權(quán)利娜

陜西學前師范學院，西安 710061

一類捕食-食餌模型平衡解的整體分歧

權(quán)利娜

陜西學前師范學院，西安 710061

著名的Lotka-Volterra系統(tǒng)在種群動力學理論中具有非常重要的地位，它是1926年由A.J.Lotka和V.Volterra兩名數(shù)學生態(tài)學先驅(qū)提出的。在過去的幾十年里，經(jīng)典的Lotka-Volterra模型在生態(tài)學理論的研究中占有非常重要的地位，已被廣泛關(guān)注。以后的許多學者在對其進行不斷改進、發(fā)展和完善的基礎(chǔ)上給出了許多更切合實際的模型，并得到了這些模型的許多重要的相關(guān)結(jié)論。由于種群間捕食關(guān)系的普遍存在，捕食-食餌模型更加受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。研究中有的利用極大值原理、上下解方法及全局分歧理論得出了平衡態(tài)共存解的存在性、唯一性及其穩(wěn)定性；有的利用分歧理論、線性特征值擾動理論、穩(wěn)定性理論得到了帶有保護區(qū)的捕食食餌模型平衡解的分歧及穩(wěn)定性等等。在此基礎(chǔ)上，一些研究者發(fā)現(xiàn)了捕食者具有休眠的這一重要特性并且給出了捕食者具有休眠特性的最低限度模型等，具體內(nèi)容詳見參考文獻[1-10]。對于空間分布不均勻的情況有相應的模型：

其中，p，z1表示食餌和捕食者的密度，z2表示能產(chǎn)生休眠卵的捕食者的密度，r，k表示在沒有捕食者的情況下的食餌的固有生長率和生存能力，f(p)=cp/(1+chp)為Holling II函數(shù)，k1，k2分別表示捕食者處于活動狀態(tài)的生長率和處于休眠狀態(tài)的生長率，d1，d2分別表示捕食者處于活動狀態(tài)的死亡率和處于休眠狀態(tài)的死亡率，α表示孵化率，捕食者是否進入休眠狀態(tài)由函數(shù)g(p)控制。

本文主要研究休眠卵不孵化（即α=0）的情況。

研究式（1）發(fā)自半平凡解的整體分歧。

1 預備知識

記是常用的BanachSpace，={u∈C1u=0，u∈?Ω}，X=

考慮特征值問題：

其中q(x)∈，則式（2）所有的特征值有下列關(guān)系：0＜λ1(q)＜λ2(q)＜L，λ1(q)為主特征值，若p(x)＞q(x)＞0，則λ1(p)＜λ1(q)。

令式（1）中的ν=0，考慮u的邊值問題：

記λ0為-Δ在Dirichlet邊界下的主特征值，由文獻[11]中的定理3.3.28和上下解方法易得：

引理1.2L1的所有特征值均小于零。

證明 因為θ≥0滿足(Δ+a-bθ)θ=0，x∈Ω;θ=0，x∈?θ。記λ(L0)為 Δ+a-bθ的主特征，則λ(L0)=0，又因為L1的主特征λ(L1)＜λ(L0)=0。所以L1的所有特征值均小于零。

引理1.3若(u，ν)為式（1）的非負解u≠0，ν≠0，則

證明（1）在式（1）中的第一個方程的兩邊同乘以u后積分并運用格林公式得：

（2）同理在式（1）的第二個方程的兩邊同乘以ν后積分

顯然當d≥α-λ0時，式（1）的非負解只能為(0,0)，(θ,0)。

2 非平凡分歧解的結(jié)構(gòu)

