于秀清，董立華，張玉坤

德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023

外P-集合副集的τ-生成與τ-強(qiáng)生成

于秀清，董立華，張玉坤

德州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 德州 253023

P-集合是由內(nèi)P-集合與外P-集合XF構(gòu)成的集合對(duì)()。它是將動(dòng)態(tài)特性引入有限非空普通集合X，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)得到的。設(shè)集合X={x1，x2，…，xm}，α= {α1，α2，…，αk}是X的屬性集合。若α外的某些屬性被遷入α內(nèi)，α內(nèi)的屬性增加，相應(yīng)地，集合X內(nèi)的某些元素就被遷出X，X里面的元素減少，X變成內(nèi)P-集合另一方面，若α內(nèi)的部分屬性被遷出α，α內(nèi)的屬性減少，相應(yīng)地，集合X外的某些元素就被遷入X，X里面的元素增加，X變成外P-集合XF。內(nèi)P-集合與外P-集合XF是集合X的動(dòng)態(tài)特性的具體表現(xiàn)。P-集合是一個(gè)研究動(dòng)態(tài)問(wèn)題的新的數(shù)學(xué)理論工具，近幾年得到廣大學(xué)者的關(guān)注與研究，在多個(gè)領(lǐng)域獲得了應(yīng)用。文獻(xiàn)[1-4]給出了P-集合特性討論，文獻(xiàn)[5-12]給出了P-集合在信息系統(tǒng)、控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。

深入分析集合X變化到外P-集合XF的動(dòng)態(tài)過(guò)程，容易發(fā)現(xiàn)：元素遷移f∈F對(duì)元素i=1，2，…，t，進(jìn)行遷移的結(jié)果有三種：（1）yi仍在集合X外；（2）yi被完全遷入集合X；（3）yi被部分遷入集合X。外P-集合只考慮了前兩種結(jié)果，忽略了第三種結(jié)果，或者說(shuō)，外P-集合是在假設(shè)第三種結(jié)果不會(huì)發(fā)生的前提下進(jìn)行的定義。但在控制系統(tǒng)、信息系統(tǒng)中，確實(shí)存在元素被部分遷入集合的情況，而且這些被部分遷入的元素對(duì)系統(tǒng)本身的影響是不容忽視的，有時(shí)甚至是相當(dāng)大的。例如，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)太陽(yáng)能的企業(yè)構(gòu)成集合X={x1，x2，…，xn}，α={α1，α2，…，αn′}是影響太陽(yáng)能企業(yè)發(fā)展的因素構(gòu)成的集合，或者，α是X的屬性集合。由于國(guó)內(nèi)外大力提倡發(fā)展與利用清潔新能源，國(guó)家放寬了生產(chǎn)太陽(yáng)能產(chǎn)品的政策，太陽(yáng)能經(jīng)濟(jì)得到快速發(fā)展，某些不景氣的其他企業(yè)轉(zhuǎn)行加入到太陽(yáng)能企業(yè)的行列，還有一部分企業(yè)在保留部分原來(lái)產(chǎn)品生產(chǎn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行太陽(yáng)能產(chǎn)品的生產(chǎn)。這樣在進(jìn)行太陽(yáng)能市場(chǎng)分析時(shí)，就需要考慮三方面的情況：原有太陽(yáng)能企業(yè)、新加入的太陽(yáng)能企業(yè)與部分進(jìn)行生產(chǎn)太陽(yáng)能產(chǎn)品的企業(yè)。當(dāng)部分進(jìn)行生產(chǎn)太陽(yáng)能產(chǎn)品的企業(yè)所占太陽(yáng)能市場(chǎng)的份額很大的時(shí)候，必須要考慮其在太陽(yáng)能產(chǎn)品生產(chǎn)中的影響，否則分析結(jié)果就會(huì)與實(shí)際情況偏差很大，進(jìn)而作出錯(cuò)誤的決策。基于此，本文給出外P-集合的副集、外P-集合副集τ-生成與外P-集合副集τ-強(qiáng)生成的概念與結(jié)構(gòu)，從理論的角度討論了外P-集合副集、外P-集合副集τ-生成與τ-強(qiáng)生成之間的關(guān)系，得到外P-集合副集、外P-集合副集τ-生成與τ-強(qiáng)生成的性質(zhì)定理，對(duì)P-集合理論進(jìn)行了補(bǔ)充，擴(kuò)展了P-集合的應(yīng)用范圍。

為了更容易接受本文的研究結(jié)果，簡(jiǎn)要介紹了外P-集合的概念與結(jié)構(gòu)，關(guān)于外P-集合與P-集合的更多更詳細(xì)的討論與應(yīng)用見(jiàn)文獻(xiàn)[1-12]。

1 P-集合的概念與結(jié)構(gòu)

約定：U是有限元素論域，X?U是有限非空元素集合；V是屬性論域；，f∈F是元素遷移，={f1，f2，…，ft}是元素遷移族；card=cardinal number（基數(shù)），UNI=unidentification（不可辨識(shí)），IED=identification（可辨識(shí)）。

