)越性。

表2 MFSHACO算法解決eil51實(shí)例不同參數(shù)下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.2 MFSHACO算法收斂性分析

圖1為MFSHACO算法應(yīng)用到eil51實(shí)例所得到的一個(gè)最優(yōu)路徑模擬仿真和收斂效果圖。具有MFSHACO算法的一般特征，算法參數(shù)為：m=n=51，Q=100，α=2，β0= 3，ρ=0.1，NC=100，橫坐標(biāo)表示算法的迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)表示當(dāng)前路徑的長(zhǎng)度。收斂曲線分別為每次迭代所得到的最短路徑長(zhǎng)度和平均路徑長(zhǎng)度。

圖1 MFSHACO算法在eil51實(shí)例上的收斂性

由實(shí)驗(yàn)收斂效果圖可以看出，MFSHACO算法在運(yùn)行初期急速收斂，迭代至10～25次時(shí)能夠接近于最優(yōu)解，而基本MMAS算法大約需要迭代2 500次以后才收斂，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，參考表2中的數(shù)據(jù)，根據(jù)參數(shù)選擇設(shè)置的不同，達(dá)到收斂所需進(jìn)化代數(shù)最小值略有差異，但是相較于基本蟻群算法，無(wú)論時(shí)間復(fù)雜度，還是收斂效果方面，本文MFSHACO算法都是一種高效的求解TSP問(wèn)題的蟻群優(yōu)化算法。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)蟻群算法初始較好解產(chǎn)生困難、計(jì)算搜索時(shí)間長(zhǎng)、收斂速度慢、易于停滯等特點(diǎn)，本文提出了MFSHACO算法，該算法采用節(jié)點(diǎn)之間的緊鄰信息，動(dòng)態(tài)進(jìn)行啟發(fā)式的選擇，能夠合理有效地產(chǎn)生較好的初始解，避免了大范圍搜索，并且能夠極大提高算法的計(jì)算速度。同時(shí)充分采用局部和全局變異策略，指導(dǎo)算法加速收斂，使得變異結(jié)果的質(zhì)量有較大改善。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，MFSHACO算法不僅能夠獲得高質(zhì)量?jī)?yōu)化解，而且收斂速度大幅提升，整體運(yùn)行時(shí)間大幅下降，特別隨著問(wèn)題規(guī)模n的增大，有很強(qiáng)的實(shí)用意義。本文各種參數(shù)的選擇主要依靠經(jīng)驗(yàn)，后期將針對(duì)不同的變異策略和組合參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行深入研究。

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FANG Xia,XI Jinju

School of Computer Science and Technology,Hunan University of Arts and Science,Changde,Hunan 415000,China

There are some shortcomings in the traditional ant colony algorithm as the algorithm costs too much time to get an optimal solution and easily falls into a stagnation behavior.To solve these problems,this paper puts forward a new ant colony algorithm based on mutation features and selected heuristic.The new algorithm uses the basic characteristics between the adjacent nodes in the optimal path,avoiding the large scope searching.It can get better initial solutions and greatly reduces the time complexity of the algorithm.It also uses the selected heuristic to accelerate the convergence process.With the 2-exchanged method, the mutation strategy not only enhances the mutation efficiency,but also improves the mutation quality.Combined with classic TSP instances,the MFSHACO algorithm shows good performance.

ants colony system;Traveling Salesman Problem（TSP）;mutation;selected heuristic

為了解決傳統(tǒng)蟻群算法求解TSP問(wèn)題的求解時(shí)間較長(zhǎng)、易于局部收斂的問(wèn)題，提出了一種基于變異和啟發(fā)式選擇的蟻群優(yōu)化算法。利用較優(yōu)路徑中城市相互之間的鄰接特點(diǎn)，避免了大范圍搜索求解，使得能具有較好的初始解，將算法的時(shí)間復(fù)雜度大大降低；同時(shí)為了加快算法的收斂速度，對(duì)于路徑的啟發(fā)式選擇進(jìn)行重新定義；引入變異機(jī)制，充分利用2-交換法簡(jiǎn)潔高效的特點(diǎn)，既提高了變異效率，也改進(jìn)了變異質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，在一些經(jīng)典TSP問(wèn)題上新算法表現(xiàn)出很好的性能。

蟻群算法；旅行商問(wèn)題（TSP）；變異；啟發(fā)式選擇

A

TP301；TP18

10.3778/j.issn.1002-8331.1306-0238

FANG Xia,XI Jinju.Ant colony algorithm based on mutation features and selected heuristic.Computer Engineering and Applications,2013,49（24）：24-27.

湖南省教育廳項(xiàng)目（No.09C704）。

方霞（1972—），女，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，主要研究方向：計(jì)算機(jī)應(yīng)用，智能控制與優(yōu)化；席金菊（1965—），女，教授，主要研究方向：計(jì)算機(jī)應(yīng)用。E-mail：yufangxia@163.com

2013-06-21

2013-08-05

1002-8331（2013）24-0024-04

CNKI出版日期：2013-10-14http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20131014.1655.003.html