記為Δχ+特征值，χ1≥0(x∈Ω)為主特征值對應的特征函數(shù)。

下面以d為分歧參數(shù)，研究式（1）在半平凡解(d，θ，0)的局部分支。

記w=θ-u，χ=ν，則0≤w≤θ，把w=θ-u，χ=ν代入式（1）得：

易知F=(F1，F(xiàn)2)是連續(xù)的，F(xiàn)(0，0)=0，且F的Frechet導數(shù)DF|(0，0)=0。

記K=(-Δ)-1，可化為：

由文獻[12]中的定理1.7知：存在δ≥0和C1中的函數(shù)(d(s)，?(s)，ψ(s)):(-δ，δ)→R×X使得d(0)=(0)=0，ψ(0)= 0，(?(s)，ψ(s))T∈Z，其中X=(L0，0))，且 (d(s)，w(s)，χ(s))=(d(s),s(w1+?(s)),s(χ1+ψ(s)))滿足G(d(s),w(s),χ(s))= 0。因此(d(s)，w(s)，χ(s))(|s|＜δ)是式（2）解的分支。其中u(s)=θ-w(s)=θ-s(w1+?(s))，ν(s)=χ(s)=s(χ1+ψ(s))。

（1）假設(shè)d＞，則對于任意的μ≥1，i≥1，d≥di(μ)，所以K(d)沒有比1大的特征值，由文獻[13]中的定理7.3.9可推出i(T(d，·)，0)=(-1)0=1。

（2）假設(shè)d2(1)＜d＜則對于任意的μ≥1，i≥2，d≥di(μ)又因為，所以存在唯一的正數(shù)μ1≥1使得d=d1(μ1)，進而可得到：

下面證明R(μ1I-K(d))∩N(μ1I-K(d))={0}。

記K*(d)為K(d)的伴隨算子，則K*(d)(w,χ)T=μ1(w,χ)T滿足：

由于Lμ1=μ1Δ+(a-2bθ)I可逆，所以w≡0，進而可推出：

由文獻[14]中的定理2.1知：式（1）正解的全局分歧曲線C滿足下列兩個條件之一：

（1）C在R×X內(nèi)由點(，0)延伸到∞。

（2）C從點θ，0)延伸到某點(，0)，其中，且I-K不可逆。

下面說明式（1）正解的全局分歧曲線C滿足第一個條件。

由Lp估計和Sobolev嵌入定理可知：存在{Un}的一個收斂子列Ui使得Ui→u，其中u≥0且≡0。當i→∞時，式（7）變?yōu)椋?Δu=au，所以a=λ0，矛盾。

（2）假設(shè)≡0＞0，有-Δ=-成立。所以=λ0，=χ0，即當m→∞時，dn→-λ0，(un，νn)→(0，χ0)且式（7）可變?yōu)椋?Δu+cχ0u=au。因為u≥0，由極限原理可得u＞0，x∈Ω，所以a=λ*，矛盾。

（3）假設(shè)0，0，由θ的唯一性可知= (θ，0)。所以存在{Vn}的一個收斂子列Vi使得Vi→ν，其中ν≥0且ν≠0。當i→∞時，式（7）變?yōu)?-Δν=-，所以有，矛盾。

綜合以上可知，C-(，0)?P，由引理 2.1知{d:(d，u，ν)∈C}=(-∞，α，-λ0)。從而知C在R×X內(nèi)由點(，θ，0)延伸到∞。

3 結(jié)束語

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QUAN Lina

Shaanxi Xueqian Normal University,Xi’an 710061,China

Τhe global bifurcation of a positive steady-state solution for a kind of predator-prey model is investigated by the methods of spectral analysis and bifurcation theory.Τhe bifurcation at the positive steady-state solution（θ，0）is acquired by treatingdas a bifurcation parameter.Some sufficient conditions for the existence of positive solution are given.

predator-prey model;global bifurcation;steady-state solution;bifurcation theory;spectral analysis

利用分歧理論和譜分析的方法研究了一類捕食-食餌模型平衡解的整體分歧，得到了在以d為分歧參數(shù)的條件下，系統(tǒng)在半平凡解(θ，0)附近出現(xiàn)分歧現(xiàn)象，得到了該模型正解存在的充分條件。

捕食-食餌模型；整體分歧；平衡解；分歧理論；譜分析

A

O175.26

10.3778/j.issn.1002-8331.1111-0487

QUAN Lina.Global bifurcation of positive steady-state solution for a kind of predator-prey model.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：56-59.

陜西學前師范學院科研基金項目（No.2012KJ041）。

權(quán)利娜（1978—），女，講師，研究方向：反應擴散方程及其應用。

2011-11-25

2012-05-28

1002-8331（2013）15-0056-04