給定有限非空集合X={x1,x2,…,xq}?U,α={α1，α2，…，αk}?V是X的屬性集合，稱XF是X生成的外P-集合，簡(jiǎn)稱XF是外P-集合，而且：

利用式（1）給出的結(jié)構(gòu)，容易得到下面外P-集合XF與普通集合X之間的關(guān)系定理。

定理1.1（外P-集合XF與集合X關(guān)系定理）外P-集合XF與普通集合X滿足：

特別地，當(dāng)F=F=?時(shí)，UNI(X，XF)。

2 外P-集合副集的τ-生成與τ-強(qiáng)生成

定義2.1設(shè)X={…，xn}?U，給定元素y∈U、、元素遷移f∈F，如果f(y)∈X，稱元素y對(duì)于集合X是全遷入，f(y)的特征函數(shù)χf(y)滿足χf(y)=1。

給定元素y∈U、、元素遷移f∈F，如果稱元素y對(duì)于集合X是零遷入，f(y)的特征函數(shù)χf(y)滿足χf(y)=0。

給定元素y∈U、、元素遷移f∈F，如果稱元素y對(duì)于集合X是部分遷入，f(y)的特征函數(shù)χf(y)滿足0＜χf(y)＜1。這里，表示元素遷移f∈F把部分遷入集合X內(nèi)。

定義2.2稱集合Α(XF)是外P-集合XF的副集（assistant set），簡(jiǎn)稱Α(XF)是外副集，如果

稱是外P-集合副集的τ-生成（τ-generation of assistant set of outer P-set），簡(jiǎn)稱外副集Α(XF)的τ-生成，如果稱Ατ˙(XF)是外P-集合副集的τ-強(qiáng)生成（τ-strong generation of assistant set of outer P-set），簡(jiǎn)稱外副集Α(XF)的τ-強(qiáng)生成，如果

其中0＜τ＜1。

在定義2.1中，由于元素遷移f∈F的作用，產(chǎn)生了元素補(bǔ)充集合{x′|y∈U，f(y)=x′∈X，f∈F}與外副集Α(XF)={x′|y∈U，=。元素補(bǔ)充集合是由被完全遷入集合X的元素構(gòu)成的集合，外副集是由被部分遷入集合X的元素構(gòu)成的集合。外P-集合沒(méi)有考慮被部分遷入的元素，僅僅考慮了被全部遷入的元素。但在實(shí)際問(wèn)題中被部分遷入的元素也會(huì)對(duì)問(wèn)題的研究產(chǎn)生很大的影響。由于不同的實(shí)際問(wèn)題要求的精確度不同，進(jìn)而提出外副集的τ-生成與τ-強(qiáng)生成的概念，這樣可以根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的參數(shù)τ。

由定義2.1與定義2.2可以直接得到命題2.1～2.5、定理2.1與定理2.2成立。

命題2.1 當(dāng)F=時(shí)，對(duì) ?τ∈(0，1)都有Ατ˙(XF)=Ατ(XF)=Α(XF)=XF=。

命題2.2對(duì)?τ∈(0，1)，Ατ(XF)=的充分必要條件是Α(XF)=。

命題2.3對(duì)?τ∈(0，1)，Ατ˙(XF)=的充分必要條件是Α(XF)=。

命題2.4對(duì)?τ∈(0，1)，Ατ˙(XF)=的充分必要條件是Ατ(XF)=。

定理2.1（外副集與其τ-生成、τ-強(qiáng)生成關(guān)系定理）設(shè)Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，則對(duì)?τ∈(0，1)，有

定理2.2（集合X與外副集關(guān)系定理）設(shè)Α(XF)是外P-集合XF的副集，則

推論2.1設(shè)Ατ(XF)是外副集Α(XF)的τ-生成，則對(duì)?τ∈(0，1)，有

推論2.2設(shè)Ατ˙(XF)是外副集Α(XF)的τ-強(qiáng)生成，則對(duì)?τ∈(0，1)，有

3 外副集的τ-生成與它的性質(zhì)定理

定理3.1（外副集Α(XF)的τ-生成、τ-強(qiáng)生成關(guān)系定理）Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，對(duì)?τ1，τ2∈(0，1)，若τ1＜τ2，則

這里僅給出（1）的證明，（2）與（3）的證明類似，略。

證明對(duì)?x′∈、元素遷移f∈F，令滿足f(y)=x′，由式（9）知，f(y)=x′的特征函數(shù)χf(y)滿足τ2＜χf(y)＜1，因?yàn)棣?＜τ2，所以f(y)=x′的特征函數(shù)χf(y)滿足τ1≤χf(y)＜1，故x′∈，（1）成立。

推論3.1設(shè)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，對(duì)?τ1，τ2，…，τt∈(0，1)，若τ1＜τ2＜…＜τt，則

推論3.2設(shè)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，則(Ατ(XF)，?)、(Ατ˙(XF)，?)是全序集。

推論3.3設(shè)Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，I是有限指標(biāo)集合，?i∈I，τi∈(0，1)有

定理3.2（外副集的生成定理）設(shè)Ατ˙(XF)，Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，則

定理3.3（外副集的τ-生成不可辨識(shí)定理）設(shè)Ατ(XF)是外副集Α(XF)的τ-生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足UNI(Ατ1(XF)，Ατ2(XF))，則對(duì)?τ*∈[τ1，τ2]，都有：

定理3.4（外副集的τ-強(qiáng)生成不可辨識(shí)定理）設(shè)Ατ˙(XF)是外副集Α(XF)的τ-強(qiáng)生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足UNI(Ατ˙1(XF)，，則對(duì)?τ*∈[τ1，τ2]，都有：

定理3.4的證明與定理3.3類似，略。

由以上分析得到定理3.5成立。

定理3.5（外副集τ-生成與τ-強(qiáng)生成不可辨識(shí)定理）設(shè)Ατ(XF)，Ατ˙(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足 UNI()，則對(duì)?τ*∈[τ1，τ2)，都有：

由定理3.2～3.5可以直接得到推論3.4～3.6。

推論3.4設(shè)Ατ(XF)，Ατ˙(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成與τ-強(qiáng)生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足UNI(Ατ˙1(XF)，Ατ˙2(XF))，則對(duì)?τ*∈(τ1，τ2)，都有：

推論3.5設(shè)Ατ˙(XF)是外副集Α(XF)的τ-強(qiáng)生成，若UNI(Ατ(XF)，Α(XF))，則對(duì)?τ*∈(0，τ)，都有：

推論3.6設(shè)Ατ(XF)分別是外副集Α(XF)的τ-生成，若UNI(Ατ(XF)，Α(XF))，則對(duì)?τ*∈(0，τ]，都有：

推論3.7設(shè)Ατ(XF)是外副集Α(XF)的τ-生成，若存在τ1，τ2∈(0，1)，τ1＜τ2，滿足 IDE(Ατ1(XF)，Ατ2(XF))，則對(duì)?τ*∈(0，τ1)，都有：

4 討論

P-集合具有動(dòng)態(tài)特性，是研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)有利的數(shù)學(xué)理論工具。但由于外P-集合是在假設(shè)集合中元素被全部遷入的前提下進(jìn)行的研究，外P-集合在實(shí)踐中的應(yīng)用受到了一定程度的限制。外P-集合的副集與外P-集合副集的τ-生成、τ-強(qiáng)生成的提出彌補(bǔ)了P-集合理論的不足，擴(kuò)大了P-集合的應(yīng)用領(lǐng)域。

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YU Xiuqing,DONG Lihua,ZHANG Yukun

Department of Mathematics Science,Dezhou University,Dezhou,Shandong 253023,China

P-sets（Packet sets）is a pair of sets composed of internal P-set（internal Packet set）and outer P-set（outer Packet set）, which has dynamic characteristics.Based on outer P-set,some concepts related to outer P-set are proposed,such as assistant set of outer P-set,τ-generation of assistant set of outer P-set,τ-strong generation of assistant set of outer P-set,and so on.Furthermore,the relationships among them are discussed.And their relation theorems,identified theorems,unidentified theorems and generation theorems of assistant set of outer P-set are obtained.Τhe theory of P-sets is supplemented.

outer P-set;assistant set of outer P-set;τ-generation of assistant set of outer P-set;τ-strong generation of assistant set of outer P-set;identification theorems

P-集合是由內(nèi)P-集合與外P-集合構(gòu)成的集合對(duì)，它具有動(dòng)態(tài)特性。在外P-集合的基礎(chǔ)上，定義了外P-集合的副集Α(XF)、外P-集合副集τ-生成Ατ(XF)與外P-集合副集τ-強(qiáng)生成Ατ˙(XF)，討論了三者之間的關(guān)系，得到外P-集合副集τ-生成與外P-集合副集τ-強(qiáng)生成關(guān)系定理、辨識(shí)定理與外P-集合副集的生成定理。對(duì)P-集合理論進(jìn)行了補(bǔ)充。

外P-集合；外P-集合的副集；外P-集合副集的τ-生成；外副集的τ-強(qiáng)生成；辨識(shí)定理

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1208-0030

YU Xiuqing,DONG Lihua,ZHANG Yukun.τ-generation andτ-strong generation of assistant set of outer P-set.Computer Engineering and Applications,2013,49（15）：41-43.

山東省高?？萍加?jì)劃資助項(xiàng)目（No.J12LN92）；山東省自然科學(xué)基金（No.ZR2010AL019）；山東省科技發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目（No.2011GGA14074）。

于秀清（1968—），女，教授，研究領(lǐng)域?yàn)榇窒到y(tǒng)理論與應(yīng)用，信息系統(tǒng)理論與應(yīng)用。E-mail：sddzyxq@163.com

2012-08-02

2012-10-16

1002-8331（2013）15-0041-03